Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
D. (g) को कम से कम (f(A)) पर एक-एक व्यवहार करना होगा/(g) must behave one-one at least on (f(A))
Step 1
Concept
संयोजन \(g\circ f\) में (g) केवल (f) के परास पर काम करता है। / In \(g\circ f\), (g) is used only on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न भी हो, फिर भी (f(A)) पर अलग मान दे सकता है। / (g) may not be one-one on its whole domain but can behave distinctly on (f(A)).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में प्रयुक्त भाग और पूरे प्रांत में अंतर समझना जरूरी है। / In composition, distinguish the used part from the whole domain.
(A) के चार तत्वों के लिए (B) से चार अलग प्रतिबिंब चुनने हैं। / Four elements of (A) need four distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The number is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलनों की गिनती में चयन नहीं, क्रमचय लगता है क्योंकि आगत अलग-अलग हैं। / For one-one functions use permutations, not combinations, because domain elements are distinct.
दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The given domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। / On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है। / Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one.
\(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / \(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। / If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए। / For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex.
\(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है। / A strictly increasing function is always one-one.
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show equal output for two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-54+27=0), जबकि \(0\neq3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-54+27=0), while \(0\neq3\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में आसान मान रखकर समान प्रतिबिंब जल्दी खोजें। / In polynomial questions use simple values to quickly find repeated images.
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। / If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें। / While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first.
