Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे युग्मों की जाँच करनी होती है। / For symmetry, we only need to check reverse pairs of the pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए सभी विकर्ण युग्मों का होना आवश्यक नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le2\)। / ((1,2)) is in the relation because \(1\le2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उल्टा ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\le1\) असत्य है। / Its reverse ((2,1)) is not in the relation because \(2\le1\) is false.
Step 3
Exam Tip
सममित न होने के लिए मौजूद युग्म और उसके गायब उल्टे युग्म को दिखाना सबसे साफ तरीका है। / To disprove symmetry, show a present pair whose reverse is absent.
सममित संबंध की परिभाषा सीधे कहती है कि ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होगा। / The definition of a symmetric relation says that ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((4,7)) दिया है, इसलिए ((7,4)) अवश्य होगा। / Since ((4,7)) is given, ((7,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप नहीं मिलते। / Symmetry does not automatically force diagonal pairs.
(n) तत्वों पर स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / For an (n)-element set, the number of independent choices is (\frac{n(n+1)}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
(n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) मिलता है। / With (n=5), this becomes \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
अंतिम संख्या \(2^{15}\) होगी, क्योंकि हर स्वतंत्र स्थान चुना या छोड़ा जा सकता है। / The total number is \(2^{15}\), as each independent position can be chosen or omitted.
कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं। / There are (6) independent choices for symmetric relations on a (3)-element set.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए यह एक गैर-विकर्ण जोड़ा निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), so one off-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
शेष (5) स्वतंत्र चुनावों में से एक जोड़ा निश्चित होने के बाद (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Therefore (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
\(a \equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a-b) (2) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{2}\) means (a-b) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2), so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समान होने वाले संबंध सामान्यतः सममित होते हैं। / Same-remainder relations are usually symmetric.
(ab=0) होने पर (ba=0) भी होगा। / If (ab=0), then (ba=0) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
गुणा का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी रहेगा। / Multiplication is commutative, so the reversed pair also satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
गुणा या जोड़ की क्रम-विनिमेयता सममितता जाँचने में बहुत उपयोगी होती है। / Commutativity of addition or multiplication is very useful in checking symmetry.
((2,1)) संबंध में है क्योंकि (2-1=1)। / ((2,1)) is in the relation because (2-1=1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-2=-1)। / Its reverse ((1,2)) is not in the relation because (1-2=-1).
Step 3
Exam Tip
निश्चित अंतर वाले संबंध में उल्टा करने पर चिन्ह बदल जाता है, इसलिए सावधानी रखें। / For fixed-difference relations, reversing changes the sign, so be careful.
A. \(R \cap S\) सममित होगा/\(R \cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R \cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में है। / If \((a,b) \in R \cap S\), then ((a,b)) is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, यानी \((b,a) \in R \cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) is in both, so \((b,a) \in R \cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ-साथ बची रहती हैं। / Intersection preserves the reverse-pair condition.
