पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (5) से विभाज्य हो। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On integers, (aRb) when (a-b) is divisible by (5). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#divisibility
#modulo 5
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0), और (0) (5) से विभाज्य है। / (a-a=0), and (0) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता के ऐसे संबंधों में संक्रामिता भी अंतरों के योग से मिलती है। / Transitivity in such divisibility relations follows from adding differences.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) विषम हो। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) when (a+b) is odd. Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#not reflexive
#odd sum
A क्योंकि (a+a) विषम नहीं होता / Because (a+a) is not odd
B क्योंकि यह कभी सममित नहीं होता / Because it is never symmetric
C क्योंकि इसमें कोई युग्म नहीं होगा / Because it has no pair
D क्योंकि (A) रिक्त है / Because (A) is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (a+a) विषम नहीं होता / Because (a+a) is not odd
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (aRa) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (aRa) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
पहले प्रतिवर्ती गुण जांचने से उत्तर जल्दी मिल सकता है। / Checking reflexivity first can quickly decide many questions.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\le b\)। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (aRb) when \(a\le b\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#order relation
#not symmetric
A क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
B क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
C क्योंकि यह संक्रामी नहीं है / Because it is not transitive
D क्योंकि इसमें ((1,1)) नहीं है / Because it lacks ((1,1))
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Correct Answer
A. क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
Step 1
Concept
\(1\le 2\) है, इसलिए \((1,2)\in R\)। / \(1\le 2\), so \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(2\le 1\) गलत है, इसलिए \((2,1)\notin R\)। / But \(2\le 1\) is false, so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
क्रम संबंध अक्सर सममित नहीं होते, इसलिए वे समतुल्यता संबंध नहीं बनते। / Order relations are often not symmetric, so they are not equivalence relations.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तब है जब (a<b)। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (aRb) when (a<b). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#less than
#not reflexive
A क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
B क्योंकि यह हमेशा सार्वत्रिक है / Because it is always universal
C क्योंकि यह सभी तीन गुण पूरे करता है / Because it satisfies all three properties
D क्योंकि इसमें केवल आत्म युग्म हैं / Because it contains only identity pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (a<a) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a<a) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी संख्या अपने आप से छोटी नहीं होती। / No number is less than itself.
Step 3
Exam Tip
से छोटा संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता। / The less-than relation is not an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b=0)। (R) कैसा है?
On real numbers, (aRb) when (a-b=0). What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equality
#real numbers
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-b=0) का अर्थ (a=b) है। / (a-b=0) means (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
समानता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
पहले शर्त को सरल रूप में बदलें, फिर गुण जांचें। / First simplify the condition, then check the properties.
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यदि संबंध (R) समतुल्यता संबंध है, तो ([a]) का अर्थ सामान्यतः क्या होता है?
If (R) is an equivalence relation, what does ([a]) usually mean?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#notation
A (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
B (a) का वर्गफल / Square of (a)
C (a) का व्युत्क्रम / Reciprocal of (a)
D (a) का केवल क्रमांक / Only serial number of (a)
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Correct Answer
A. (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में ([a]) चिन्ह (a) के वर्ग को दिखाता है। / In equivalence relations, ([a]) denotes the class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें वे सभी तत्व होते हैं जो (a) से संबंधित हैं। / It contains all elements related to (a).
Step 3
Exam Tip
([a]) को वर्गफल समझने की गलती न करें। / Do not confuse ([a]) with the square of (a).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) दो वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) बनाता है। इनमें से कौन-सा युग्म (R) में नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) forms two classes ({1,2}) and ({3,4}). Which pair will not belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#ordered pair
A ((1,3))
B ((1,2))
C ((4,3))
D ((2,1))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के तत्व आपस में संबंधित होंगे। / Elements in the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) अलग-अलग वर्गों में हैं, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं होगा। / (1) and (3) are in different classes, so ((1,3)) will not be in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग आधारित प्रश्नों में पहले देखें कि दोनों तत्व किस वर्ग में हैं। / In class-based questions, first check where the two elements belong.
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यदि (R) प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है, तो (R) को क्या कहा जाएगा?
If (R) is reflexive, symmetric, and transitive, what is (R) called?
#relations
#functions
#equivalence relation
#definition
#properties
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B फलन / Function
C एकैकी फलन / One-one function
D केवल क्रम संबंध / Order relation only
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
तीनों गुण एक साथ मिलकर समतुल्यता संबंध की परिभाषा बनाते हैं। / The three properties together form the definition of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा (R) समतुल्यता संबंध कहलाता है। / Therefore, such an (R) is called an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा आधारित प्रश्नों में शब्दों को ध्यान से पढ़ें। / In definition-based questions, read the property words carefully.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से भाग देने पर समान शेषफल देते हैं। (4) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (2). What is the equivalence class of (4)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 2
A ({2,4})
B ({1,3,5})
C ({4,5})
D ({1,4})
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Correct Answer
A. ({2,4})
Step 1
Concept
(4) सम संख्या है, इसलिए इसका शेषफल (0) है। / (4) is even, so its remainder is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में समान शेषफल (0) देने वाली संख्याएं (2) और (4) हैं। / In (A), the numbers with the same remainder (0) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय दिए गए समुच्चय के बाहर की संख्या न जोड़ें। / While finding a class, do not include elements outside the given set.
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कौन-सा तरीका समतुल्यता संबंध की जांच के लिए सबसे सही है?
Which method is the most correct for checking an equivalence relation?
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#functions
#equivalence relation
#exam tip
#property check
A प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण जांचना / Check reflexive, symmetric, and transitive properties
B केवल युग्मों की संख्या गिनना / Count only the number of pairs
C केवल सबसे छोटे तत्व को देखना / Look only at the smallest element
D केवल संबंध का नाम पढ़ना / Read only the name of the relation
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण जांचना / Check reflexive, symmetric, and transitive properties
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध नाम से नहीं, गुणों से तय होता है। / An equivalence relation is decided by properties, not by its name.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुणों की जांच जरूरी है। / Checking reflexive, symmetric, and transitive properties is necessary.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान लगाने के बजाय गुणों की छोटी सूची बनाएं। / In exams, make a short property checklist instead of guessing.
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