Level 31 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the domain of the function (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}})?
A. (x>2)
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x-2>0) होना चाहिए। परीक्षा में हर वाले मूल में शून्य भी हटाएं। / The denominator has \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0) is required. In exams, also exclude zero in a denominator.
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What is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-2-25}})?
A. (\(5,\infty\))
अंश के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के लिए \(x^2-25>0\) चाहिए। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लेने पर (\(5,\infty\)) मिलता है। / The numerator needs \(x-3\ge 0\), and the denominator needs \(x^2-25>0\). Intersecting both conditions gives (\(5,\infty\)).
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What is the domain of the function (f(x)=\sqrt{5-2x})?
A. \(x\le \frac{5}{2}\)
वर्गमूल के अंदर \(5-2x\ge 0\) होना चाहिए। चिन्ह बदलते समय असमता की दिशा ध्यान रखें। / The radicand must satisfy \(5-2x\ge 0\). Remember to reverse the inequality when dividing by a negative number.
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If (f(x)=\frac{x-2-9}{x-2+9}) and \(x\in\mathbb{R}\), what is the range of (f)?
A. ([-1,1))
(f(x)=1-\frac{18}{x-2+9}) है और \(x^2+9\ge 9\) है। इसलिए न्यूनतम मान (-1) मिलता है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Here (f(x)=1-\frac{18}{x-2+9}), and \(x^2+9\ge 9\). So the minimum value is (-1), and (1) is not attained.
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What is the domain of (f(x)=\frac{x+1}{x-2-x-6})?
A. \(\mathbb{R}\setminus{-2,3}\)
हर (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) शून्य नहीं हो सकता। हर के शून्य देने वाले मान हमेशा प्रांत से हटते हैं। / The denominator (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) cannot be zero. Values that make the denominator zero are excluded from the domain.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x-2|-3}})?
A. (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\))
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x-2|-3>0) चाहिए। इससे (|x-2|>3) और प्रांत (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)) मिलता है। / The square root is in the denominator, so (|x-2|-3>0) is needed. This gives (|x-2|>3), so the domain is (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)).
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{x-2+4x+4})?
A. \(\mathbb{R}\setminus{-2}\)
हर (x-2+4x+4=(x+2)2) है इसलिए (x=-2) वर्जित है। पूर्ण वर्ग को पहचानना समय बचाता है। / The denominator is (x-2+4x+4=(x+2)2), so (x=-2) is excluded. Recognizing perfect squares saves time.
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If (f(x)=\frac{2x+7}{3x-4}), which value is not in the range of (f)?
A. \(\frac{2}{3}\)
\(y=\frac{2x+7}{3x-4}\) से \(x=\frac{4y+7}{3y-2}\) मिलता है। इसलिए \(3y-2\ne 0\), अतः \(y\ne \frac{2}{3}\) होगा। / From \(y=\frac{2x+7}{3x-4}\), we get \(x=\frac{4y+7}{3y-2}\). Hence \(3y-2\ne 0\), so \(y\ne \frac{2}{3}\).
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2-4}})?
A. (\(-\infty,-2\)\cup\(2,\infty\))
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-4>0\) चाहिए। हर के कारण बराबरी वाले मान शामिल नहीं होंगे। / The square root is in the denominator, so \(x^2-4>0\) is required. Equality values are not included because of the denominator.
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What is the domain of the function \(f(x)=\sqrt{(x-1)(x+4)}\)?
A. \((- infty,-4]\cup[1,\infty)\)
वास्तविक वर्गमूल के लिए इसके अंतर्गत आने वाली राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \((x-1)(x+4)\ge 0\)। मूल-बिंदु \(x=-4\) और \(x=1\) हैं; चिन्ह-जाँच से गुणनफल \(x\le -4\) या \(x\ge 1\) पर धनात्मक अथवा शून्य होता है। अतः प्रांत \((- infty,-4]\cup[1,\infty)\) है। विकल्प B में बीच का अंतराल लिया गया है, जहाँ गुणनफल ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले radicand \(\ge 0\) रखकर critical points पर sign chart बनाइए। / For a real square root, the radicand must be non-negative, so \((x-1)(x+4)\ge 0\). The critical points are \(-4\) and \(1\). A sign check shows that the product is non-negative for \(x\le -4\) or \(x\ge 1\), giving the domain \((- infty,-4]\cup[1,\infty)\). Option B is incorrect because the product is negative between the two roots. Exam tip: for a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) and use a sign chart at the critical points.
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What is the domain of (f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{9-x-2}})?
A. ((-3,3))
हर में \(\sqrt{9-x^2}\) है इसलिए \(9-x^2>0\) चाहिए। हर में मूल हो तो सख्त असमता लगती है। / The denominator has \(\sqrt{9-x^2}\), so \(9-x^2>0\) is required. A square root in the denominator gives a strict inequality.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{|x|-3})?
A. \(\mathbb{R}\setminus{-3,3}\)
हर \(|x|-3\ne 0\) चाहिए इसलिए (|x|=3) के मान हटेंगे। निरपेक्ष मान में दोनों चिह्नों वाले हल लें। / The denominator must satisfy \(|x|-3\ne 0\), so values from (|x|=3) are excluded. For absolute value, take both signs.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{|x|-2})?
A. (\(-\infty,-2]\cup[2,\infty\))
वर्गमूल के लिए \(|x|-2\ge 0\) अर्थात \(|x|\ge 2\) चाहिए। निरपेक्ष मान की असमता को संख्या रेखा पर देखें। / The radicand needs \(|x|-2\ge 0\), so \(|x|\ge 2\). View absolute value inequalities on a number line.
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What is the range of (f(x)=x-2-4x+7)?
A. \([3,\infty\))
(f(x)=(x-2)2+3) इसलिए न्यूनतम मान (3) है। वर्ग पूर्ण करना परिसर निकालने की तेज विधि है। / Since (f(x)=(x-2)2+3), the minimum value is (3). Completing the square is a fast range method.
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What is the range of (f(x)=-x-2+6x-5)?
A. (\(-\infty,4]\)
(f(x)=-(x-3)2+4) इसलिए अधिकतम मान (4) है। ऋणात्मक वर्ग वाले परवलय में ऊपर की सीमा देखें। / Here (f(x)=-(x-3)2+4), so the maximum value is (4). For a negative square parabola, look for the upper bound.
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What is the range of (f(x)=(x+1)2-9)?
A. \([-9,\infty\))
((x+1)2\ge 0) इसलिए न्यूनतम मान (-9) है। वर्ग पद का सबसे छोटा मान हमेशा (0) होता है। / Since ((x+1)2\ge 0), the minimum value is (-9). The smallest value of a square term is always (0).
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If 8f(x)=\frac{1}{x-2+1}9 for 8x\in\mathbb{R}9, what is the range of the function 8f9?
A. \((0,1]\)
क्योंकि 8x-2\ge 09, इसलिए 8x-2+1\ge 19 और इस कारण 80<f(x)\le 19। अधिकतम मान 819 तब मिलता है जब 8x=09। दूसरी ओर, 8x9 का परिमाण बढ़ने पर 8f(x)9 शून्य के निकट पहुँचता है, लेकिन हर वास्तविक 8x9 के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिसर 8(0,1]\u00029 है; विकल्प B में 809 को शामिल करना गलत है। परीक्षा-युक्ति: हर के न्यूनतम और अधिकतम संभव मान से परास निर्धारित करें। / Since 8x-2\ge 09, we have 8x-2+1\ge 19, so 80<f(x)\le 19. The maximum value 819 occurs at 8x=09. As 8|x| increases, 8f(x) approaches zero, but it never equals zero for any real 8x9. Hence the range is 8(0,1]\u00029; option B is incorrect because it includes zero. Exam tip: determine the range by finding the possible minimum and maximum values of the denominator.
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If (f(x)=\frac{x-2}{x-2+1}) and \(x\in\mathbb{R}\), what is the range?
A. ([0,1))
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}) है इसलिए मान (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। सीमा मान और प्राप्त मान अलग-अलग जांचें। / Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}), so values start at (0) and stay below (1). Check limiting values and attained values separately.
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If (f(x)=\frac{x+2}{x-3}), what is the range of (f)?
A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
\(y=\frac{x+2}{x-3}\) से \(x=\frac{3y+2}{y-1}\) मिलता है इसलिए \(y\ne 1\)। परिसर में वह (y) हटता है जिससे (x) परिभाषित न हो। / From \(y=\frac{x+2}{x-3}\), \(x=\frac{3y+2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). The range excludes the (y)-value that makes (x) undefined.
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If (f(x)=\frac{2x-5}{x+4}), what is the range of (f)?
A. \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
\(y=\frac{2x-5}{x+4}\) हल करने पर \(x=\frac{-5-4y}{y-2}\) मिलता है। इसलिए (y=2) परिसर में नहीं है। / Solving \(y=\frac{2x-5}{x+4}\) gives \(x=\frac{-5-4y}{y-2}\). Hence (y=2) is not in the range.
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What is the range of (f(x)=|x-4|+2)?
A. \([2,\infty\))
\(|x-4|\ge 0\) इसलिए न्यूनतम मान (2) है। निरपेक्ष मान में नीचे की सीमा तुरंत मिलती है। / Since \(|x-4|\ge 0\), the minimum value is (2). Absolute value expressions quickly reveal the lower bound.
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What is the range of the function \(f(x)=3-|2x+1|\)?
A. \((-�infty,3]\)
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|2x+1|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=3-|2x+1|\le 3\)। जब \(2x+1=0\), अर्थात् \(x=-\frac12\), तब अधिकतम मान \(f(x)=3\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(|2x+1|\) का मान \(0\) से अनंत तक कोई भी मान हो सकता है, इसलिए \(f(x)\) के मान 3 से कम या उसके बराबर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः परास \((-�infty,3]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-|g(x)|\) के लिए अधिकतम मान सामान्यतः \(a\) होता है, यदि \(g(x)=0\) संभव हो। / For every real \(x\), \(|2x+1|\ge 0\), so \(f(x)=3-|2x+1|\le 3\). The maximum value 3 occurs when \(2x+1=0\), that is, at \(x=-\frac12\). Moreover, \(|2x+1|\) can take every value from 0 to infinity, so \(f(x)\) takes every real value less than or equal to 3. Therefore, the range is \((-�infty,3]\). In particular, option B is incorrect because the function cannot exceed 3. Exam tip: For an expression of the form \(a-|g(x)|\), first find its maximum by checking whether \(g(x)=0\) is possible.
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If (f(x)=\sqrt{x-1}+3), which are the domain and range of (f)?
A. प्रांत \([1,\infty\)), परिसर \([3,\infty\))Domain \([1,\infty\)), range \([3,\infty\))
\(x-1\ge 0\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) से उत्तर मिलता है। अंदर का प्रतिबंध प्रांत देता है और बाहर का जोड़ परिसर बदलता है। / The conditions \(x-1\ge 0\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\) give the answer. The inside restriction gives the domain, and the outside shift changes the range.
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If (f(x)=\sqrt{4-x}+1), what are the domain and range of (f)?
A. प्रांत (\(-\infty,4]\), परिसर \([1,\infty\))Domain (\(-\infty,4]\), range \([1,\infty\))
\(4-x\ge 0\) से \(x\le 4\) और \(\sqrt{4-x}\ge 0\) से परिसर \([1,\infty\)) है। सीमा पर बराबरी जांचना जरूरी है। / From \(4-x\ge 0\), \(x\le 4\), and \(\sqrt{4-x}\ge 0\), the range is \([1,\infty\)). Checking equality at endpoints is important.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}+!5)?
A. (\(-2,\infty\))
हर में \(\sqrt{x+2}\) है इसलिए (x+2>0) चाहिए। बाहर जोड़ा गया (5) प्रांत को नहीं बदलता। / The denominator contains \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. The outside addition (5) does not change the domain.
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If (f(x)=\frac{1}{x-2-6x+10}), what is the range of (f)?
A. ((0,1])
हर (x-2-6x+10=(x-3)2+1) है इसलिए कम से कम (1) है। अतः व्युत्क्रम (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / The denominator (x-2-6x+10=(x-3)2+1) is at least (1). Therefore the reciprocal is greater than (0) and at most (1).
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If (f(x)=\frac{1}{(x-1)2+4}), what is the range?
A. (\(0,\frac{1}{4}]\)
हर का न्यूनतम मान (4) है इसलिए अधिकतम फलन मान \(\frac{1}{4}\) है। बड़े हर पर फलन (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator has minimum value (4), so the maximum function value is \(\frac{1}{4}\). For large denominators the function approaches (0) but never becomes (0).
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What is the range of the function \\(f(x)=2-\sqrt{9-x^2}\\)?
A. \\([-1,2]\\)
वास्तविक मानों के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(-3\le x\le 3\\)। अतः \(\sqrt{9-x^2}\) का मान \[0,3\] में होता है। यदि \(y=\\sqrt{9-x^2}\), तो \(f(x)=2-y\), इसलिए इसका परास \\[2-3,2-0\\]=\\[-1,2\\] है। विकल्प B में घटाने के बजाय जोड़ने जैसा परिणाम आता है; endpoints को शामिल करना न भूलें। / For real values, \(9-x^2\\ge 0\), so \(-3\\le x\le 3\). Hence \(\\sqrt{9-x^2}\) takes every value in \[0,3\]. Letting \(y=\\sqrt{9-x^2}\), we have \(f(x)=2-y\), so the range is \[2-3,2-0\\]=\[-1,2\]. Option B would result from adding rather than subtracting, and both endpoints must be included.
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If (f(x)=\frac{x-2-1}{x-1}) and \(x\ne 1\), what is the range of (f)?
A. \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
(f(x)=x+1) है पर (x=1) अनुमत नहीं है इसलिए (y=2) नहीं मिलेगा। सरलीकरण के बाद हटाए गए प्रांत मान का प्रभाव जरूर देखें। / Here (f(x)=x+1), but (x=1) is not allowed, so (y=2) is not obtained. After simplification, always track excluded domain values.
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If \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\), where \(x\ne 2\), what is the range of \(f\)?
A. \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\)
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) होने पर, \(x\ne2\) के लिए \(f(x)=x+2\)। यदि \(x=2\) अनुमत होता, तो \(f(x)=4\) मिलता; लेकिन \(x=2\) डोमेन से हटाया गया है, इसलिए \(4\) परास में नहीं आ सकता। दूसरी ओर, प्रत्येक \(y\ne4\) के लिए \(x=y-2\ne2\) लेकर \(f(x)=y\) प्राप्त होता है। अतः परास \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) है। परीक्षा-युक्ति: सरलीकरण के बाद मूल फलन में प्रतिबंधित मान से बनने वाला आउटपुट अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), for \(x\ne2\) we have \(f(x)=x+2\). The value \(4\) would occur only when \(x=2\), but that input is excluded from the domain. Conversely, for every \(y\ne4\), choosing \(x=y-2\ne2\) gives \(f(x)=y\). Hence the range is \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Exam tip: after simplifying a rational function, check whether an excluded input removes a corresponding output value.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x})?
A. ([-3,5])
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) साथ-साथ चाहिए। संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x+3\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) simultaneously. Take the intersection of the conditions.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{4-x})?
A. ((-1,4])
पहले भाग से (x+1>0) और दूसरे से \(4-x\ge 0\) चाहिए। अतः संयुक्त प्रांत ((-1,4]) है। / The first part requires (x+1>0), and the second requires \(4-x\ge 0\). Hence the combined domain is ((-1,4]).
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{2-x}})?
A. ([-3,2))
\(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। शून्य अंश से आ सकता है पर हर से नहीं। / We need \(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) and \(x\ne 2\). Zero may come from the numerator but not from the denominator.
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If \(f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}\), what is its domain?
A. \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\)
परिमेय फलन में प्रत्येक हर शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x-1=0\) से \(x=1\) और \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है; इसलिए ये दोनों मान प्रांत से बाहर होंगे। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\) है। विकल्प B में \(-2\) के स्थान पर गलत रूप से \(2\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मानों को हमेशा हटाएँ। / In a rational function, every denominator must be non-zero. Here, \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+2=0\) gives \(x=-2\); hence both values must be excluded from the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\). Option B incorrectly changes \(-2\) to \(2\). Exam tip: set each denominator equal to zero and exclude all resulting values from the real numbers.
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What is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-5})?
A. ([1,5)\cup\(5,\infty\))
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। दोनों शर्तें साथ लागू करें। / The square root requires \(x\ge 1\), and the denominator requires \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
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If \(f(x)=\sqrt{x^2+6x+8}\), what is its domain?
A. \((-�infty,-4]\cup[-2,\infty)\)
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। यहाँ \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\), इसलिए \((x+4)(x+2)\ge 0\) से \(x\le -4\) या \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \((-�infty,-4]\cup[-2,\infty)\) है। विकल्प B में दिया गया अंतराल वास्तव में व्यंजक को ऋणात्मक बनाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखकर चिन्ह-रेखा बनाइए। / The expression inside a square root must be non-negative. Since \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\), we require \((x+4)(x+2)\ge 0\), which gives \(x\le -4\) or \(x\ge -2\). Therefore, the domain is \((-�infty,-4]\cup[-2,\infty)\). Option B is incorrect because the expression is negative between the two roots. Exam tip: For a radical function, set the radicand greater than or equal to zero and test the intervals around its roots.
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Which value is not in the domain of (f(x)=\frac{1}{x-2-5x+6})?
A. (x=2)
हर (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए (x=2) और (x=3) हटते हैं। विकल्पों में केवल (x=2) दिया है। / The denominator (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so (x=2) and (x=3) are excluded. Among the options, only (x=2) appears.
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If (f(x)=\frac{3}{x-2+2x+5}), what is the maximum value of (f)?
A. \(\frac{3}{4}\)
हर (x-2+2x+5=(x+1)2+4) का न्यूनतम मान (4) है। धनात्मक भिन्न का अधिकतम हर के न्यूनतम पर मिलता है। / The denominator (x-2+2x+5=(x+1)2+4) has minimum value (4). A positive fraction is maximum when its denominator is minimum.
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If \(f(x)=\frac{2}{(x+3)^2+1}-4\) is defined for all real numbers, what is its range?
A. \((-4,-2]\)
क्योंकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए \((x+3)^2+1\ge 1\)। अतः \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\)। \(x=-3\) पर इसका अधिकतम मान \(2\) मिलता है, इसलिए \(f(x)\) का अधिकतम मान \(-2\) है और वह शामिल है। जब \(|x|\) अनंत की ओर बढ़ता है, तब \(f(x)\) \(-4\) के निकट पहुँचता है, लेकिन \(-4\) कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परिसर \((-4,-2]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले हर के लिए पहले उसके न्यूनतम मान का उपयोग करें। / Since \((x+3)^2\ge 0\), we have \((x+3)^2+1\ge 1\). Therefore, \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\). The maximum value \(2\) occurs at \(x=-3\), so the maximum value of \(f(x)\) is \(-2\), which is included. As \(|x|\) tends to infinity, \(f(x)\) approaches \(-4\), but never equals it. Hence the range is \((-4,-2]\). Exam tip: For a denominator containing a square, first determine its minimum possible value.
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What is the range of (f(x)=|x+2|-|x-2|)?
A. ([-4,4])
टुकड़ों में देखने पर \(x\le -2\) पर मान (-4), \(x\ge 2\) पर (4), और बीच में (2x) मिलता है। इसलिए सभी मान ([-4,4]) आते हैं। / Piecewise checking gives (-4) for \(x\le -2\), (4) for \(x\ge 2\), and (2x) between them. Hence all values in ([-4,4]) occur.
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What is the minimum value of (f(x)=|x-1|+|x+3|)?
A. (4)
दो बिंदुओं (1) और (-3) के बीच की दूरी (4) है। निरपेक्ष मानों के योग का न्यूनतम अक्सर दूरी से मिलता है। / The distance between the points (1) and (-3) is (4). The minimum sum of absolute distances often equals the distance between fixed points.
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If (f(x)=\frac{x}{|x|}), what are the domain and range of (f)?
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{0}\), परिसर ({-1,1})Domain \(\mathbb{R}\setminus{0}\), range ({-1,1})
हर (|x|) शून्य नहीं होना चाहिए इसलिए \(x\ne 0\) है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) मिलता है। / The denominator (|x|) must be non-zero, so \(x\ne 0\). Positive (x) gives (1), and negative (x) gives (-1).
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If \(f(x)=\sqrt{x^2+4x+4}\), what is the range of \(f\)?
A. \([0,\infty)\)
\(x^2+4x+4=(x+2)^2\), इसलिए \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\)। इसका न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=-2\) पर प्राप्त होता है, और इसके बाद यह कोई भी गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है। अतः परिसर \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलकर उसका न्यूनतम मान जाँचें। / Since \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), we get \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\). Its minimum value is \(0\), attained at \(x=-2\), and it can take every non-negative value thereafter. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(0\). Exam tip: Rewrite the expression under the square root as a perfect square and identify its minimum value.
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What is the range of (f(x)=\sqrt{(x-2)2+7})?
A. \([\sqrt{7},\infty\))
((x-2)2\ge 0) इसलिए मूल के अंदर न्यूनतम (7) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{7}\) होगा। / Because ((x-2)2\ge 0), the minimum inside the root is (7). Taking the square root gives minimum \(\sqrt{7}\).
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{|x+1|+2})?
A. (\(0,\frac{1}{2}]\)
हर (|x+1|+2) का न्यूनतम (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए फलन (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है। / The denominator (|x+1|+2) has minimum (2) and can grow without bound. Thus the function is greater than (0) and at most \(\frac{1}{2}\).
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What is the range of (f(x)=\frac{|x|}{|x|+1})?
A. ([0,1))
मान लें (t=|x|), तब \(t\ge 0\) और \(f=\frac{t}{t+1}\) है। (t=0) पर (0) मिलता है और (t) बढ़ने पर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं मिलता। / Let (t=|x|), so \(t\ge 0\) and \(f=\frac{t}{t+1}\). At (t=0) the value is (0), and as (t) grows it approaches (1) but never reaches it.
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If (f(x)=\frac{x-2+1}{x-2+2}), what is the range of (f)?
A. \([\frac{1}{2},1\))
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) और \(x^2+2\ge 2\) है। इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) and \(x^2+2\ge 2\). Thus the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is not attained.
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For real \(x\), if \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}\), what is its range?
A. \((1,4]\)
\(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}=1+\frac{3}{x^2+1}\)। चूँकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1\) और \(0<\frac{3}{x^2+1}\le 3\)। अतः \(1<f(x)\le 4\), यानी परास \((1,4]\) है। \(4\) तब प्राप्त होता है जब \(x=0\), लेकिन \(1\) किसी सीमित वास्तविक \(x\) के लिए प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में परास निकालते समय दोनों endpoints के शामिल या बहिष्कृत होने की जाँच अवश्य करें। / Rewrite the function as \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}=1+\frac{3}{x^2+1}\). Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1\), so \(0<\frac{3}{x^2+1}\le 3\). Therefore, \(1<f(x)\le 4\), and the range is \((1,4]\). The value \(4\) is attained at \(x=0\), whereas \(1\) is only approached as \(|x|\) tends to infinity and is never attained. In exams, always check whether each endpoint is included or excluded.
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If \(f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{x-8}\), what is the domain of \(f\)?
A. \([8,\infty)\)
वास्तविक मान के लिए प्रत्येक वर्गमूल के अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x-2\ge 0\), अर्थात \(x\ge 2\), और \(x-8\ge 0\), अर्थात \(x\ge 8\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(x\ge 8\) है, इसलिए प्रांत \([8,\infty)\) होगा। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=8\) पर फलन परिभाषित है और 8 को शामिल किया जाना चाहिए। परीक्षा-टिप: कई मूलों वाले फलन का प्रांत सभी मूलों की शर्तों के प्रतिच्छेद से निर्धारित करें। / For a real-valued function, the expression inside each square root must be non-negative. Thus, \(x-2\ge 0\) gives \(x\ge 2\), and \(x-8\ge 0\) gives \(x\ge 8\). Their intersection is \(x\ge 8\), so the domain is \([8,\infty)\). Option D is incorrect because the function is defined at \(x=8\), so 8 must be included. Exam tip: For a function containing multiple radicals, find the domain by taking the intersection of all the resulting conditions.
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What is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{7-x}})?
A. ([-2,7))
अंश के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत ([-2,7)) है। / The numerator requires \(x+2\ge 0\), and the denominator requires (7-x>0). Therefore the domain is ([-2,7)).
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