समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+1) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (a) under this operation?
#binary operations
#real numbers
#inverse
#identity
A (-a)
B (-a-1)
C (-a-2)
D (1-a)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), अतः (e=-1)। / For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+1=-1)। / For inverse (x), (a+x+1=-1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-a-2); स्थिरांक वाली क्रिया में स्थिरांक को ध्यान से रखें। / Hence (x=-a-2); handle the constant term carefully.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab+2) है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab+2). Does this operation have an identity element?
#binary operations
#no identity
#real numbers
#expert
A हाँ, (0) / Yes, (0)
B हाँ, (1) / Yes, (1)
C हाँ, (-2) / Yes, (-2)
D नहीं / No
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Correct Answer
D. नहीं / No
Step 1
Concept
(a*e=a) से (a+e+ae+2=a) मिलता है। / From (a*e=a), we get (a+e+ae+2=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1+a)+2=0), जो हर (a) के लिए एक ही (e) से संभव नहीं है। / This gives (e(1+a)+2=0), which cannot hold for all (a) with one fixed (e).
Step 3
Exam Tip
तत्समक एक स्थिर अवयव होना चाहिए, (a) पर निर्भर नहीं। / An identity must be a fixed element, not dependent on (a).
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समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर \(a*b=a^b\) है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{N}\), \(a*b=a^b\). Which statement is correct?
#binary operations
#powers
#not commutative
#not associative
A क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों / Both commutative and associative
B क्रमविनिमेय पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
C साहचर्य पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
D न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
D. न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
\(2*3=2^3=8\) और \(3*2=3^2=9\), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / \(2*3=2^3=8\) and \(3*2=3^2=9\), so it is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((2*3)*2=82 =64), जबकि (2*(3*2)=29 =512), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((2*3)*2=82 =64), while (2*(3*2)=29 =512), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
एक सही प्रत्युदाहरण दोनों गुणों को जल्दी नकार सकता है। / A good counterexample can disprove both properties quickly.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#real numbers
#exam
A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e-ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1-a)=0) आता है, और हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / Thus (e(1-a)=0), and (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
(e*a=e+a-ea=a) भी जाँच लें, इसलिए (0) तत्समक है। / Also (e*a=e+a-ea=a), so (0) is the identity.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया के बारे में कौन-सा कथन सही है?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). Which statement is correct?
#binary operations
#closure
#inverse
#real set
A यह बंद नहीं है / It is not closed
B यह बंद है और प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम है / It is closed and every element has an inverse
C यह बंद है पर कोई तत्समक नहीं / It is closed but has no identity
D यह केवल क्रमविनिमेय नहीं है / It is only non-commutative
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Correct Answer
B. यह बंद है और प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम है / It is closed and every element has an inverse
Step 1
Concept
(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। / (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq 1\) और \(b\neq 1\) होने से यह शून्य नहीं, इसलिए \(a*b\neq 1\), अतः बंद है। / Since \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), this is non-zero, so \(a*b\neq 1\); hence closure holds.
Step 3
Exam Tip
तत्समक (0) है और \(a\neq 1\) होने पर प्रतिलोम \(x=\frac{a}{a-1}\) मिलता है। / Identity is (0), and for \(a\neq 1\), the inverse is \(x=\frac{a}{a-1}\).
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। निम्न में से कौन-सा युग्म बंदता के लिए सबसे अच्छा विश्लेषण देता है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Which option gives the best analysis for closure?
#binary operations
#closure
#integers
#operation property
A बंद है क्योंकि (a+b+ab) पूर्णांक है / Closed because (a+b+ab) is an integer
B बंद नहीं क्योंकि भाग आ सकता है / Not closed because division may occur
C बंद नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान आ सकते हैं / Not closed because negative values may occur
D केवल सम पूर्णांकों पर बंद है / Closed only on even integers
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Correct Answer
A. बंद है क्योंकि (a+b+ab) पूर्णांक है / Closed because (a+b+ab) is an integer
Step 1
Concept
पूर्णांकों का योग और गुणनफल फिर पूर्णांक ही रहता है। / Sums and products of integers are still integers.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) तीन पूर्णांकों का योग है, इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहेगा। / (a+b+ab) is a sum of three integers, so it belongs to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
बंदता में परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए, धनात्मक होना आवश्यक नहीं। / Closure requires the result to remain in the same set, not necessarily positive.
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\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{Z}:x\) सम है}) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। क्या यह द्विआधारी क्रिया है?
\(On (A={x\in\mathbb{Z}:x\) is even\(}), (a*b=\frac{a+b}{2}). Is it a binary operation\)?
#binary operations
#closure
#even integers
#counterexample
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, क्योंकि परिणाम सम पूर्णांक होना जरूरी नहीं / No, because the result need not be an even integer
C हाँ, क्योंकि औसत पूर्णांक है / Yes, because the average is an integer
D नहीं, क्योंकि परिणाम वास्तविक हो सकता है / No, because the result may be real
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि परिणाम सम पूर्णांक होना जरूरी नहीं / No, because the result need not be an even integer
Step 1
Concept
द्विआधारी क्रिया के लिए परिणाम फिर (A) में होना चाहिए। / For a binary operation, the result must again belong to (A).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) दोनों सम हैं, पर \(\frac{2+4}{2}=3\), जो सम नहीं है। / (2) and (4) are even, but \(\frac{2+4}{2}=3\), which is not even.
Step 3
Exam Tip
बंदता टूटते ही क्रिया उस समुच्चय पर द्विआधारी नहीं रहती। / Once closure fails, it is not a binary operation on that set.
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समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर (a*b) को (a+b) का (8) से भाग देने पर शेष माना गया है। क्या यह (A) पर बंद है?
On \(A=\{1,3,5,7\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (8). Is it closed on (A)?
#binary operations
#modulo
#closure
#finite set
A हाँ, क्योंकि सभी अवयव विषम हैं / Yes, because all elements are odd
B नहीं, क्योंकि (1*7=0) / No, because (1*7=0)
C हाँ, क्योंकि शेष (8) से कम है / Yes, because the remainder is less than (8)
D नहीं, क्योंकि (3*5=1) / No, because (3*5=1)
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि (1*7=0) / No, because (1*7=0)
Step 1
Concept
बंदता के लिए हर परिणाम (A) में होना चाहिए। / Closure requires every result to lie in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(1+7=8), और (8) से भाग देने पर शेष (0) आता है। / (1+7=8), whose remainder on division by (8) is (0).
Step 3
Exam Tip
(0), (A) में नहीं है, इसलिए एक ही प्रत्युदाहरण काफी है। / Since \(0\notin A\), one counterexample is enough.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह क्रिया किस कारण क्रमविनिमेय है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Why is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#real numbers
#squares
A क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
B क्योंकि ((a*b)*c=a*(b*c)) / Because ((a*b)*c=a*(b*c))
C क्योंकि (0) तत्समक है / Because (0) is identity
D क्योंकि हर अवयव का प्रतिलोम है / Because every element has an inverse
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता में (a*b=b*a) जाँचा जाता है। / Commutativity checks whether (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b^2\) और \(b*a=b^2+a^2\), जो योग के गुण से बराबर हैं। / \(a*b=a^2+b^2\) and \(b*a=b^2+a^2\), equal by commutativity of usual addition.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता को साहचर्य या प्रतिलोम से न मिलाएँ। / Do not confuse commutativity with associativity or inverse.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। क्या यह क्रिया साहचर्य है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Is this operation associative?
#binary operations
#not associative
#counterexample
#real numbers
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, क्योंकि ((1*2)*3\neq 1*(2*3)) / No, because ((1*2)*3\neq 1*(2*3))
C हाँ, क्योंकि यह क्रमविनिमेय है / Yes, because it is commutative
D नहीं, क्योंकि परिणाम वास्तविक नहीं रहता / No, because the result is not real
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि ((1*2)*3\neq 1*(2*3)) / No, because ((1*2)*3\neq 1*(2*3))
Step 1
Concept
साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) चाहिए। / Associativity requires ((a*b)*c=a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
((1*2)*3=5*3=25+9=34), जबकि (1*(2*3)=1*13=1+169=170)। / ((1*2)*3=5*3=25+9=34), while (1*(2*3)=1*13=1+169=170).
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेय होना साहचर्य होने की गारंटी नहीं देता। / Being commutative does not guarantee associativity.
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