समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) वर्ग ({1,5}), ({2,3,4}) बनाता है। कौन-सा युग्म (R) में नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) forms the classes ({1,5}), ({2,3,4}). Which pair will not belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#not related
A ((1,3))
B ((5,1))
C ((2,4))
D ((3,2))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
अलग-अलग वर्गों के तत्व संबंधित नहीं होते। / Elements from different classes are not related.
Step 2
Why this answer is correct
(1) वर्ग ({1,5}) में है और (3) वर्ग ({2,3,4}) में है, इसलिए \((1,3)\notin R\)। / (1) is in ({1,5}), while (3) is in ({2,3,4}), so \((1,3)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग अलग हों तो युग्म संबंध में नहीं आएगा। / If the classes are different, the pair is not in the relation.
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यदि दो समतुल्यता वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो उनके बारे में क्या सही है?
If two equivalence classes have even one common element, what is correct about them?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#disjoint
A वे समान वर्ग होंगे / They will be the same class
B वे हमेशा अलग रहेंगे / They will always remain different
C वे दोनों खाली होंगे / Both will be empty
D उनमें केवल दो तत्व होंगे / They will contain only two elements
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Correct Answer
A. वे समान वर्ग होंगे / They will be the same class
Step 1
Concept
समतुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना टूटे भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide a set into complete non-overlapping parts.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं हो सकते और समान होंगे। / If two classes share an element, they cannot be different and must be the same.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्गों में आंशिक कटाव नहीं होता। / Equivalence classes do not partially overlap.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a^2=b^2\)। यह समतुल्यता संबंध क्यों है?
On real numbers, (aRb) when \(a^2=b^2\). Why is this an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#square equality
#real numbers
A क्योंकि यह बराबरी पर आधारित है और तीनों गुण पूरे करता है / Because it is based on equality and satisfies all three properties
B क्योंकि यह केवल सममित है / Because it is only symmetric
C क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
D क्योंकि यह कभी संक्रामी नहीं होता / Because it is never transitive
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Correct Answer
A. क्योंकि यह बराबरी पर आधारित है और तीनों गुण पूरे करता है / Because it is based on equality and satisfies all three properties
Step 1
Concept
\(a^2=a^2\), इसलिए प्रतिवर्ती गुण है। / \(a^2=a^2\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) और बराबरी की श्रृंखला भी सही रहती है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), and equality also passes through a chain.
Step 3
Exam Tip
बराबरी आधारित शर्तों में तीनों गुण अलग-अलग जांचें। / For equality-based conditions, check the three properties separately.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,1,2\}\) पर (aRb) तब है जब (|a|=|b|)। (-2) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{-2,-1,1,2\}\), (aRb) when (|a|=|b|). What is the equivalence class of (-2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#absolute value
#equivalence class
A ({-2,2})
B ({-1,1})
C ({-2,-1})
D ({1,2})
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Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
(|-2|=2) है। / (|-2|=2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2) का परम मान भी (2) है, इसलिए वर्ग ({-2,2}) है। / In the given set, (2) also has absolute value (2), so the class is ({-2,2}).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले प्रश्न में चिन्ह के बजाय दूरी जैसे मान को देखें। / In absolute value questions, focus on the magnitude rather than the sign.
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कौन-सा संबंध सामान्यतः समतुल्यता संबंध है?
Which relation is generally an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#real life example
#same city
A एक ही शहर में रहना / Living in the same city
B किसी से लंबा होना / Being taller than someone
C किसी से पहले आना / Coming before someone
D किसी से कम अंक पाना / Scoring less than someone
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Correct Answer
A. एक ही शहर में रहना / Living in the same city
Step 1
Concept
कोई व्यक्ति अपने ही शहर में रहता है, इसलिए प्रतिवर्ती विचार पूरा होता है। / A person lives in the same city as themselves, so reflexivity is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही शहर में रहना क्रम बदलने पर और समूह में भी सही रहता है। / Living in the same city remains true when order is reversed and within a group.
Step 3
Exam Tip
समान गुण वाली स्थिति समतुल्यता संबंध का अच्छा संकेत देती है। / A shared property is a good sign of an equivalence relation.
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कौन-सा संबंध समतुल्यता संबंध नहीं बनता?
Which relation does not form an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#non example
#greater than
A से बड़ा होना / Being greater than
B एक ही रंग का होना / Having the same color
C एक ही आकार का होना / Having the same shape
D समान शेषफल देना / Giving the same remainder
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Correct Answer
A. से बड़ा होना / Being greater than
Step 1
Concept
कोई संख्या अपने आप से बड़ी नहीं होती, इसलिए प्रतिवर्ती गुण नहीं है। / No number is greater than itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b), तो सामान्यतः (b>a) नहीं होगा, इसलिए सममितता भी नहीं है। / If (a>b), then generally (b>a) is not true, so symmetry also fails.
Step 3
Exam Tip
तुलना वाले संबंधों में सावधानी रखें। / Be careful with comparison relations.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric failure
#ordered pairs
A क्योंकि ((3,1)) नहीं है / Because ((3,1)) is missing
B क्योंकि ((2,2)) नहीं है / Because ((2,2)) is missing
C क्योंकि ((1,1)) नहीं है / Because ((1,1)) is missing
D क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
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Correct Answer
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है / Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
संबंध में ((1,3)) मौजूद है। / The pair ((1,3)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए इसका उल्टा युग्म ((3,1)) होना चाहिए, जो नहीं है। / For symmetry, the reverse pair ((3,1)) must be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जांचें। / Always check the reverse of every non-identical pair.
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यदि संबंध प्रतिवर्ती और संक्रामी है, लेकिन सममित नहीं है, तो वह क्या होगा?
If a relation is reflexive and transitive but not symmetric, what will it be?
#relations
#functions
#equivalence relation
#concept check
#symmetric
A समतुल्यता संबंध नहीं होगा / It will not be an equivalence relation
B समतुल्यता संबंध होगा / It will be an equivalence relation
C सदैव रिक्त संबंध होगा / It will always be an empty relation
D सदैव सार्वत्रिक संबंध होगा / It will always be a universal relation
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध नहीं होगा / It will not be an equivalence relation
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध के लिए सममित गुण भी जरूरी है। / Symmetry is also necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममित गुण न होने पर तीनों गुण पूरे नहीं होते। / Without symmetry, all three properties are not satisfied.
Step 3
Exam Tip
दो गुण पूरे होने पर भी तीसरा गुण अवश्य जांचें। / Even if two properties hold, always check the third one.
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यदि संबंध सममित और संक्रामी है, लेकिन प्रतिवर्ती नहीं है, तो समतुल्यता संबंध के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If a relation is symmetric and transitive but not reflexive, what is the correct conclusion about equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#concept check
#reflexive
A यह समतुल्यता संबंध नहीं है / It is not an equivalence relation
B यह हमेशा समतुल्यता संबंध है / It is always an equivalence relation
C यह केवल सीमित समुच्चय पर समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation only on finite sets
D यह केवल रिक्त संबंध है / It is only an empty relation
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध नहीं है / It is not an equivalence relation
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण समतुल्यता संबंध की अनिवार्य शर्त है। / Reflexivity is a compulsory condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती गुण नहीं है, इसलिए संबंध समतुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / Since reflexivity is missing, the relation cannot be an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के तीनों गुण याद रखना जरूरी है। / It is important to remember all three defining properties.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों या दोनों (2) से विभाज्य न हों। (2) का वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when (a) and (b) are both divisible by (2) or both not divisible by (2). Which is the class of (2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#divisibility
#equivalence class
A ({2,4,6})
B ({1,3,5})
C ({1,2})
D ({2,3,4})
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Correct Answer
A. ({2,4,6})
Step 1
Concept
(2) सम संख्या है और (2) से विभाज्य है। / (2) is even and divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2,4,6) सभी (2) से विभाज्य हैं। / In the given set, (2,4,6) are all divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग बनाते समय वही गुण रखने वाले सभी तत्व जोड़ें। / While forming a class, include all elements with the same property.
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