यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य प्रतिवर्ती होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be reflexive?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive
#definition
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल जब समुच्चय सीमित हो / Only when the set is finite
D केवल जब संबंध रिक्त हो / Only when the relation is empty
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण समतुल्यता संबंध की अनिवार्य शर्त है। / Reflexivity is a compulsory condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। / Therefore, every equivalence relation must be reflexive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सीधे प्रश्नों में परिभाषा याद रखना सबसे उपयोगी है। / For direct questions like this, remembering the definition is most useful.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य सममित होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be symmetric?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric
#definition
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब सभी तत्व बराबर हों / Only when all elements are equal
D केवल तब जब कोई युग्म न हो / Only when there is no pair
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सममित गुण समतुल्यता संबंध का जरूरी भाग है। / Symmetry is a required part of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर संबंधित युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होना चाहिए। / So every related ordered pair must have its reverse pair in the relation.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता संबंध में उल्टा युग्म भूलना सामान्य गलती है। / Forgetting reverse pairs is a common mistake in equivalence relation questions.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य संक्रामी होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be transitive?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive
#definition
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब समुच्चय में दो तत्व हों / Only when the set has two elements
D केवल तब जब संबंध सार्वत्रिक हो / Only when the relation is universal
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
संक्रामी गुण समतुल्यता संबंध की तीसरी जरूरी शर्त है। / Transitivity is the third required condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यदि यह गुण न हो, तो संबंध समतुल्यता संबंध नहीं रह जाता। / If this property fails, the relation is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
तीनों गुणों को एक साथ याद रखें। / Remember all three properties together.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\). What is the correct statement about (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#ordered pairs
#classes
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है क्योंकि ((1,1)) नहीं है / It is not transitive because ((1,1)) is missing
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी आत्म युग्म मौजूद हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। / All identity pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,4)) और ((4,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। / Both ((1,4)) and ((4,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1,4}), ({2}), ({3}) बनते हैं, इसलिए संक्रामिता भी ठीक है। / The classes are ({1,4}), ({2}), and ({3}), so transitivity also holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitivity failure
#ordered pairs
A क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
B क्योंकि ((4,4)) नहीं है / Because ((4,4)) is missing
C क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
D क्योंकि ((3,2)) नहीं है / Because ((3,2)) is missing
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं। / We have \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामिता के लिए \((1,3)\in R\) होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires \((1,3)\in R\), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
संक्रामिता में युग्मों की श्रृंखला बनाकर कमी खोजें। / To test transitivity, form chains of ordered pairs and find missing links.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध \(R=\{\}\) दिया है। क्या यह समतुल्यता संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), the empty relation \(R=\{\}\) is given. Is it an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty relation
#reflexive
A नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
B हाँ, क्योंकि कोई गलत युग्म नहीं है / Yes, because there is no wrong pair
C हाँ, क्योंकि यह सममित है / Yes, because it is symmetric
D हाँ, क्योंकि यह संक्रामी है / Yes, because it is transitive
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Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / On a non-empty set, reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई आत्म युग्म नहीं है। / The empty relation has no identity pairs.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता। / On a non-empty set, the empty relation is not an equivalence relation.
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यदि \(A=\{\}\) हो और \(R=\{\}\) हो, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(A=\{\}\) and \(R=\{\}\), which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty set
#vacuous truth
A यह समतुल्यता संबंध माना जा सकता है / It can be considered an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
C यह सममित नहीं हो सकता / It cannot be symmetric
D यह संक्रामी नहीं हो सकता / It cannot be transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध माना जा सकता है / It can be considered an equivalence relation
Step 1
Concept
खाली समुच्चय में जांचने के लिए कोई तत्व नहीं होता। / In an empty set, there is no element to check.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी शर्तों का विरोध नहीं होता। / Therefore, reflexive, symmetric, and transitive conditions are not violated.
Step 3
Exam Tip
स्कूल परीक्षा में यदि समुच्चय अरिक्त दिया हो, तो उस स्थिति को अलग मानें। / In school exams, treat the non-empty set case separately if it is specified.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह संबंध कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\). What relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#all pairs
A सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
B केवल रिक्त संबंध / Empty relation only
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म हैं। / The given (R) contains all possible ordered pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है और तीनों गुण पूरे करता है। / So it is the universal relation and satisfies all three properties.
Step 3
Exam Tip
सभी संभव युग्म देखकर तुरंत \(A\times A\) पहचानें। / When all possible pairs are present, identify \(A\times A\) quickly.
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यदि कोई संबंध किसी समुच्चय को ({a,b}) और ({c}) वर्गों में बांटता है, तो कौन-से युग्म अवश्य होंगे?
If a relation divides a set into the classes ({a,b}) and ({c}), which pairs must be present?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition to relation
#ordered pairs
A ((a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c))
B ((a,c),(c,a)) ही / Only ((a,c),(c,a))
C ((b,c),(c,b)) ही / Only ((b,c),(c,b))
D कोई आत्म युग्म नहीं / No identity pair
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Correct Answer
A. ((a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements inside the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}) से चार युग्म और ({c}) से एक आत्म युग्म मिलेगा। / The class ({a,b}) gives four pairs, and ({c}) gives one identity pair.
Step 3
Exam Tip
वर्ग से संबंध बनाते समय प्रत्येक वर्ग का कार्तीय गुणन अपने साथ लें। / To form a relation from classes, take each class crossed with itself.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के समतुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is correct about the equivalence classes of (a) and (b)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#same class
A दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
B दोनों वर्ग हमेशा असंयुक्त होंगे / Both classes will always be disjoint
C दोनों वर्ग खाली होंगे / Both classes will be empty
D (a) का वर्ग छोटा होगा / The class of (a) will be smaller
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Correct Answer
A. दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
Step 1
Concept
(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के तत्वों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements in the same group have identical classes.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्गों में साझा तत्व मिल जाए, तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes share an element, they are the same.
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