यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \((a,a)\in R\) किस गुण से मिलता है?
If (R) is an equivalence relation, from which property do we get \((a,a)\in R\)?
#reflexivity
#self pair
#equivalence
A परावर्तकता / Reflexivity
B सममितता / Symmetry
C संक्रामकता / Transitivity
D रिक्तता / Emptiness
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Correct Answer
A. परावर्तकता / Reflexivity
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में परावर्तक गुण अवश्य होता है। / An equivalence relation must be reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
इसी गुण से हर (a) के लिए \((a,a)\in R\) मिलता है। / Reflexivity gives \((a,a)\in R\) for every (a).
Step 3
Exam Tip
अपने युग्म दिखाने के लिए परावर्तकता का नाम लिखें। / Use the word reflexivity whenever self-pairs are required.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((4,7)\in R\), तो \((7,4)\in R\) किस कारण से होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((4,7)\in R\), why must \((7,4)\in R\)?
#symmetry
#reverse pair
#equivalence
A सममितता के कारण / Because of symmetry
B परावर्तकता के कारण / Because of reflexivity
C संक्रामकता के कारण / Because of transitivity
D रिक्तता के कारण / Because of emptiness
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Correct Answer
A. सममितता के कारण / Because of symmetry
Step 1
Concept
((4,7)) का उलटा युग्म ((7,4)) है। / The reverse of ((4,7)) is ((7,4)).
Step 2
Why this answer is correct
तुल्यता संबंध में सममितता होती है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। / An equivalence relation is symmetric, so the reverse pair must be present.
Step 3
Exam Tip
उलटे युग्म के प्रश्न में सममितता याद रखें। / Reverse-pair questions usually use symmetry.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((1,2)\in R\), \((2,5)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((1,2)\in R\), \((2,5)\in R\), which pair must be present?
#transitivity
#ordered pairs
#equivalence
A ((1,5))
B ((5,1)) नहीं / Not ((5,1))
C ((1,3))
D ((2,1)) ही केवल / Only ((2,1))
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Correct Answer
A. ((1,5))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,5)) में बीच का तत्व (2) समान है। / In ((1,2)) and ((2,5)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता से ((1,5)) मिलना चाहिए। / By transitivity, ((1,5)) must be present.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता लगाते समय पहला और अंतिम तत्व लेकर नया युग्म बनाएँ। / Take the first and last elements to form the transitive pair.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। (0) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{2}\). What is the equivalence class of (0)?
#modulo 2
#equivalence class
#even integers
A सभी सम पूर्णांक / All even integers
B सभी विषम पूर्णांक / All odd integers
C केवल (0) / Only (0)
D सभी पूर्णांक / All integers
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Correct Answer
A. सभी सम पूर्णांक / All even integers
Step 1
Concept
\( \pmod{2}\) में (0) का शेषफल (0) है। / Modulo (2), (0) has remainder (0).
Step 2
Why this answer is correct
जिन पूर्णांकों का शेषफल (0) है, वे सम पूर्णांक हैं। / Integers with remainder (0) are even integers.
Step 3
Exam Tip
([0]) को सम पूर्णांकों का वर्ग समझें। / So ([0]) is the class of even integers.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{2}\). What is the equivalence class of (1)?
#modulo 2
#odd integers
#equivalence class
A सभी विषम पूर्णांक / All odd integers
B सभी सम पूर्णांक / All even integers
C केवल (1) / Only (1)
D सभी धन पूर्णांक / All positive integers
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Correct Answer
A. सभी विषम पूर्णांक / All odd integers
Step 1
Concept
(1) को (2) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / (1) has remainder (1) when divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यही शेषफल रखने वाले पूर्णांक विषम होते हैं। / Integers with this remainder are odd.
Step 3
Exam Tip
\( \pmod{2}\) में दो वर्ग बनते हैं: सम और विषम। / Modulo (2) gives two classes: even and odd.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में (aRb) तब हो जब (a) और (b) का शेषफल (3) से भाग देने पर समान हो। (1) का वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) have the same remainder when divided by (3). What is the class of (1)?
#same remainder
#modulo 3
#class
A {(1,4)}
B {(2,5)}
C {(3,6)}
D {(1,2,3)}
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Correct Answer
A. {(1,4)}
Step 1
Concept
(1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / (1) leaves remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(4) को भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / (4) also leaves remainder (1).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder belong to the same equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में शेषफल (3) के आधार पर (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), under the same remainder modulo (3) relation, what is the equivalence class of (2)?
#equivalence class
#modulo 3
#remainder
A {(2,5)}
B {(1,4)}
C {(3,6)}
D {(2,3)}
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Correct Answer
A. {(2,5)}
Step 1
Concept
(2) का (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(5) का भी शेषफल (2) है। / (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग बनाते समय केवल दिए हुए समुच्चय के तत्वों को ही लें। / While forming the class, use only elements from the given set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में शेषफल (3) के आधार पर (3) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), under the same remainder modulo (3) relation, what is the equivalence class of (3)?
#modulo 3
#equivalence class
#remainder zero
A {(3,6)}
B {(1,4)}
C {(2,5)}
D {(1,3,5)}
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Correct Answer
A. {(3,6)}
Step 1
Concept
(3) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। / (3) leaves remainder (0) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(6) का भी शेषफल (0) है। / (6) also leaves remainder (0).
Step 3
Exam Tip
शेषफल (0) वाले तत्वों को अलग वर्ग में रखें। / Put all elements with remainder (0) in one class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what type of relation is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\)?
#finite relation
#equivalence classes
#easy
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्तक नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तकता है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)), ((2,4)) और ((4,2)) दोनों उलटे युग्म हैं। / The non-self pairs occur with their reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग {(1,3)} और {(2,4)} देखकर तुल्यता संबंध पहचानें। / It forms the classes {(1,3)} and {(2,4)}, so it is an equivalence relation.
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यदि किसी तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग {(1,2)} और {(3)} हैं, तो मूल समुच्चय क्या होगा?
If the equivalence classes of an equivalence relation are {(1,2)} and {(3)}, what is the original set?
#partition
#union of classes
#equivalence
A {(1,2,3)}
B {(1,2)}
C {(3)}
D रिक्त समुच्चय / Empty set
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Correct Answer
A. {(1,2,3)}
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग मिलकर पूरा मूल समुच्चय बनाते हैं। / Equivalence classes together cover the original set.
Step 2
Why this answer is correct
{(1,2)} और {(3)} को मिलाने पर {(1,2,3)} मिलता है। / Combining {(1,2)} and {(3)} gives {(1,2,3)}.
Step 3
Exam Tip
वर्गों का संघ ही मूल समुच्चय होता है। / The union of all classes is the original set.
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