Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिलता है। (2) के तुल्यता वर्ग में कौन-कौन से अवयव होंगे?
(2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / Dividing (2) by (4) leaves remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (2) और (6) का शेष (2) है। / In the given set, only (2) and (6) leave remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल समुच्चय से बाहर की संख्याएँ नहीं लिखनी चाहिए। / While writing an equivalence class, do not include numbers outside the given base set.
जिन अवयवों के लिए (\min(a,3)=3) होगा, वे (3,4,5) हैं। / The elements for which (\min(a,3)=3) are (3,4,5).
Step 3
Exam Tip
फलन के समान मान से बने सम्बन्ध में समान मान वाले सभी अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / In a relation made by equal function values, all elements with the same value lie in one class.
हर त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / Every triangle is similar to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला त्रिभुज दूसरे के समरूप है, तो दूसरा भी पहले के समरूप है। / If the first triangle is similar to the second, the second is similar to the first.
Step 3
Exam Tip
यदि पहला दूसरे के और दूसरा तीसरे के समरूप है, तो पहला तीसरे के समरूप होगा। / If the first is similar to the second and the second to the third, then the first is similar to the third.
तुल्यता वर्गों का मुख्य गुण है कि दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त। / The main property of equivalence classes is that two classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ दिया है कि \([a]\neq[b]\), इसलिए समान होने की संभावना नहीं रही। / Here \([a]\neq[b]\), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
अतः दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore their intersection must be empty.
तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयव एक ही वर्ग में होते हैं। / In an equivalence relation, related elements lie in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (aRb), तो जो भी (a) से सम्बन्धित है वह (b) से भी सम्बन्धित होगा। / If (aRb), anything related to (a) is also related to (b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों के तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं; वे आंशिक रूप से नहीं बल्कि पूरी तरह समान होते हैं। / Therefore the equivalence classes are equal, not just partially overlapping.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में ((4,7)) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
(4) को (2) से भाग देने पर शेष (0) है। / (4) leaves remainder (0) when divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(7) को (2) से भाग देने पर शेष (1) है। / (7) leaves remainder (1) when divided by (2).
Step 3
Exam Tip
शेष अलग हैं, इसलिए (4) और (7) सम्बन्धित नहीं हैं और \((4,7)\notin R\) होगा। / The remainders are different, so (4) and (7) are not related and \((4,7)\notin R\).
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई एक समान अवयव हो, तो वे दोनों वर्ग समान हो जाते हैं। / If two classes share even one element, the two classes become identical.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता; यही विभाजन की मुख्य पहचान है। / Hence distinct equivalence classes are disjoint; this is the main idea of partition.
A. क्योंकि समान जन्मतिथि की बात स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because having the same date of birth is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
हर विद्यार्थी की जन्मतिथि स्वयं के समान होती है। / Every student has the same date of birth as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले की जन्मतिथि दूसरे जैसी है, तो दूसरे की भी पहले जैसी है। / If the first student has the same date as the second, the second has the same date as the first.
Step 3
Exam Tip
यदि दो विद्यार्थी तीसरे के साथ समान जन्मतिथि रखते हैं, तो वे आपस में भी समान जन्मतिथि रखेंगे। / If two students share the same date with a third student, they share it with each other too.
