यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=e^x+e^{-x}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=e^x+e^{-x}), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#even behavior
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
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Correct Answer
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(e^x+e^{-x}\) में (x) की जगह (-x) रखने पर वही मान मिलता है। / In \(e^x+e^{-x}\), replacing (x) by (-x) gives the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=e+e^{-1}) और (f(-1)=e^{-1}+e), इसलिए दोनों बराबर हैं। / (f(1)=e+e^{-1}) and (f(-1)=e^{-1}+e), so they are equal.
Step 3
Exam Tip
सम व्यवहार वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Functions with even behavior are not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=e^x-e^{-x}) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=e^x-e^{-x}), what is the nature of (f)?
#exponential function
#increasing function
#one-one function
#expert
A एक-एक नहीं / Not one-one
B स्थिर / Constant
C एक-एक / One-one
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
C. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(e^x\) बढ़ता है और \(e^{-x}\) घटता है। / \(e^x\) increases and \(e^{-x}\) decreases.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x-e^{-x}\) (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। / Therefore \(e^x-e^{-x}\) keeps increasing as (x) increases.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#greatest integer function
#counterexample
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many values from an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor1.9\rfloor=1\), जबकि \(1.2\neq1.9\)। / \(\lfloor1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor1.9\rfloor=1\), while \(1.2\neq1.9\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलनों में प्रतिबिंब दोहराना सामान्य है। / Step functions commonly repeat outputs.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#cubic function
#injective function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f(1)=f(-1))
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) एक-एक है / (f) is one-one
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Correct Answer
D. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
घन फलन पूर्णांकों पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on integers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1^3=n_2^3\), तो \(n_1=n_2\) ही होगा। / If \(n_1^3=n_2^3\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का यह सरल नियम पूर्णांकों पर एक-एक रहता है। / This simple odd-power rule remains one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=|n|) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=|n|), why is (f) not one-one?
#absolute value
#integer function
#counterexample
#one-one function
A क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
B क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
C क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
D क्योंकि (f(1)\neq f(-1)) / Because (f(1)\neq f(-1))
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Correct Answer
C. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान विपरीत पूर्णांकों को समान मान देता है। / Absolute value gives the same value for opposite integers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), लेकिन (|2|=2) और (|-2|=2)। / \(2\neq-2\), but (|2|=2) and (|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
एक समान प्रतिबिंब मिलते ही एक-एकता टूट जाती है। / One repeated image is enough to break injectivity.
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यदि \(f=\{(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d,e}\), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f=\{(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)\}\), where \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d,e}\), choose the correct statement about (f).
#ordered pairs
#finite function
#one-one function
#class 12
A (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
D (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब दिया गया है। / Each element of the domain has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (a,c,b,d) सभी अलग हैं। / The images (a,c,b,d) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में दूसरे अवयवों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है। / For finite sets a function is one-one when second components do not repeat.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है और \(A=\{p,q,r,s\}\), तो कौन सी छवि-सूची संभव नहीं है?
If \(f:A\to B\) is one-one and \(A=\{p,q,r,s\}\), which image list is not possible?
#finite mapping
#image list
#one-one function
#exam practice
A (f(p)=1,\ f(q)=2,\ f(r)=3,\ f(s)=4)
B (f(p)=5,\ f(q)=6,\ f(r)=7,\ f(s)=8)
C (f(p)=2,\ f(q)=4,\ f(r)=6,\ f(s)=8)
D (f(p)=3,\ f(q)=5,\ f(r)=3,\ f(s)=7)
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Correct Answer
D. (f(p)=3,\ f(q)=5,\ f(r)=3,\ f(s)=7)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / In a one-one function different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
चौथे विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (3) है। / In the fourth option both (p) and (r) have image (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले दोहराए गए प्रतिबिंब को खोजें। / In such questions first look for repeated images.
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किस स्थिति में \(f:A\to B\) का प्रतिलोम संबंध (f(A)\to A) एक फलन बनेगा?
In which case will the inverse relation of \(f:A\to B\) become a function from (f(A)) to (A)?
#inverse relation
#injective function
#one-one function
#class 12
A जब (f) एक-एक हो / When (f) is one-one
B जब (f) स्थिर हो और (A) में कई तत्व हों / When (f) is constant and (A) has many elements
C जब (B) रिक्त हो / When (B) is empty
D जब (f) परिभाषित न हो / When (f) is not defined
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Correct Answer
A. जब (f) एक-एक हो / When (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रतिलोम में हर प्रतिबिंब को उसके मूल आगत से जोड़ा जाता है। / In the inverse relation each image is linked back to its original input.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f) एक-एक है, तो हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होगा। / If (f) is one-one, each image has only one original input.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम को फलन बनाने के लिए एक-एकता जरूरी शर्त है। / Injectivity is the key condition for the inverse to be a function.
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एक-एक फलन की रेखाचित्र द्वारा जांच के लिए कौन सा नियम सही है?
Which rule is correct for checking a one-one function from its graph?
#horizontal line test
#graph
#one-one function
#class 12
A हर ऊर्ध्वाधर रेखा रेखाचित्र को दो बार काटे / Every vertical line cuts the graph twice
B हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at most once
C हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को कम से कम दो बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at least twice
D रेखाचित्र का वक्र होना जरूरी है / The graph must be curved
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Correct Answer
B. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at most once
Step 1
Concept
एक-एकता का अर्थ है कि एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों से न मिले। / Injectivity means the same (y)-value should not come from two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
क्षैतिज रेखा एक निश्चित (y)-मान को दिखाती है। / A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
यदि कोई क्षैतिज रेखा दो बार काटती है, तो फलन एक-एक नहीं होगा। / If any horizontal line cuts the graph twice, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), what is the correct statement about (f)?
#rational function
#counterexample
#one-one function
#expert
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
C (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में समान मानों की जांच करें। / For a rational function check repeated values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एक-एकता नहीं रहती। / Same value at two different inputs destroys injectivity.
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