तुल्यता संबंध से बने दो अलग-अलग तुल्यता वर्गों के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement is true about two different equivalence classes formed by an equivalence relation?
#disjoint classes
#partition
#equivalence
A वे असंयुक्त होते हैं / They are disjoint
B वे हमेशा बराबर होते हैं / They are always equal
C उनमें हमेशा एक साझा तत्व होता है / They always have one common element
D वे मूल समुच्चय से बाहर होते हैं / They lie outside the original set
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Correct Answer
A. वे असंयुक्त होते हैं / They are disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग समूहों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate groups.
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग वर्गों में कोई साझा तत्व नहीं होता। / Two distinct classes have no common element.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो वे अलग नहीं बल्कि वही वर्ग होंगे। / If two classes share even one element, they are the same class.
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किसी समुच्चय पर पहचान संबंध के तुल्यता वर्ग कैसे होते हैं?
What are the equivalence classes of the identity relation on a set?
#identity relation
#singleton class
#equivalence
A हर वर्ग में एक ही तत्व होता है / Each class has exactly one element
B हर वर्ग में सभी तत्व होते हैं / Each class contains all elements
C कोई वर्ग नहीं बनता / No class is formed
D सभी वर्ग खाली होते हैं / All classes are empty
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Correct Answer
A. हर वर्ग में एक ही तत्व होता है / Each class has exactly one element
Step 1
Concept
पहचान संबंध में तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, an element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) का वर्ग सिर्फ (a) को रखता है। / Therefore, the class of (a) contains only (a).
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध में एक-तत्वीय वर्ग बनते हैं। / Identity relation gives singleton equivalence classes.
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किसी समुच्चय पर सर्वसम संबंध के तुल्यता वर्ग कैसे होते हैं?
What are the equivalence classes of the universal relation on a set?
#universal relation
#equivalence class
#whole set
A हर तत्व का वर्ग पूरा समुच्चय होता है / The class of every element is the whole set
B हर वर्ग खाली होता है / Every class is empty
C हर वर्ग में एक ही तत्व होता है / Every class has one element
D कोई वर्ग नहीं बनता / No class is formed
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Correct Answer
A. हर तत्व का वर्ग पूरा समुच्चय होता है / The class of every element is the whole set
Step 1
Concept
सर्वसम संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी (a) से पूरा समुच्चय संबंधित है। / So the class of any (a) is the whole set.
Step 3
Exam Tip
सर्वसम संबंध में सभी तत्वों का तुल्यता वर्ग समान होता है। / Universal relation gives one large equivalence class.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\neq[b]\), तो \([a]\cap[b]\) क्या होगा?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\neq[b]\), what is \([a]\cap[b]\)?
#disjoint classes
#intersection
#equivalence
A \(\varnothing\)
B ([a])
C ([b])
D पूरा समुच्चय / The whole set
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Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो बराबर होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \([a]\neq[b]\), तो उनमें कोई साझा तत्व नहीं होगा। / If \([a]\neq[b]\), they have no common element.
Step 3
Exam Tip
अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली होता है। / Distinct equivalence classes have empty intersection.
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संबंध (aRb) तब हो जब \(a\le b\)। वास्तविक संख्याओं पर यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
For real numbers, (aRb) if \(a\le b\). Why is this not an equivalence relation?
#less than equal
#not symmetric
#not equivalence
A सममित नहीं है / It is not symmetric
B परावर्तक नहीं है / It is not reflexive
C संक्रामक नहीं है / It is not transitive
D कोई संबंध नहीं है / It is not a relation
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Correct Answer
A. सममित नहीं है / It is not symmetric
Step 1
Concept
\(a\le a\) के कारण परावर्तकता है। / \(a\le a\) makes the relation reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
परंतु \(2\le 3\) सही है, लेकिन \(3\le 2\) सही नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / But \(2\le 3\) is true while \(3\le 2\) is false, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
क्रम संबंधों में सममितता अक्सर टूटती है। / Order relations often fail symmetry.
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संबंध (aRb) तब हो जब (a<b)। वास्तविक संख्याओं पर यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
For real numbers, (aRb) if (a<b). Why is this not an equivalence relation?
#less than
#not reflexive
#equivalence check
A परावर्तक नहीं है / It is not reflexive
B सममित है / It is symmetric
C सर्वसम है / It is universal
D पहचान संबंध है / It is identity relation
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Correct Answer
A. परावर्तक नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
परावर्तकता के लिए (a<a) चाहिए। / Reflexivity would require (a<a).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी संख्या अपने से छोटी नहीं होती, इसलिए यह गुण नहीं मिलता। / No number is less than itself, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
सख्त असमानता वाले संबंध को तुल्यता संबंध न मानें। / Strict inequality relations are not equivalence relations.
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संबंध (aRb) तब हो जब (a) और (b) दोनों धनात्मक हों। वास्तविक संख्याओं पर यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
For real numbers, (aRb) if both (a) and (b) are positive. Why is this not an equivalence relation?
#positive numbers
#not reflexive
#real numbers
A परावर्तक नहीं है / It is not reflexive
B सममित नहीं है / It is not symmetric
C संक्रामक नहीं है / It is not transitive
D यह पहचान संबंध है / It is identity relation
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Correct Answer
A. परावर्तक नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक और शून्य भी होते हैं। / Real numbers include negative numbers and zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) ऋणात्मक हो, तो (aRa) सत्य नहीं होगा क्योंकि (a) धनात्मक नहीं है। / If (a) is negative, (aRa) is false because (a) is not positive.
Step 3
Exam Tip
पूरे समुच्चय पर परावर्तकता हर तत्व के लिए चाहिए। / Reflexivity must hold for every element of the set.
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संबंध (aRb) तब हो जब (a) और (b) का अंतिम अंक समान हो। प्राकृतिक संख्याओं पर यह संबंध कैसा है?
For natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same last digit. What type of relation is it?
#last digit
#natural numbers
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्तक नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या का अंतिम अंक अपने अंतिम अंक जैसा ही है। / Every number has the same last digit as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान अंतिम अंक का संबंध उलटने पर और तीसरी संख्या तक जाने पर भी सही रहता है। / Same last digit is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
समान अंतिम अंक (10) शेषफल वर्गों की तरह सोचें। / Think of last digit as remainder classes modulo (10).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो कौन-सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is an equivalence relation, which statement is always true?
#definition
#equivalence relation
#properties
A (R) परावर्तक, सममित और संक्रामक है / (R) is reflexive, symmetric, and transitive
B (R) केवल परावर्तक है / (R) is only reflexive
C (R) कभी सममित नहीं होता / (R) is never symmetric
D (R) हमेशा रिक्त होता है / (R) is always empty
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Correct Answer
A. (R) परावर्तक, सममित और संक्रामक है / (R) is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों पर आधारित है। / The definition of an equivalence relation is based on three properties.
Step 2
Why this answer is correct
ये गुण परावर्तक, सममित और संक्रामक हैं। / These are reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा-आधारित प्रश्नों में तीनों गुण एक साथ याद रखें। / For definition questions, remember all three together.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर समान सम-विषम संबंध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many equivalence classes are formed by the same parity relation?
#number of classes
#parity
#equivalence relation
A (2)
B (1)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
समान सम-विषम संबंध में सम संख्याएँ एक वर्ग और विषम संख्याएँ दूसरा वर्ग बनाती हैं। / Same parity gives one class of odd numbers and one class of even numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में {(1,3)} और {(2,4)} दो वर्ग हैं। / In (A), the classes are {(1,3)} and {(2,4)}.
Step 3
Exam Tip
वर्गों की संख्या निकालने के लिए पहले समूह साफ-साफ बना लें। / To count classes, first form the groups clearly.
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