यदि (R) केवल अपने युग्मों से बना है, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) consists only of self-pairs, which statement about (R) is correct?
#self pairs
#symmetric antisymmetric
#identity type
A यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा / It will be both symmetric and antisymmetric
B यह कभी सममित नहीं होगा / It will never be symmetric
C यह हमेशा सार्वत्रिक होगा / It will always be universal
D यह कभी संक्रमणीय नहीं होगा / It will never be transitive
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Correct Answer
A. यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा / It will be both symmetric and antisymmetric
Step 1
Concept
अपने युग्म का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता पूरी होती है। / The reverse of a self-pair is the same pair, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
असमान अवयवों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / There are no two-way pairs between unequal elements, so antisymmetry also holds.
Step 3
Exam Tip
केवल अपने युग्मों वाले संबंधों में दोनों गुण साथ मिल सकते हैं। / Relations with only self-pairs can satisfy both properties.
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यदि (R) सममित है और (R) में ((1,2),(2,3)) हैं, तो सममितता से कौन-से युग्म अवश्य मिलेंगे?
If (R) is symmetric and contains ((1,2),(2,3)), which pairs must be present by symmetry?
#symmetric relation
#reverse pair
#exam mcq
A ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
D ((3,3)) और ((1,1)) / ((3,3)) and ((1,1))
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Correct Answer
A. ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
Step 1
Concept
सममितता प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म देती है। / Symmetry gives the reverse of each pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। / ((1,2)) gives ((2,1)), and ((2,3)) gives ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
((1,3)) संक्रमणीयता से आ सकता है, सममितता से नहीं। / ((1,3)) may come from transitivity, not symmetry.
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यदि (R) संक्रमणीय है और (R) में ((1,2),(2,3),(3,4)) हैं, तो कौन-सा युग्म अवश्य होगा?
If (R) is transitive and contains ((1,2),(2,3),(3,4)), which pair must be present?
#transitive relation
#chain property
#ordered pairs
A ((1,4))
B ((4,1))
C ((2,1))
D ((3,1))
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Correct Answer
A. ((1,4))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,3)), we get ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मिलेगा। / Then from ((1,3)) and ((3,4)), we get ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ी में संक्रमणीयता को क्रम से लगाएँ। / Apply transitivity step by step in a chain.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (a) का वर्ग ({a,b,c}) है, तो (b) का वर्ग क्या होगा?
If (R) is an equivalence relation and the class of (a) is ({a,b,c}), what is the class of (b)?
#equivalence class
#partition property
#relations
A ({a,b,c})
B ({b})
C ({a,c})
D कह नहीं सकते / Cannot say
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Correct Answer
A. ({a,b,c})
Step 1
Concept
तुल्यता वर्गों में एक ही वर्ग के सभी अवयव समान समूह साझा करते हैं। / In equivalence classes, all elements of the same class share the same group.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b), (a) के वर्ग में है, तो (b) का वर्ग भी वही होगा। / Since (b) is in the class of (a), the class of (b) is the same.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या बिल्कुल अलग होते हैं। / Equivalence classes are either identical or disjoint.
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तुल्यता संबंध से बने दो तुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about two equivalence classes formed by an equivalence relation?
#equivalence classes
#partition
#concept mcq
A वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
B वे हमेशा आंशिक रूप से मिलेंगे / They always partially overlap
C वे कभी समान नहीं हो सकते / They can never be identical
D वे हमेशा रिक्त होंगे / They are always empty
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Correct Answer
A. वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate classes.
Step 2
Why this answer is correct
किसी अवयव को दो अलग वर्गों में आधा-आधा नहीं रखा जा सकता। / An element cannot belong partly to two different classes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दो वर्ग या तो एक जैसे होंगे या बिल्कुल अलग होंगे। / Hence two classes are either identical or disjoint.
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यदि किसी संबंध से समुच्चय (A) का विभाजन बनता है, तो वह संबंध सामान्यतः किस प्रकार से जुड़ा होता है?
If a relation creates a partition of set (A), it is generally connected with which type of relation?
#partition
#equivalence relation
#relations concept
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल रिक्त संबंध / Only empty relation
C केवल सार्वत्रिक संबंध / Only universal relation
D केवल असममित संबंध / Only asymmetric relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को तुल्यता वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
ये वर्ग मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं और आपस में अलग रहते हैं। / These classes together cover the set and remain disjoint.
Step 3
Exam Tip
विभाजन दिखे तो तुल्यता संबंध का विचार करें। / When you see a partition, think of an equivalence relation.
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यदि किसी संबंध में हर दो अवयव तुलनीय हों और वह आंशिक क्रम भी हो, तो उसे क्या कहा जाता है?
If every two elements are comparable in a relation and it is also a partial order, what is it called?
#total order
#partial order
#types of relations
A पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C रिक्त संबंध / Empty relation
D सममित संबंध / Symmetric relation
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Correct Answer
A. पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
Step 1
Concept
आंशिक क्रम में सभी अवयवों का तुलनीय होना जरूरी नहीं है। / In a partial order, not every pair of elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
जब हर दो अवयव तुलनीय हों, तो आंशिक क्रम पूर्ण क्रम बन जाता है। / When every two elements are comparable, the partial order becomes a total order.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) जैसे संबंध पूर्ण क्रम के सामान्य उदाहरण हैं। / Relations like \(\le\) are common examples of total order.
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प्राकृतिक संख्याओं पर \(\le\) संबंध कैसा है?
What type of relation is \(\le\) on natural numbers?
#less than equal
#total order
#natural numbers
A पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
B केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D रिक्त संबंध / Empty relation
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Correct Answer
A. पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
Step 1
Concept
\(\le\) स्वसम है क्योंकि \(a\le a\)। / \(\le\) is reflexive because \(a\le a\).
Step 2
Why this answer is correct
यह विरोधी सममित और संक्रमणीय भी है। / It is also antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में हर दो संख्याओं की तुलना \(\le\) से हो सकती है, इसलिए यह पूर्ण क्रम है। / Any two natural numbers are comparable under \(\le\), so it is a total order.
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समुच्चय ({{1},{2},{1,2}}) पर \(\subseteq\) संबंध पूर्ण क्रम क्यों नहीं है?
On the set ({{1},{2},{1,2}}), why is \(\subseteq\) not a total order?
#subset relation
#total order
#comparability
A क्योंकि ({1}) और ({2}) तुलनीय नहीं हैं / Because ({1}) and ({2}) are not comparable
B क्योंकि \({1}\subseteq{1}\) गलत है / Because \({1}\subseteq{1}\) is false
C क्योंकि यह संक्रमणीय नहीं है / Because it is not transitive
D क्योंकि यह संबंध नहीं है / Because it is not a relation
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Correct Answer
A. क्योंकि ({1}) और ({2}) तुलनीय नहीं हैं / Because ({1}) and ({2}) are not comparable
Step 1
Concept
पूर्ण क्रम में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। / In a total order, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\({1}\subseteq{2}\) नहीं है और \({2}\subseteq{1}\) भी नहीं है। / \({1}\subseteq{2}\) is false and \({2}\subseteq{1}\) is also false.
Step 3
Exam Tip
एक अतुलनीय जोड़ी मिलते ही पूर्ण क्रम नहीं बनता। / One incomparable pair is enough to stop it from being a total order.
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संबंधों के प्रकार की पहचान में सबसे सुरक्षित अंतिम रणनीति कौन-सी है?
What is the safest final strategy for identifying the type of a relation?
#exam strategy
#types of relations
#concept clarity
A स्वसमता, सममितता या विरोधी सममितता, और संक्रमणीयता को अलग-अलग जाँचना / Check reflexivity, symmetry or antisymmetry, and transitivity separately
B केवल युग्मों की संख्या देखकर उत्तर देना / Answer only by counting pairs
C केवल पहले युग्म को देखकर उत्तर देना / Answer only by seeing the first pair
D केवल संबंध का नाम देखकर उत्तर देना / Answer only by seeing the relation name
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Correct Answer
A. स्वसमता, सममितता या विरोधी सममितता, और संक्रमणीयता को अलग-अलग जाँचना / Check reflexivity, symmetry or antisymmetry, and transitivity separately
Step 1
Concept
अपने युग्मों से स्वसमता जाँचें। / Check reflexivity using self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्मों से सममितता या विरोधी सममितता जाँचें। / Check symmetry or antisymmetry using reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
जुड़े युग्मों से संक्रमणीयता जाँचकर ही अंतिम प्रकार तय करें। / Check transitivity using linked pairs before deciding the final type.
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