Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समान प्रतिबिंब मानकर हल करें। / Assume equal images and solve.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\) करने पर सरल करने से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\), simplification gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्रॉस गुणा करते समय प्रांत की मनाही याद रखें। / In linear fractional functions remember the excluded domain value while cross multiplying.
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि दो भागों के परास मिलते हैं/(f) is not one-one because the ranges of the two pieces overlap
Step 1
Concept
टुकड़ों में दिए फलन में अलग-अलग भागों के परास देखें। / In a piecewise function check the ranges of different pieces.
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) और (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), जबकि दोनों आगत अलग हैं। / (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) and (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता को तोड़ देता है। / Same value from different pieces breaks injectivity.
(x<0) पर (f(x)<-1) मिलता है। / For (x<0), (f(x)<-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर (f(x)\ge1) मिलता है, इसलिए दोनों भागों के परास अलग हैं। / For \(x\ge0\), (f(x)\ge1), so the ranges of the two pieces are disjoint.
Step 3
Exam Tip
हर भाग अलग-अलग एक-एक है और परास नहीं मिलते, इसलिए पूरा फलन एक-एक है। / Each piece is one-one and their ranges do not overlap, so the whole function is one-one.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))/(f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। / \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें। / For trigonometric functions check the interval carefully.
तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। / Three elements need three distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (3!=6) होगी। / The number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है। / For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly.
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
नियम में सभी घात सम हैं। / All powers in the rule are even.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद पूरे वास्तविक प्रांत पर अक्सर एक-एक नहीं होते। / Polynomials with even-power symmetry are usually not one-one on the whole real domain.
