समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (5) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (5) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (5). What is the equivalence class of (5)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 5
A ({5})
B ({0,5})
C ({1,5})
D ({2,5})
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Step 1
Concept
(5) को (5) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। / (5) leaves remainder (0) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (5) ही शेषफल (0) देता है। / In the given set, only (5) leaves remainder (0).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग में दिए गए समुच्चय के बाहर का (0) नहीं जोड़ना चाहिए। / Do not include (0) outside the given set in the equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) when (a+b) is even. Choose the correct statement.
#relations
#functions
#equivalence relation
#even sum
#parity
A (R) समतुल्यता संबंध है / (R) is an equivalence relation
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
D (R) संक्रामी नहीं है / (R) is not transitive
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Correct Answer
A. (R) समतुल्यता संबंध है / (R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा और समान सम-विषम प्रकृति संक्रामिता देती है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, and same parity gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
सम योग का अर्थ दोनों संख्याओं की सम-विषम प्रकृति समान है। / An even sum means both numbers have the same parity.
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किसी समतुल्यता संबंध से बने वर्गों के बारे में सही बात क्या है?
What is correct about classes formed by an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#partition
A वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं / They divide the set into separate parts
B वे हमेशा एक-दूसरे को आधा काटते हैं / They always overlap halfway
C वे कभी खाली नहीं होते और हमेशा पूरे समुच्चय जैसे होते हैं / They are never empty and always equal to the whole set
D वे केवल सबसे छोटे तत्व से बनते हैं / They are formed only from the smallest element
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Correct Answer
A. वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं / They divide the set into separate parts
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समान तत्वों को समूहों में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
ये समूह समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / These groups divide the set into separate parts.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्गों को भागों की तरह समझना आसान रहता है। / It is easy to understand equivalence classes as parts of a partition.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (a) किसी समुच्चय का तत्व है, तो ([a]) में कौन-से तत्व आते हैं?
If (R) is an equivalence relation and (a) is an element of a set, which elements come in ([a])?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#notation
A वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैं / All elements related to (a)
B केवल (a) से बड़े तत्व / Only elements greater than (a)
C केवल (a) से छोटे तत्व / Only elements smaller than (a)
D केवल कोई एक बाहरी तत्व / Only one outside element
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Correct Answer
A. वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैं / All elements related to (a)
Step 1
Concept
([a]) का अर्थ (a) का समतुल्यता वर्ग है। / ([a]) means the equivalence class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें वे सभी तत्व आते हैं जो संबंध (R) के अनुसार (a) से जुड़े हैं। / It contains all elements related to (a) according to (R).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय संबंध की शर्त को सीधे लागू करें। / To find a class, directly apply the condition of the relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (|a|=|b|)। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On real numbers, (aRb) when (|a|=|b|). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#absolute value
#real numbers
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(|a|=|a|) हर (a) के लिए सत्य है। / (|a|=|a|) is true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
बराबर परम मान का संबंध क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सत्य रहता है। / Equality of absolute values remains true when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
समान मान आधारित संबंधों में तीनों गुण अक्सर साफ दिखते हैं। / Relations based on equality of values often show all three properties clearly.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (4) से भाग देने पर समान शेषफल दें। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) when (a) and (b) leave the same remainder on division by (4). How many equivalence classes are formed?
#relations
#functions
#equivalence relation
#modulo 4
#number of classes
A (4)
B (2)
C (8)
D (1)
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Step 1
Concept
(4) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2,3) होते हैं। / On division by (4), the possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में चारों शेषफल मिलते हैं, इसलिए चार वर्ग बनेंगे। / All four remainders occur in the given set, so four classes are formed.
Step 3
Exam Tip
मापांक प्रश्नों में शेषफलों की संख्या गिनना तेज तरीका है। / In modulo questions, counting remainders is a quick method.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सार्वत्रिक संबंध \(R=A\times A\) है। यह कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the universal relation \(R=A\times A\) is given. What type of relation is it?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#cartesian product
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / A universal relation contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए आत्म युग्म, उल्टे युग्म और संक्रामी युग्म सभी मिल जाते हैं। / Therefore, identity pairs, reverse pairs, and transitive pairs are all present.
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) देखकर तीनों गुण तुरंत पहचानें। / On seeing \(A\times A\), quickly identify all three properties.
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अरिक्त समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर रिक्त संबंध \(R=\{\}\) है। क्या (R) समतुल्यता संबंध है?
On the non-empty set \(A=\{1,2\}\), the empty relation \(R=\{\}\) is given. Is (R) an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty relation
#non empty set
A नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
B हाँ, क्योंकि इसमें कोई गलत युग्म नहीं है / Yes, because it has no wrong pair
C हाँ, क्योंकि यह सार्वत्रिक है / Yes, because it is universal
D हाँ, क्योंकि यह सभी गुण पूरा करता है / Yes, because it satisfies all properties
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Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए। / On a non-empty set, reflexivity requires ((1,1)) and ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई आत्म युग्म नहीं है। / The empty relation has no identity pair.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध को समतुल्यता संबंध न मानें। / Do not treat the empty relation on a non-empty set as an equivalence relation.
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यदि \(R=\{(a,a):a\in A\}\) है, तो (R) को किस रूप में पहचाना जा सकता है?
If \(R=\{(a,a):a\in A\}\), how can (R) be identified?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equality relation
#identity relation
A समानता संबंध और समतुल्यता संबंध / Equality relation and equivalence relation
B केवल असममित संबंध / Only asymmetric relation
C सार्वत्रिक नहीं इसलिए प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive because it is not universal
D कभी संक्रामी नहीं / Never transitive
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Correct Answer
A. समानता संबंध और समतुल्यता संबंध / Equality relation and equivalence relation
Step 1
Concept
(R) में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित है। / In (R), every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / Such a relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध समतुल्यता संबंध का मुख्य उदाहरण है। / The equality relation is a key example of an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) दो वर्ग ({1,5}), ({2,3,4}) बनाता है। कौन-सा युग्म (R) में अवश्य होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) forms two classes ({1,5}), ({2,3,4}). Which pair must belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#ordered pairs
A ((3,4))
B ((1,2))
C ((5,3))
D ((4,1))
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Correct Answer
A. ((3,4))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements in the same class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (4) दोनों ({2,3,4}) में हैं, इसलिए \((3,4)\in R\) होगा। / (3) and (4) both belong to ({2,3,4}), so \((3,4)\in R\).
Step 3
Exam Tip
युग्म देखने से पहले दोनों तत्वों का वर्ग पहचानें। / Before checking a pair, identify the class of both elements.
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