समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) को भागों ({1}), ({2,4}), ({3}) में बांटा गया है। इस भाग-विभाजन से बना संबंध कैसा होगा?
The set \(A=\{1,2,3,4\}\) is divided into parts ({1}), ({2,4}), ({3}). What type of relation is formed from this partition?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#classes
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
भाग-विभाजन में हर तत्व किसी न किसी भाग में होता है। / In a partition, every element belongs to some part.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही भाग में होने का संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / Being in the same part is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
भाग-विभाजन से बना संबंध समतुल्यता संबंध का सामान्य रूप है। / A relation formed from a partition is a standard form of an equivalence relation.
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यदि (A) पर (R) समतुल्यता संबंध है, तो हर तत्व \(a\in A\) किससे संबंधित होगा?
If (R) is an equivalence relation on (A), with what will every element \(a\in A\) be related?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive
#self relation
A अपने आप से / With itself
B केवल सबसे बड़े तत्व से / Only with the greatest element
C केवल सबसे छोटे तत्व से / Only with the smallest element
D किसी भी तत्व से नहीं / With no element
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Correct Answer
A. अपने आप से / With itself
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। / An equivalence relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती गुण के कारण हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होगा। / Due to reflexivity, for every \(a\in A\), \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
आत्म संबंध समतुल्यता की पहली जांच है। / Self-relation is the first check for equivalence.
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यदि (aRb) और (bRa) दोनों सत्य हैं, तो यह किस गुण की ओर संकेत करता है?
If both (aRb) and (bRa) are true, which property does this indicate?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric property
#basic concept
A सममित गुण / Symmetric property
B प्रतिवर्ती गुण / Reflexive property
C संक्रामी गुण / Transitive property
D रिक्त संबंध / Empty relation
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Correct Answer
A. सममित गुण / Symmetric property
Step 1
Concept
(aRb) से (bRa) मिलना क्रम उलटने का संकेत है। / Getting (bRa) from (aRb) shows reversal of order.
Step 2
Why this answer is correct
यही सममित गुण की मुख्य पहचान है। / This is the main sign of the symmetric property.
Step 3
Exam Tip
उलटे संबंध को देखकर सममितता पहचानें। / Identify symmetry by noticing the reverse relation.
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यदि (aRb), (bRc) और इसलिए (aRc) सत्य है, तो यह किस गुण को दिखाता है?
If (aRb), (bRc), and therefore (aRc) are true, which property is shown?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive property
#basic concept
A संक्रामी गुण / Transitive property
B सममित गुण / Symmetric property
C प्रतिवर्ती गुण / Reflexive property
D सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. संक्रामी गुण / Transitive property
Step 1
Concept
यहां (a) से (b) और (b) से (c) की कड़ी बनती है। / Here a chain is formed from (a) to (b) and from (b) to (c).
Step 2
Why this answer is correct
उसी कड़ी से (a) से (c) का संबंध मिलता है। / The same chain gives the relation from (a) to (c).
Step 3
Exam Tip
कड़ी बनते ही संक्रामी गुण पहचानें। / Whenever a chain gives a direct relation, identify transitivity.
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समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों। (R) कैसा है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), (aRb) when (a) and (b) are both divisible by (2). What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#divisibility
A सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
B रिक्त संबंध / Empty relation
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए समुच्चय के सभी तत्व (2) से विभाज्य हैं। / All elements of the given set are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर तत्व हर दूसरे तत्व से संबंधित होगा, यानी संबंध सार्वत्रिक है। / Therefore, every element is related to every other element, so the relation is universal.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध समतुल्यता संबंध भी होता है। / A universal relation is also an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,3,5,7\}\), (aRb) when (a+b) is even. What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#even sum
#universal relation
A सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
सभी तत्व विषम हैं, और दो विषम संख्याओं का योग सम होता है। / All elements are odd, and the sum of two odd numbers is even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर युग्म संबंध में आएगा और संबंध सार्वत्रिक होगा। / Therefore, every pair belongs to the relation, making it universal.
Step 3
Exam Tip
सभी युग्म मौजूद हों तो तीनों गुण पूरे होते हैं। / If all pairs are present, all three equivalence properties hold.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या दोनों (1) और (2) में से हों। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (aRb) when (a=b) or both are from (1) and (2). What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#classes
#ordered pairs
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) होने से सभी आत्म युग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives all identity pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) एक ही वर्ग में हैं और (3) अकेला वर्ग बनाता है। / (1) and (2) form one class, and (3) forms a singleton class.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1,2}) और ({3}) देखकर समतुल्यता संबंध पहचानें। / Identify the equivalence relation through the classes ({1,2}) and ({3}).
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो संबंध (R) में किस प्रकार की कमी नहीं होनी चाहिए?
If (R) is an equivalence relation, which type of missing part should not occur in (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive check
#exam tip
A किसी तत्व का आत्म युग्म गायब होना / Missing identity pair of an element
B अलग वर्गों के बीच युग्म न होना / No pair between different classes
C एक ही वर्ग में सभी युग्म होना / All pairs inside a class being present
D उल्टे युग्मों का मौजूद होना / Reverse pairs being present
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Correct Answer
A. किसी तत्व का आत्म युग्म गायब होना / Missing identity pair of an element
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। / An equivalence relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी तत्व का आत्म युग्म गायब नहीं हो सकता। / Therefore, the identity pair of any element cannot be missing.
Step 3
Exam Tip
आत्म युग्मों की कमी सबसे पहले पकड़ें। / Catch missing identity pairs first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) है। (1) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\). What is the equivalence class of (1)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#ordered pairs
A ({1,4})
B ({1,2})
C ({1,3})
D ({2,3,4})
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Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
(1) अपने आप से संबंधित है। / (1) is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का संबंध (4) से भी है, इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। / (1) is also related to (4), so the class of (1) is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालने के लिए दिए गए तत्व से जुड़े सभी तत्व लिखें। / To find a class, write all elements related to the given element.
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कक्षा परीक्षा में समतुल्यता संबंध जांचने की सबसे सुरक्षित क्रमवार विधि कौन-सी है?
What is the safest stepwise method to check an equivalence relation in a school exam?
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#functions
#equivalence relation
#exam method
#property checklist
A पहले प्रतिवर्ती, फिर सममित, फिर संक्रामी गुण जांचना / First check reflexive, then symmetric, then transitive properties
B केवल युग्मों की संख्या गिनना / Only count the number of pairs
C केवल सबसे बड़ा तत्व देखना / Only look at the greatest element
D केवल संबंध का नाम याद रखना / Only remember the name of the relation
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Correct Answer
A. पहले प्रतिवर्ती, फिर सममित, फिर संक्रामी गुण जांचना / First check reflexive, then symmetric, then transitive properties
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण से आत्म युग्मों की जांच जल्दी हो जाती है। / Reflexivity quickly checks identity pairs.
Step 2
Why this answer is correct
फिर उल्टे युग्मों से सममितता और श्रृंखला से संक्रामिता जांचें। / Then use reverse pairs for symmetry and chains for transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसी क्रम से गलती की संभावना कम होती है। / This order reduces the chance of mistakes.
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