यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) का जन्मदिन एक ही तारीख को है, तो यह संबंध कैसा है?
If (aRb) means (a) and (b) have birthdays on the same date, what type of relation is it?
#same birthday
#equivalence relation
#application
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल परावर्तक / Only reflexive
C केवल सममित / Only symmetric
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर व्यक्ति का जन्मदिन अपने जन्मदिन जैसा ही है। / Every person has the same birthday date as themselves.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही तारीख का संबंध उलटने पर और आगे जोड़ने पर भी सही रहता है। / Having the same date is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
समान विशेषता पर बने संबंधों में तीनों गुण जाँचें। / Relations based on an identical feature usually form equivalence relations.
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तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को किस रूप में बाँटता है?
An equivalence relation divides a set into what?
#partition
#equivalence classes
#concept
A अलग-अलग, असंयुक्त तुल्यता वर्ग / Distinct disjoint equivalence classes
B केवल एक तत्व / Only one element
C अव्यवस्थित गलत युग्म / Random wrong pairs
D केवल खाली समुच्चय / Only empty set
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Correct Answer
A. अलग-अलग, असंयुक्त तुल्यता वर्ग / Distinct disjoint equivalence classes
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समान प्रकार के तत्वों को एक समूह में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
ये समूह आपस में असंयुक्त होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं। / These groups are disjoint and together cover the whole set.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग और विभाजन को साथ-साथ याद रखें। / Remember that equivalence classes form a partition.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो किसी तत्व (a) का तुल्यता वर्ग किसे कहते हैं?
If (R) is an equivalence relation, what is the equivalence class of an element (a)?
#equivalence class
#definition
#relations
A (a) से संबंधित सभी तत्वों का समुच्चय / Set of all elements related to (a)
B केवल (a) का मान / Only the value of (a)
C केवल खाली समुच्चय / Only the empty set
D सभी गलत युग्मों का समुच्चय / Set of all wrong pairs
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Correct Answer
A. (a) से संबंधित सभी तत्वों का समुच्चय / Set of all elements related to (a)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग किसी एक तत्व से जुड़े सभी तत्वों को इकट्ठा करता है। / An equivalence class collects all elements related to a chosen element.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई तत्व (a) से संबंधित है, तो वह ([a]) में आता है। / If an element is related to (a), it belongs to ([a]).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व से संबंधित सभी तत्व लिखें। / To find a class, list all elements related to the given element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) में समान सम-विषम संबंध के लिए (1) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4\}\), for the same parity relation, what is the equivalence class of (1)?
#same parity
#equivalence class
#set
A {(1,3)}
B {(1,2)}
C {(2,4)}
D {(1,4)}
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Correct Answer
A. {(1,3)}
Step 1
Concept
समान सम-विषम संबंध में विषम संख्याएँ साथ आती हैं। / In the same parity relation, odd numbers form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) विषम है और (3) भी विषम है। / (1) is odd and (3) is also odd.
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में पहले सम और विषम अलग कर लें। / For small sets, separate even and odd numbers first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) में समान सम-विषम संबंध के लिए (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4\}\), for the same parity relation, what is the equivalence class of (2)?
#equivalence class
#even numbers
#relations
A {(2,4)}
B {(1,3)}
C {(1,2)}
D {(3,4)}
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Correct Answer
A. {(2,4)}
Step 1
Concept
(2) सम संख्या है। / (2) is even.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2) के साथ समान सम-विषम संख्या (4) है। / In the set, (4) is the other even number, so it is related to (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग में वही तत्व लिखें जो दिए गए तत्व से संबंधित हों। / Write only the elements related to the chosen element.
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यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) का रंग समान है, तो वस्तुओं के समुच्चय पर यह संबंध कैसा हो सकता है?
If (aRb) means objects (a) and (b) have the same color, what type of relation can it be on a set of objects?
#same color
#real life example
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B कभी परावर्तक नहीं / Never reflexive
C कभी सममित नहीं / Never symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर वस्तु का रंग अपने रंग जैसा ही होता है। / Every object has the same color as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान रंग का संबंध उलटने पर भी सही रहता है और तीसरी वस्तु तक भी आगे बढ़ता है। / Same color is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
समान पहचान वाले गुण से बने संबंध को तुल्यता संबंध मानने से पहले तीनों गुण मिलाएँ। / A relation based on an identical attribute often gives an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) not an equivalence relation?
#not symmetric
#finite relation
#equivalence check
A सममित नहीं है / It is not symmetric
B परावर्तक नहीं है / It is not reflexive
C यह रिक्त संबंध है / It is empty
D यह सर्वसम संबंध है / It is universal
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Correct Answer
A. सममित नहीं है / It is not symmetric
Step 1
Concept
((1,2)) संबंध में है। / The pair ((1,2)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममित होने के लिए ((2,1)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। / For symmetry, ((2,1)) should also be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
किसी एक उलटे युग्म की कमी से सममित गुण टूट जाता है। / One missing reverse pair is enough to fail symmetry.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) not an equivalence relation?
#symmetric check
#ordered pairs
#not equivalence
A सममित नहीं है / It is not symmetric
B परावर्तक नहीं है / It is not reflexive
C संक्रामक नहीं है / It is not transitive
D यह छोटा है / It is small
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Correct Answer
A. सममित नहीं है / It is not symmetric
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म हैं, इसलिए परावर्तकता ठीक है। / All self-pairs are present, so reflexivity is fine.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित गुण टूटता है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में हर गैर-स्वयं युग्म का उलटा युग्म भी देखना चाहिए। / For equivalence, every non-self pair needs its reverse pair.
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किस संबंध को पहचान संबंध कहा जाता है?
Which relation is called the identity relation?
#identity relation
#definition
#equivalence
A जिसमें केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हों / The relation containing only pairs of the form ((a,a))
B जिसमें सभी संभव युग्म हों / The relation containing all possible pairs
C जिसमें कोई युग्म न हो / The relation containing no pair
D जिसमें केवल अलग-अलग तत्व जुड़ें / The relation relating only different elements
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Correct Answer
A. जिसमें केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हों / The relation containing only pairs of the form ((a,a))
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व सिर्फ अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसके युग्म ((a,a)) के रूप में होते हैं। / So its pairs have the form ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को तुल्यता संबंध का मूल उदाहरण मानें। / The identity relation is a basic example of an equivalence relation.
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किस संबंध को सर्वसम संबंध कहा जाता है?
Which relation is called the universal relation?
#universal relation
#definition
#equivalence
A जिसमें \(A\times A\) के सभी युग्म हों / The relation containing all pairs of \(A\times A\)
B जिसमें केवल ((a,a)) हों / The relation containing only ((a,a)) pairs
C जिसमें कोई युग्म न हो / The relation containing no pairs
D जिसमें केवल एक युग्म हो / The relation containing only one pair
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Correct Answer
A. जिसमें \(A\times A\) के सभी युग्म हों / The relation containing all pairs of \(A\times A\)
Step 1
Concept
सर्वसम संबंध में समुच्चय के हर तत्व का हर तत्व से संबंध होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह \(A\times A\) के बराबर होता है। / Hence it equals \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसम संबंध पर तीनों गुण आसानी से संतुष्ट हो जाते हैं। / The universal relation easily satisfies all three equivalence properties.
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