यदि (a*b=a+b+2ab) है, तो तत्समक अवयव कौन सा है?
If (a*b=a+b+2ab), what is the identity element?
#identity element
#binary operations
#medium
A (0)
B (1)
C \(-\frac{1}{2}\)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
(a*e=a) लिखने पर (a+e+2ae=a) मिलता है। / Writing (a*e=a) gives (a+e+2ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
(e(1+2a)=0) से (e=0) हर (a) के लिए सही है। / (e(1+2a)=0), so (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव किसी एक (a) के लिए नहीं, हर (a) के लिए होना चाहिए। / An identity element must work for every (a), not just one value.
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यदि (a*b=a+b+2ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (1) का प्रतिलोम क्या होगा?
If the identity element is (0) for (a*b=a+b+2ab), what is the inverse of (1)?
#inverse element
#identity
#operation rule
A (-1)
B \(-\frac{1}{2}\)
C \(-\frac{1}{3}\)
D (1)
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Correct Answer
C. \(-\frac{1}{3}\)
Step 1
Concept
प्रतिलोम (x) के लिए (1*x=0) चाहिए। / For inverse (x), we need (1*x=0).
Step 2
Why this answer is correct
(1+x+2x=0) से (3x=-1) और \(x=-\frac{1}{3}\)। / (1+x+2x=0) gives (3x=-1), so \(x=-\frac{1}{3}\).
Step 3
Exam Tip
समान चर वाले पदों को जोड़कर समीकरण हल करें। / Combine like terms and solve the equation carefully.
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पूर्णांकों पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया बंद है?
On integers, (a*b=a+b+1) is defined. Is this operation closed?
#closure
#integers
#binary operations
A हाँ क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है / Yes because the result is always an integer
B नहीं क्योंकि परिणाम भिन्न हो सकता है / No because the result may be a fraction
C नहीं क्योंकि (1) पूर्णांक नहीं है / No because (1) is not an integer
D हाँ केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Yes only for positive integers
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है / Yes because the result is always an integer
Step 1
Concept
दो पूर्णांकों का योग पूर्णांक होता है। / The sum of two integers is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (1) जोड़ने पर भी परिणाम पूर्णांक ही रहता है। / Adding (1) still gives an integer.
Step 3
Exam Tip
बंदता में केवल यह देखें कि परिणाम उसी समुच्चय में रहता है या नहीं। / For closure, only check whether the result stays in the same set.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a-b) दिया है। कौन सा उदाहरण बंदता को गलत सिद्ध करता है?
On natural numbers, (a*b=a-b) is given. Which example disproves closure?
#closure
#natural numbers
#counterexample
A (5*2=3)
B (2*5=-3)
C (4*1=3)
D (3*3=0)
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Correct Answer
B. (2*5=-3)
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या नहीं आती। / Negative numbers are not natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2*5=2-5=-3), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / (2*5=2-5=-3), which is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
बंदता गलत सिद्ध करने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण काफी है। / One valid counterexample is enough to disprove closure.
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परिमेय संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह संक्रिया बंद क्यों है?
On rational numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is given. Why is this operation closed?
#closure
#rational numbers
#average operation
A क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का औसत परिमेय होता है / Because the average of two rational numbers is rational
B क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक होता है / Because the result is always an integer
C क्योंकि हर परिमेय संख्या धनात्मक होती है / Because every rational number is positive
D क्योंकि हर बार परिणाम (0) होता है / Because the result is always (0)
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Correct Answer
A. क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का औसत परिमेय होता है / Because the average of two rational numbers is rational
Step 1
Concept
दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। / The sum of two rational numbers is rational.
Step 2
Why this answer is correct
किसी परिमेय संख्या को (2) से भाग देने पर भी परिमेय संख्या मिलती है। / Dividing a rational number by (2) also gives a rational number.
Step 3
Exam Tip
औसत वाले नियम में परिमेय संख्याओं पर बंदता सुरक्षित रहती है। / An average-based rule remains closed on rational numbers.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?
On real numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is given. Is this operation commutative?
#commutative
#average
#binary operation
A हाँ क्योंकि (a+b=b+a) / Yes because (a+b=b+a)
B नहीं क्योंकि भाग देने से क्रम बदलता है / No because division changes the order
C हाँ केवल (a=b) पर / Yes only when (a=b)
D नहीं क्योंकि हर बार उत्तर अलग होता है / No because the answer is always different
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि (a+b=b+a) / Yes because (a+b=b+a)
Step 1
Concept
\(a*b=\frac{a+b}{2}\) और \(b*a=\frac{b+a}{2}\) है। / \(a*b=\frac{a+b}{2}\) and \(b*a=\frac{b+a}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=b+a), इसलिए दोनों बराबर हैं। / Since (a+b=b+a), both are equal.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता में दोनों क्रमों के मानों की तुलना करें। / For commutativity, compare the values in both orders.
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यदि \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है, तो क्या यह संक्रिया साहचर्य है?
If \(a*b=\frac{a+b}{2}\), is this operation associative?
#associative
#average operation
#counterexample
A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं सामान्यतः नहीं / No generally not
C हाँ केवल पूर्णांकों पर / Yes only on integers
D नहीं क्योंकि यह बंद नहीं है / No because it is not closed
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Correct Answer
B. नहीं सामान्यतः नहीं / No generally not
Step 1
Concept
(1*3=2), इसलिए ((1*3)*5=2*5=\frac{7}{2})। / (1*3=2), so ((1*3)*5=2*5=\frac{7}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
(3*5=4), इसलिए (1*(3*5)=1*4=\frac{5}{2})। / (3*5=4), so (1*(3*5)=1*4=\frac{5}{2}).
Step 3
Exam Tip
दोनों मान अलग हैं, इसलिए संक्रिया सामान्यतः साहचर्य नहीं है। / The two values are different, so the operation is generally not associative.
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यदि (a*b=a+b-ab) है, तो (0) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (a*b=a+b-ab), which statement about (0) is correct?
#identity element
#binary operations
#algebraic rule
A (0) तत्समक अवयव है / (0) is the identity element
B (1) तत्समक अवयव है / (1) is the identity element
C (0) से संक्रिया अपरिभाषित है / The operation is undefined with (0)
D कोई तत्समक अवयव नहीं है / There is no identity element
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Correct Answer
A. (0) तत्समक अवयव है / (0) is the identity element
Step 1
Concept
\(a*0=a+0-a\cdot 0=a\)। / \(a*0=a+0-a\cdot 0=a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(0*a=0+a-0\cdot a=a\) भी सही है। / \(0*a=0+a-0\cdot a=a\) also holds.
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव दोनों ओर से अवयव को नहीं बदलता। / The identity element leaves every element unchanged from both sides.
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यदि (a*b=a+b-ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (3) का प्रतिलोम क्या होगा?
If the identity element is (0) for (a*b=a+b-ab), what is the inverse of (3)?
#inverse element
#algebraic operation
#medium
A \(\frac{3}{2}\)
B \(-\frac{3}{2}\)
C (3)
D (-3)
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Correct Answer
A. \(\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
प्रतिलोम (x) के लिए (3*x=0) लिखें। / For inverse (x), write (3*x=0).
Step 2
Why this answer is correct
(3+x-3x=0) से (3-2x=0) और \(x=\frac{3}{2}\)। / (3+x-3x=0) gives (3-2x=0), so \(x=\frac{3}{2}\).
Step 3
Exam Tip
ऋण चिह्नों को सावधानी से संभालें। / Handle negative signs carefully.
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यदि (a*b=a+b-ab) है, तो यह संक्रिया क्रमविनिमेय क्यों है?
If (a*b=a+b-ab), why is this operation commutative?
#commutative
#algebraic rule
#binary operation
A क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba) / Because (a+b-ab=b+a-ba)
B क्योंकि (a-b=b-a) / Because (a-b=b-a)
C क्योंकि हर परिणाम (0) है / Because every result is (0)
D क्योंकि (a) हमेशा (b) के बराबर है / Because (a) is always equal to (b)
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Correct Answer
A. क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba) / Because (a+b-ab=b+a-ba)
Step 1
Concept
(a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba)। / (a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ और गुणन में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Addition and multiplication do not change when order is reversed.
Step 3
Exam Tip
बीजगणितीय रूपों को सरल करके क्रमविनिमेयता देखें। / Simplify algebraic forms to check commutativity.
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