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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 31

यदि वास्तविक संख्या के लिए फलन \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}\) है, तो इसका परास क्या है?

For real \(x\), if \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}\), what is its range?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((1,4]\)

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Simple Explanation

\(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}=1+\frac{3}{x^2+1}\)। चूँकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1\) और \(0<\frac{3}{x^2+1}\le 3\)। अतः \(1<f(x)\le 4\), यानी परास \((1,4]\) है। \(4\) तब प्राप्त होता है जब \(x=0\), लेकिन \(1\) किसी सीमित वास्तविक \(x\) के लिए प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में परास निकालते समय दोनों endpoints के शामिल या बहिष्कृत होने की जाँच अवश्य करें। / Rewrite the function as \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}=1+\frac{3}{x^2+1}\). Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1\), so \(0<\frac{3}{x^2+1}\le 3\). Therefore, \(1<f(x)\le 4\), and the range is \((1,4]\). The value \(4\) is attained at \(x=0\), whereas \(1\) is only approached as \(|x|\) tends to infinity and is never attained. In exams, always check whether each endpoint is included or excluded.

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यदि वास्तविक संख्या के लिए फलन \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}\) है, तो इसका परास क्या है? / For real \(x\), if \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}\), what is its range?

Correct Answer: A. \((1,4]\). Explanation: \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}=1+\frac{3}{x^2+1}\)। चूँकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1\) और \(0<\frac{3}{x^2+1}\le 3\)। अतः \(1<f(x)\le 4\), यानी परास \((1,4]\) है। \(4\) तब प्राप्त होता है जब \(x=0\), लेकिन \(1\) किसी सीमित वास्तविक \(x\) के लिए प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में परास निकालते समय दोनों endpoints के शामिल या बहिष्कृत होने की जाँच अवश्य करें। / Rewrite the function as \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}=1+\frac{3}{x^2+1}\). Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1\), so \(0<\frac{3}{x^2+1}\le 3\). Therefore, \(1<f(x)\le 4\), and the range is \((1,4]\). The value \(4\) is attained at \(x=0\), whereas \(1\) is only approached as \(|x|\) tends to infinity and is never attained. In exams, always check whether each endpoint is included or excluded.