यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 -x) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को सिद्ध करता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 -x), which option proves that (f) is not one-one?
#polynomial
#roots
#counterexample
#one-one function
A (f(2)=f(3))
B (f(-2)=f(2))
C (f(1)=f(2))
D (f(-1)=f(0)=f(1))
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Correct Answer
D. (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत करने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएं। / To disprove injectivity, show the same value at different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में शून्य देने वाले अनेक मान एक-एकता को तुरंत तोड़ देते हैं। / Multiple roots giving the same output quickly break injectivity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 +x-3 +x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 +x-3 +x), choose the correct statement about (f).
#increasing polynomial
#odd powers
#one-one function
#expert
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) एक-एक है / (f) is one-one
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
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Correct Answer
C. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(x^5\), \(x^3\) और (x) सभी बढ़ने वाले पद हैं। / \(x^5\), \(x^3\), and (x) are all increasing terms.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर इनका योग भी बढ़ता है। / As (x) increases, their sum also increases.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है, इसलिए यह फलन एक-एक है। / A strictly increasing function is one-one, so this function is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है, तो निम्न में से कौन सा कथन इसके बराबर अर्थ रखता है?
If \(f:A\to B\) is one-one, which of the following statement has equivalent meaning?
#definition
#contrapositive
#one-one function
#class 12
A यदि (a=b), तो (f(a)\neq f(b)) / If (a=b), then (f(a)\neq f(b))
B यदि (f(a)=f(b)), तो \(a\neq b\) / If (f(a)=f(b)), then \(a\neq b\)
C हर (a) के लिए (f(a)) समान है / (f(a)) is same for every (a)
D यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b)) / If \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b))
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Correct Answer
D. यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b)) / If \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b))
Step 1
Concept
एक-एकता का अर्थ है अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग हों। / Injectivity means different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\neq b\) होने पर (f(a)\neq f(b)) होना चाहिए। / Therefore if \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b)).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा को दोनों रूपों में याद रखें, इससे प्रमाण आसान होते हैं। / Remember both forms of the definition to handle proofs easily.
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रैखिक भिन्नात्मक फलन (f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}) के लिए \(ad-bc\neq0\) और \(cx+d\neq0\) हो, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
For the linear fractional function (f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}), if \(ad-bc\neq0\) and \(cx+d\neq0\), what is correct about (f)?
#linear fractional function
#parameter
#injective function
#expert
A (f) अपने प्रांत पर एक-एक है / (f) is one-one on its domain
B (f) हमेशा स्थिर है / (f) is always constant
C (f) कभी फलन नहीं बनता / (f) never becomes a function
D (f) हर जगह अपरिभाषित है / (f) is undefined everywhere
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Correct Answer
A. (f) अपने प्रांत पर एक-एक है / (f) is one-one on its domain
Step 1
Concept
समान मान मानकर क्रॉस गुणा करें। / Assume equal values and cross multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) को सरल करने पर ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0) मिलता है। / Simplifying \(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) gives ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(ad-bc\neq0\) होने से \(x_1=x_2\), अतः फलन एक-एक है। / Since \(ad-bc\neq0\), \(x_1=x_2\), so the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x+1}{x+3}) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{2x+1}{x+3}), what is the nature of (f)?
#rational function
#linear fractional
#one-one function
#class 12
A एक-एक नहीं / Not one-one
B स्थिर / Constant
C एक-एक / One-one
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
C. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
यह रैखिक भिन्नात्मक रूप है। / This is a linear fractional form.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(ad-bc=2\cdot3-1\cdot1=5\neq0\)। / Here \(ad-bc=2\cdot3-1\cdot1=5\neq0\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए अपने दिए गए प्रांत पर यह फलन एक-एक है। / Therefore the function is one-one on its given domain.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x-2|), what is the correct statement about (f)?
#absolute value
#restricted domain
#one-one function
#expert
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल ऋणात्मक मान देता है / (f) gives only negative values
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\ge2\) है। / In the given domain \(x\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|x-2|=x-2), जो बढ़ने वाला रैखिक फलन है। / Therefore (|x-2|=x-2), which is an increasing linear function.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान को एक ओर सीमित करने से फलन एक-एक बन सकता है। / Restricting an absolute value function to one side can make it one-one.
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यदि (f:\(-\infty,2]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\(-\infty,2]\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x-2|), what is the correct conclusion about (f)?
#absolute value
#decreasing function
#restricted domain
#one-one function
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) एक-एक है / (f) is one-one
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Correct Answer
D. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\le2\) है। / In the given domain \(x\le2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|x-2|=2-x), जो घटने वाला रैखिक फलन है। / Therefore (|x-2|=2-x), which is a decreasing linear function.
Step 3
Exam Tip
घटने वाला रैखिक फलन भी एक-एक होता है। / A decreasing linear function is also one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x-2|), why is (f) not one-one?
#absolute value
#counterexample
#one-one function
#class 12
A क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
B क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / Because (f(2)) is not defined
C क्योंकि (f) हर जगह ऋणात्मक है / Because (f) is negative everywhere
D क्योंकि (f(0)\neq f(4)) / Because (f(0)\neq f(4))
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान केंद्र से बराबर दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। / Absolute value gives the same value to inputs equally distant from the center.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=1) और (f(3)=1)। / (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर निरपेक्ष मान फलन आम तौर पर एक-एक नहीं होता। / On the whole real domain an absolute value function is generally not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2 +1}) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)) and (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), choose the correct statement about (f).
#square root function
#even expression
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
C (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
D (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
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Correct Answer
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(x^2\) के कारण विपरीत आगत समान अंदरूनी मान देते हैं। / Because of \(x^2\), opposite inputs give the same inner value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt2) और (f(-1)=\sqrt2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=\sqrt2) and (f(-1)=\sqrt2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल होने से पहले अंदर के वर्ग को ध्यान से देखें। / Before focusing on the square root, check the square inside it.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2 +1}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), what is the correct statement about (f)?
#restricted domain
#square root function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^2+1\) और फिर \(\sqrt{x^2+1}\) भी बढ़ता है। / As (x) increases, \(x^2+1\) and then \(\sqrt{x^2+1}\) increase.
Step 3
Exam Tip
सही प्रांत पर वर्गमूल वाला यह फलन एक-एक हो जाता है। / On the correct domain this square-root function becomes one-one.
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