निम्न में से कौन सा \(A=\{1,2\}\) से \(B=\{3,4,5\}\) में फलन है?
Which of the following is a function from \(A=\{1,2\}\) to \(B=\{3,4,5\}\)?
#functions
#definition
#ordered-pairs
A ({(1,3),(2,4)})
B ({(1,3),(1,4),(2,5)})
C ({(1,3)})
D ({(2,3),(2,4)})
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Correct Answer
A. ({(1,3),(2,4)})
Step 1
Concept
फलन में प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। / In a function, each element of the domain must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में (1) और (2) दोनों का एक-एक प्रतिबिंब है। / In the first option, both (1) and (2) have exactly one image.
Step 3
Exam Tip
किसी तत्व के दो प्रतिबिंब हों या कोई तत्व छूट जाए तो वह फलन नहीं होता। / If an element has two images or is missing, it is not a function.
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कौन सा विकल्प फलन नहीं हो सकता?
Which option cannot be a function?
#functions
#definition
#well-defined
A एक ही प्रांत तत्व के दो अलग प्रतिबिंब हों / One domain element has two different images
B दो प्रांत तत्वों का एक ही प्रतिबिंब हो / Two domain elements have the same image
C हर प्रांत तत्व का एक प्रतिबिंब हो / Every domain element has one image
D सहप्रांत का कोई तत्व अप्रयुक्त रह जाए / Some codomain element remains unused
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Correct Answer
A. एक ही प्रांत तत्व के दो अलग प्रतिबिंब हों / One domain element has two different images
Step 1
Concept
फलन की मूल शर्त है कि हर आगत का ठीक एक निर्गत हो। / The basic condition for a function is that each input has exactly one output.
Step 2
Why this answer is correct
यदि एक ही आगत के दो अलग निर्गत हैं तो नियम निश्चित नहीं है। / If one input has two different outputs, the rule is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
दो आगतों का एक ही निर्गत हो सकता है पर तब फलन एकैकी नहीं होगा। / Two inputs may have the same output, but then the function is not one-one.
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फलन (f(x)=\sqrt{x-4}) का वास्तविक प्रांत क्या है?
What is the real domain of the function (f(x)=\sqrt{x-4})?
#functions
#domain
#square-root
A \([4,\infty\))
B (\(4,\infty\))
C (\(-\infty,4]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([4,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर की मात्रा ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-4\geq0\) से \(x\geq4\) मिलता है। / \(x-4\geq0\) gives \(x\geq4\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की मात्रा को (0) से बड़ा या बराबर रखें। / For square-root functions, set the radicand greater than or equal to (0).
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फलन (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}) का वास्तविक प्रांत क्या होगा?
What is the real domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}})?
#functions
#domain
#denominator
#square-root
A \([2,\infty\))
B (\(2,\infty\))
C (\(-\infty,2\))
D \(\mathbb{R}-{2}\)
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Correct Answer
B. (\(2,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के लिए \(x-2\geq0\) चाहिए। / For the square root, \(x-2\geq0\) is needed.
Step 2
Why this answer is correct
हर में वर्गमूल है इसलिए (x-2=0) नहीं हो सकता। / Since the square root is in the denominator, (x-2=0) is not allowed.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तों से (x>2) मिलता है। / Combining both conditions gives (x>2).
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फलन (f(x)=\sqrt{9-x-2 }) का वास्तविक प्रांत क्या है?
What is the real domain of (f(x)=\sqrt{9-x-2 })?
#functions
#domain
#inequality
#square-root
A ([-3,3])
B (\(-\infty,-3]\cup[3,\infty\))
C ((0,3))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([-3,3])
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq0\) होना चाहिए। / The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2\leq9\) यानी \(-3\leq x\leq3\) मिलता है। / This gives \(x^2\leq9\), so \(-3\leq x\leq3\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले असमानताओं में दोनों ओर की सीमा याद रखें। / In square inequalities, remember both lower and upper bounds.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 ) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 ), what is the correct conclusion?
#functions
#power-function
#range
#not-bijective
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^4\geq0\) इसलिए ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। / Since \(x^4\geq0\), negative real numbers are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में चिन्ह और परास दोनों जाँचें। / For even powers, check both sign symmetry and range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x-4 ) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-4 ), what type of function is it?
#functions
#power-function
#onto
#not-one-one
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
C. आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=16) और (f(-2)=16) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=16) and (f(-2)=16), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt[4]{y}\) से मिल जाता है। / Every \(y\geq0\) is obtained using \(x=\sqrt[4]{y}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही फलन आच्छादी बन सकता है। / Changing the codomain can make the same function onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) हो तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), choose the correct statement.
#functions
#integers
#cube-function
#one-one
A यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
B यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
C यह द्वैकीय है / It is bijective
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
Step 1
Concept
अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / Cubes of different integers are different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सभी पूर्णांक घन नहीं होते जैसे (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है। / Not every integer is a cube; for example, (2) is not the cube of any integer.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास ध्यान से देखें। / For power functions on integers, examine the range carefully.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x+1) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x+1), what type of function is it?
#functions
#rational-numbers
#bijection
#linear-function
A द्वैकीय / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्वैकीय / Bijective
Step 1
Concept
अलग परिमेय संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। / Adding (1) to different rational numbers gives different rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी परिमेय (y) के लिए (x=y-1) भी परिमेय है इसलिए हर (y) मिल जाता है। / For any rational (y), (x=y-1) is also rational, so every (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्याओं में जोड़ और घटाव बंद रहते हैं। / Rational numbers are closed under addition and subtraction.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x-2 ), what is the correct conclusion?
#functions
#rational-numbers
#square-function
#range
A द्वैकीय / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ किसी परिमेय के वर्ग के रूप में नहीं मिलतीं। / Negative rational numbers cannot be squares of rational numbers.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों आगतों से समान मान मिल सकता है। / In square functions, positive and negative inputs can give the same value.
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