Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The numerator needs \(x-3\ge 0\), and the denominator needs \(x^2-25>0\). Intersecting both conditions gives (\(5,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(5,\infty\)). The numerator needs \(x-3\ge 0\), and the denominator needs \(x^2-25>0\). Intersecting both conditions gives (\(5,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
अंश के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के लिए \(x^2-25>0\) चाहिए। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लेने पर (\(5,\infty\)) मिलता है।
The radicand must satisfy \(5-2x\ge 0\). Remember to reverse the inequality when dividing by a negative number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\le \frac{5}{2}\). The radicand must satisfy \(5-2x\ge 0\). Remember to reverse the inequality when dividing by a negative number.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के अंदर \(5-2x\ge 0\) होना चाहिए। चिन्ह बदलते समय असमता की दिशा ध्यान रखें।
The denominator (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) cannot be zero. Values that make the denominator zero are excluded from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-2,3}\). The denominator (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) cannot be zero. Values that make the denominator zero are excluded from the domain.
Step 3
Exam Tip
हर (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) शून्य नहीं हो सकता। हर के शून्य देने वाले मान हमेशा प्रांत से हटते हैं।
The square root is in the denominator, so (|x-2|-3>0) is needed. This gives (|x-2|>3), so the domain is (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)). The square root is in the denominator, so (|x-2|-3>0) is needed. This gives (|x-2|>3), so the domain is (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x-2|-3>0) चाहिए। इससे (|x-2|>3) और प्रांत (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)) मिलता है।
The denominator is (x-2+4x+4=(x+2)2), so (x=-2) is excluded. Recognizing perfect squares saves time.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-2}\). The denominator is (x-2+4x+4=(x+2)2), so (x=-2) is excluded. Recognizing perfect squares saves time.
Step 3
Exam Tip
हर (x-2+4x+4=(x+2)2) है इसलिए (x=-2) वर्जित है। पूर्ण वर्ग को पहचानना समय बचाता है।
The square root is in the denominator, so \(x^2-4>0\) is required. Equality values are not included because of the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-2\)\cup\(2,\infty\)). The square root is in the denominator, so \(x^2-4>0\) is required. Equality values are not included because of the denominator.
Step 3
Exam Tip
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-4>0\) चाहिए। हर के कारण बराबरी वाले मान शामिल नहीं होंगे।
The radicand must satisfy ((x-1)(x+4)\ge 0). Check intervals when solving a product inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-4]\cup[1,\infty\)). The radicand must satisfy ((x-1)(x+4)\ge 0). Check intervals when solving a product inequality.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए ((x-1)(x+4)\ge 0) चाहिए। दो गुणनखंडों की असमता में अंतराल जांचें।
The denominator has \(\sqrt{9-x^2}\), so \(9-x^2>0\) is required. A square root in the denominator gives a strict inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-3,3)). The denominator has \(\sqrt{9-x^2}\), so \(9-x^2>0\) is required. A square root in the denominator gives a strict inequality.
Step 3
Exam Tip
हर में \(\sqrt{9-x^2}\) है इसलिए \(9-x^2>0\) चाहिए। हर में मूल हो तो सख्त असमता लगती है।
The denominator must satisfy \(|x|-3\ne 0\), so values from (|x|=3) are excluded. For absolute value, take both signs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-3,3}\). The denominator must satisfy \(|x|-3\ne 0\), so values from (|x|=3) are excluded. For absolute value, take both signs.
Step 3
Exam Tip
हर \(|x|-3\ne 0\) चाहिए इसलिए (|x|=3) के मान हटेंगे। निरपेक्ष मान में दोनों चिह्नों वाले हल लें।
The radicand needs \(|x|-2\ge 0\), so \(|x|\ge 2\). View absolute value inequalities on a number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-2]\cup[2,\infty\)). The radicand needs \(|x|-2\ge 0\), so \(|x|\ge 2\). View absolute value inequalities on a number line.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(|x|-2\ge 0\) अर्थात \(|x|\ge 2\) चाहिए। निरपेक्ष मान की असमता को संख्या रेखा पर देखें।
Here (f(x)=-(x-3)2+4), so the maximum value is (4). For a negative square parabola, look for the upper bound.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,4]\). Here (f(x)=-(x-3)2+4), so the maximum value is (4). For a negative square parabola, look for the upper bound.
Step 3
Exam Tip
(f(x)=-(x-3)2+4) इसलिए अधिकतम मान (4) है। ऋणात्मक वर्ग वाले परवलय में ऊपर की सीमा देखें।
Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}), so values start at (0) and stay below (1). Check limiting values and attained values separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([0,1)). Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}), so values start at (0) and stay below (1). Check limiting values and attained values separately.
Step 3
Exam Tip
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}) है इसलिए मान (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। सीमा मान और प्राप्त मान अलग-अलग जांचें।
From \(y=\frac{x+2}{x-3}\), \(x=\frac{3y+2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). The range excludes the (y)-value that makes (x) undefined.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\). From \(y=\frac{x+2}{x-3}\), \(x=\frac{3y+2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). The range excludes the (y)-value that makes (x) undefined.
Step 3
Exam Tip
\(y=\frac{x+2}{x-3}\) से \(x=\frac{3y+2}{y-1}\) मिलता है इसलिए \(y\ne 1\)। परिसर में वह (y) हटता है जिससे (x) परिभाषित न हो।
A. प्रांत \([1,\infty\)), परिसर \([3,\infty\))/Domain \([1,\infty\)), range \([3,\infty\))
Step 1
Concept
The conditions \(x-1\ge 0\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\) give the answer. The inside restriction gives the domain, and the outside shift changes the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रांत \([1,\infty\)), परिसर \([3,\infty\)) / Domain \([1,\infty\)), range \([3,\infty\)). The conditions \(x-1\ge 0\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\) give the answer. The inside restriction gives the domain, and the outside shift changes the range.
Step 3
Exam Tip
\(x-1\ge 0\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) से उत्तर मिलता है। अंदर का प्रतिबंध प्रांत देता है और बाहर का जोड़ परिसर बदलता है।
A. प्रांत (\(-\infty,4]\), परिसर \([1,\infty\))/Domain (\(-\infty,4]\), range \([1,\infty\))
Step 1
Concept
From \(4-x\ge 0\), \(x\le 4\), and \(\sqrt{4-x}\ge 0\), the range is \([1,\infty\)). Checking equality at endpoints is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रांत (\(-\infty,4]\), परिसर \([1,\infty\)) / Domain (\(-\infty,4]\), range \([1,\infty\)). From \(4-x\ge 0\), \(x\le 4\), and \(\sqrt{4-x}\ge 0\), the range is \([1,\infty\)). Checking equality at endpoints is important.
Step 3
Exam Tip
\(4-x\ge 0\) से \(x\le 4\) और \(\sqrt{4-x}\ge 0\) से परिसर \([1,\infty\)) है। सीमा पर बराबरी जांचना जरूरी है।
The denominator contains \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. The outside addition (5) does not change the domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-2,\infty\)). The denominator contains \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. The outside addition (5) does not change the domain.
Step 3
Exam Tip
हर में \(\sqrt{x+2}\) है इसलिए (x+2>0) चाहिए। बाहर जोड़ा गया (5) प्रांत को नहीं बदलता।
The denominator has minimum value (4), so the maximum function value is \(\frac{1}{4}\). For large denominators the function approaches (0) but never becomes (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(0,\frac{1}{4}]\). The denominator has minimum value (4), so the maximum function value is \(\frac{1}{4}\). For large denominators the function approaches (0) but never becomes (0).
Step 3
Exam Tip
हर का न्यूनतम मान (4) है इसलिए अधिकतम फलन मान \(\frac{1}{4}\) है। बड़े हर पर फलन (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता।
Here (f(x)=x+1), but (x=1) is not allowed, so (y=2) is not obtained. After simplification, always track excluded domain values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{2}\). Here (f(x)=x+1), but (x=1) is not allowed, so (y=2) is not obtained. After simplification, always track excluded domain values.
Step 3
Exam Tip
(f(x)=x+1) है पर (x=1) अनुमत नहीं है इसलिए (y=2) नहीं मिलेगा। सरलीकरण के बाद हटाए गए प्रांत मान का प्रभाव जरूर देखें।
Simplification gives (f(x)=x+2), but (x=2) is excluded. Therefore (y=4) is removed from the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{4}\). Simplification gives (f(x)=x+2), but (x=2) is excluded. Therefore (y=4) is removed from the range.
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण से (f(x)=x+2) मिलता है पर (x=2) हटाया गया है। इसलिए (y=4) परिसर से हटेगा।
The square root requires \(x\ge 1\), and the denominator requires \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([1,5)\cup\(5,\infty\)). The square root requires \(x\ge 1\), and the denominator requires \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। दोनों शर्तें साथ लागू करें।
The denominator (x-2+2x+5=(x+1)2+4) has minimum value (4). A positive fraction is maximum when its denominator is minimum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{4}\). The denominator (x-2+2x+5=(x+1)2+4) has minimum value (4). A positive fraction is maximum when its denominator is minimum.
Step 3
Exam Tip
हर (x-2+2x+5=(x+1)2+4) का न्यूनतम मान (4) है। धनात्मक भिन्न का अधिकतम हर के न्यूनतम पर मिलता है।
Piecewise checking gives (-4) for \(x\le -2\), (4) for \(x\ge 2\), and (2x) between them. Hence all values in ([-4,4]) occur.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([-4,4]). Piecewise checking gives (-4) for \(x\le -2\), (4) for \(x\ge 2\), and (2x) between them. Hence all values in ([-4,4]) occur.
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में देखने पर \(x\le -2\) पर मान (-4), \(x\ge 2\) पर (4), और बीच में (2x) मिलता है। इसलिए सभी मान ([-4,4]) आते हैं।
The distance between the points (1) and (-3) is (4). The minimum sum of absolute distances often equals the distance between fixed points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4). The distance between the points (1) and (-3) is (4). The minimum sum of absolute distances often equals the distance between fixed points.
Step 3
Exam Tip
दो बिंदुओं (1) और (-3) के बीच की दूरी (4) है। निरपेक्ष मानों के योग का न्यूनतम अक्सर दूरी से मिलता है।
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{0}\), परिसर ({-1,1})/Domain \(\mathbb{R}\setminus{0}\), range ({-1,1})
Step 1
Concept
The denominator (|x|) must be non-zero, so \(x\ne 0\). Positive (x) gives (1), and negative (x) gives (-1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{0}\), परिसर ({-1,1}) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{0}\), range ({-1,1}). The denominator (|x|) must be non-zero, so \(x\ne 0\). Positive (x) gives (1), and negative (x) gives (-1).
Step 3
Exam Tip
हर (|x|) शून्य नहीं होना चाहिए इसलिए \(x\ne 0\) है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) मिलता है।
Because ((x-2)2\ge 0), the minimum inside the root is (7). Taking the square root gives minimum \(\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([\sqrt{7},\infty\)). Because ((x-2)2\ge 0), the minimum inside the root is (7). Taking the square root gives minimum \(\sqrt{7}\).
Step 3
Exam Tip
((x-2)2\ge 0) इसलिए मूल के अंदर न्यूनतम (7) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{7}\) होगा।
The denominator (|x+1|+2) has minimum (2) and can grow without bound. Thus the function is greater than (0) and at most \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(0,\frac{1}{2}]\). The denominator (|x+1|+2) has minimum (2) and can grow without bound. Thus the function is greater than (0) and at most \(\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
हर (|x+1|+2) का न्यूनतम (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए फलन (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है।
Let (t=|x|), so \(t\ge 0\) and \(f=\frac{t}{t+1}\). At (t=0) the value is (0), and as (t) grows it approaches (1) but never reaches it.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([0,1)). Let (t=|x|), so \(t\ge 0\) and \(f=\frac{t}{t+1}\). At (t=0) the value is (0), and as (t) grows it approaches (1) but never reaches it.
Step 3
Exam Tip
मान लें (t=|x|), तब \(t\ge 0\) और \(f=\frac{t}{t+1}\) है। (t=0) पर (0) मिलता है और (t) बढ़ने पर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं मिलता।
Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) and \(x^2+2\ge 2\). Thus the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is not attained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([\frac{1}{2},1\)). Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) and \(x^2+2\ge 2\). Thus the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is not attained.
Step 3
Exam Tip
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) और \(x^2+2\ge 2\) है। इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है और (1) प्राप्त नहीं होता।
