किस विकल्प में दिया गया संबंध (R) सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं है?
Which option gives a relation (R) that is symmetric but not reflexive?
#symmetric not reflexive
#properties
#relations
A \(A=\{1,2}, R={(1,2),(2,1)\}\)
B \(A=\{1,2}, R={(1,1),(2,2)\}\)
C \(A={1,2}, R=A\times A\)
D \(A=\{1,2}, R={(1,2)\}\)
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Correct Answer
A. \(A=\{1,2}, R={(1,2),(2,1)\}\)
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए संबंध सममित है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / But ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
सममित और प्रतिवर्ती गुण अलग-अलग होते हैं। / Symmetry and reflexivity are separate properties.
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किस विकल्प में दिया गया संबंध प्रतिवर्ती है पर सममित नहीं है?
Which option gives a relation that is reflexive but not symmetric?
#reflexive not symmetric
#relations
#class 12
A \(A=\{1,2}, R={(1,1),(2,2),(1,2)\}\)
B \(A=\{1,2}, R={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\)
C \(A={1,2}, R=\varnothing\)
D \(A=\{1,2}, R={(1,2),(2,1)\}\)
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Correct Answer
A. \(A=\{1,2}, R={(1,1),(2,2),(1,2)\}\)
Step 1
Concept
((1,1)) और ((2,2)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / ((1,1)) and ((2,2)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित गुणों वाले प्रश्नों में दोनों जांचें अलग रखें। / In mixed-property questions, test each property separately.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3)\}\), तो (R) को सममित बनाने के लिए कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?
If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3)\}\), which pair must be added to make (R) symmetric?
#make symmetric
#missing pair
#ordered pairs
A ((3,1))
B ((1,1))
C ((2,2))
D ((3,3))
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Correct Answer
A. ((3,1))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) भी मौजूद हैं, पर ((1,3)) का उलटा ((3,1)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,2)) are also present, but the reverse of ((1,3)), namely ((3,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
केवल वही उलटा युग्म जोड़ें जिसकी कमी है। / Add only the missing reverse pair.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर कोई सममित संबंध (R) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, तो न्यूनतम रूप से कौन-से युग्म भी होने चाहिए?
If a symmetric relation (R) on \(A=\{1,2,3\}\) contains ((1,2)) and ((2,3)), which pairs must also be present at minimum?
#minimum symmetric relation
#reverse pairs
#relations
A ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
B ((1,1)) और ((3,3)) / ((1,1)) and ((3,3))
C ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
D ((2,2)) और ((1,3)) / ((2,2)) and ((1,3))
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Correct Answer
A. ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
Step 1
Concept
सममितता में हर युग्म का उलटा चाहिए। / Symmetry requires the reverse of each given pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) का उलटा ((2,1)) और ((2,3)) का उलटा ((3,2)) है। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and the reverse of ((2,3)) is ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम जोड़ में केवल जरूरी उलटे युग्म जोड़े जाते हैं। / For a minimum completion, add only the required reverse pairs.
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\(समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(a,b):ab\) सम है}) है। क्या (R) सममित है?
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):ab\) is even}). Is (R) symmetric?
#product even
#symmetric relation
#condition
A हाँ, क्योंकि (ab=ba) / Yes, because (ab=ba)
B नहीं, क्योंकि गुणा का क्रम बदलता है / No, because multiplication order changes
C नहीं, क्योंकि ((1,1)) नहीं होगा / No, because ((1,1)) will be absent
D हाँ, केवल यदि सभी अवयव सम हों / Yes, only if all elements are even
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि (ab=ba) / Yes, because (ab=ba)
Step 1
Concept
यदि (ab) सम है, तो (ba) भी सम होगा क्योंकि गुणा का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। / If (ab) is even, then (ba) is also even because multiplication is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
गुणा आधारित समता में क्रम बदलकर जरूर जांचें। / For product-based conditions, check what happens after swapping.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=5\}\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b=5\}\). What is (R)?
#sum condition
#symmetric relation
#class 12
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C प्रतिवर्ती / Reflexive
D रिक्त / Empty
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) as well.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी युग्म का उलटा भी संबंध में रहेगा। / Therefore the reverse of every related pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, यह मुख्य संकेत है। / The key signal is that changing the order does not change the sum.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a-b=2\}\) है। (R) सममित क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a-b=2\}\). Why is (R) not symmetric?
#fixed difference
#not symmetric
#counterexample
A क्योंकि \((3,1)\in R\) है पर \((1,3)\notin R\) / Because \((3,1)\in R\) but \((1,3)\notin R\)
B क्योंकि \((1,1)\notin R\) / Because \((1,1)\notin R\)
C क्योंकि (A) में चार अवयव हैं / Because (A) has four elements
D क्योंकि सभी युग्म विकर्ण हैं / Because all pairs are diagonal
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Correct Answer
A. क्योंकि \((3,1)\in R\) है पर \((1,3)\notin R\) / Because \((3,1)\in R\) but \((1,3)\notin R\)
Step 1
Concept
((3,1)) संबंध में है क्योंकि (3-1=2)। / ((3,1)) belongs to the relation because (3-1=2).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उलटा ((1,3)) शर्त (1-3=2) पूरी नहीं करता। / Its reverse ((1,3)) does not satisfy (1-3=2).
Step 3
Exam Tip
निश्चित अंतर वाली दिशा सममितता को तोड़ देती है। / A fixed directed difference usually breaks symmetry.
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किस संबंध में \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) होना जरूरी नहीं है?
In which relation is it not necessary that \((b,a)\in R\) whenever \((a,b)\in R\)?
#greater than
#not symmetric
#relations
A \(R=\{(a,b):a>b\}\)
B \(R=\{(a,b):a+b=10\}\)
C \(R=\{(a,b):|a-b|=3\}\)
D \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\)
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Correct Answer
A. \(R=\{(a,b):a>b\}\)
Step 1
Concept
(a>b) होने पर उलटा (b>a) सामान्यतः गलत होगा। / If (a>b), the reversed condition (b>a) is generally false.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी शर्तें क्रम बदलने पर भी बनी रहती हैं। / The other conditions remain true after swapping.
Step 3
Exam Tip
दिशा वाली तुलना सममितता की सबसे आम गलती है। / Directional comparisons are a common source of non-symmetry.
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यदि (R) एक सममित संबंध है और \((2,5),(5,7)\in R\), तो कौन-सा विकल्प निश्चित रूप से सत्य है?
If (R) is a symmetric relation and \((2,5),(5,7)\in R\), which option is definitely true?
#reverse pairs
#symmetric relation
#exam trap
A ((5,2)) और ((7,5)) (R) में हैं / ((5,2)) and ((7,5)) are in (R)
B ((2,7)) (R) में है / ((2,7)) is in (R)
C ((7,2)) (R) में है / ((7,2)) is in (R)
D ((2,2)) और ((7,7)) (R) में हैं / ((2,2)) and ((7,7)) are in (R)
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Correct Answer
A. ((5,2)) और ((7,5)) (R) में हैं / ((5,2)) and ((7,5)) are in (R)
Step 1
Concept
सममितता केवल दिए गए युग्मों के उलटे युग्मों की गारंटी देती है। / Symmetry guarantees only the reverse pairs of the given pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,5)) से ((5,2)) और ((5,7)) से ((7,5)) मिलते हैं। / ((2,5)) gives ((5,2)), and ((5,7)) gives ((7,5)).
Step 3
Exam Tip
सममितता से नया मध्य युग्म नहीं बनता। / Symmetry does not create a new connecting pair like ((2,7)).
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यदि संबंध (R) सममित है, तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष जरूरी नहीं है?
If a relation (R) is symmetric, which conclusion is not necessary?
#necessary condition
#symmetric relation
#reflexive confusion
A \((a,a)\in R\) हर \(a\in A\) के लिए / \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\)
B \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\)
C \(R^{-1}=R\)
D संबंध का आव्यूह सममित हो सकता है / The relation matrix can be symmetric
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Correct Answer
A. \((a,a)\in R\) हर \(a\in A\) के लिए / \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\)
Step 1
Concept
सममितता उलटे युग्म पर आधारित है। / Symmetry is based on reverse ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर विकर्ण युग्म का होना प्रतिवर्तीता की शर्त है, सममितता की नहीं। / Having every diagonal pair is the condition for reflexivity, not symmetry.
Step 3
Exam Tip
गुणों के नामों को मिलाने से परीक्षा में गलती होती है। / Mixing property names is a common exam mistake.
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