Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\times A\) में \(3\times 3=9\) क्रमित युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(3\times 3=9\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए कुल संबंध \(2^9\) होंगे। / A relation is any subset of \(A\times A\), so the number of relations is \(2^9\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल के युग्म गिनें, फिर उपसमुच्चय लगाएं। / In exams, count the ordered pairs first and then use the subset count.
\(A\times A\) में (16) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains (16) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं, इसलिए बाकी (12) युग्मों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। / A reflexive relation must contain the (4) diagonal pairs, so the remaining (12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती संबंधों की गिनती में हमेशा अनिवार्य विकर्ण युग्म घटाएं। / For reflexive relation counts, subtract the compulsory diagonal pairs.
तीन विकर्ण युग्म अपने आप स्वतंत्र रहते हैं। / The three diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण से बाहर के (6) युग्म (3) जोड़ों में बंटते हैं, हर जोड़ा साथ में चुना जाता है या छोड़ा जाता है। / The (6) off-diagonal pairs form (3) reverse-pair groups, and each group is chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध के लिए स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं, इसलिए \(2^6\)। / Thus there are (3+3=6) independent choices, giving \(2^6\).
(a-a=0) संख्या (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है तो (b-a) भी विभाज्य है, और दो ऐसे अंतर जोड़ने पर संक्रामकता मिलती है। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), and adding two such differences gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले संबंधों में अक्सर समतुल्यता बनती है। / Remainder-based relations often form equivalence relations.
तीनों विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। / All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) is accompanied by ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है; इसलिए संक्रामी भी है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present; hence transitivity also holds.
B. विकर्ण से बाहर कोई विपरीत युग्म साथ नहीं हो सकता/no reverse pair can occur off the diagonal
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता कहती है कि अलग (a,b) के लिए दोनों साथ नहीं हो सकते। / Antisymmetry says that for \(a\ne b\), both cannot be present together.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग अवयवों के बीच युग्म लेना हो तो सावधानी से केवल एक दिशा ली जा सकती है। / Therefore, for distinct elements, no two-way off-diagonal pair can occur.
