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The condition asks for prime numbers strictly between (10) and (30).
Step 2
Why this answer is correct
The required primes are (11,13,17,19,23,29).
Step 3
Exam Tip
In exams, check strict inequalities carefully because endpoints are not included. चरण 1: दी गई शर्त में (10) और (30) के बीच की अभाज्य संख्याएँ लेनी हैं। चरण 2: (11,13,17,19,23,29) ही ऐसी संख्याएँ हैं जिनके केवल दो गुणनखंड हैं। चरण 3: परीक्षा में सीमा चिह्न ध्यान से देखें क्योंकि (10<x<30) में (10) और (30) शामिल नहीं होते।
(x) is a natural number and must satisfy \(x^2<50\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7^2=49\) works but \(8^2=64\) does not.
Step 3
Exam Tip
For square conditions, always test the boundary value before finalizing the roster form. चरण 1: (x) प्राकृत संख्या है और \(x^2<50\) होना चाहिए। चरण 2: \(7^2=49\) सही है लेकिन \(8^2=64\) सही नहीं है। चरण 3: वर्ग वाली शर्तों में अंतिम मान को जाँचकर ही सूची पूरी करें।
A. \((C={x:x\) सम प्राकृत संख्या है और \(2\le x\le 12})\)/\((C={x:x\) is an even natural number and \(2\le x\le 12})\)
Step 1
Concept
Every element in the list is even.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest element is (2) and the largest is (12), so the range is \(2\le x\le 12\).
Step 3
Exam Tip
A good set-builder form states both the property and the boundary. चरण 1: सूची में सभी संख्याएँ सम हैं। चरण 2: सबसे छोटा पद (2) और सबसे बड़ा पद (12) है इसलिए सीमा \(2\le x\le 12\) होगी। चरण 3: नियम रूप में केवल सीमा नहीं बल्कि सदस्य का प्रकार भी स्पष्ट लिखें।
Their first letters also form a limited collection even if some repeat before forming a set.
Step 3
Exam Tip
If counting ends after a finite number of elements, the set is finite. चरण 1: महीनों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: उनके पहले अक्षरों की संख्या भी सीमित रहेगी, चाहे कुछ अक्षर दोहराएँ। चरण 3: किसी वास्तविक जीवन सूची में गिनती समाप्त हो जाए तो उसे परिमित समुच्चय मानें।
Both \(3^2=9\) and ((-3)2=9), so both values are included.
Step 3
Exam Tip
In square equations, do not forget the negative solution. चरण 1: पूर्णांक (x) के लिए \(x^2=9\) है। चरण 2: \(3^2=9\) और ((-3)2=9), इसलिए दोनों सदस्य होंगे। चरण 3: वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल भूलना परीक्षा में सामान्य गलती है।
(x) must be a natural number greater than (5) and less than (6).
Step 2
Why this answer is correct
No natural number lies between (5) and (6).
Step 3
Exam Tip
With strict inequalities, endpoints are excluded. चरण 1: (x) प्राकृत संख्या होनी चाहिए और (5) से बड़ी तथा (6) से छोटी होनी चाहिए। चरण 2: (5) और (6) के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं आती। चरण 3: खुली सीमा में किनारे के मान शामिल नहीं होते, इसलिए जल्दी में (5) या (6) न लिखें।
Repeated elements are counted only once, so both sets contain (a,b,c).
Step 3
Exam Tip
While comparing sets, ignore repetition and order. चरण 1: समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। चरण 2: दोहराया गया सदस्य केवल एक बार माना जाता है, इसलिए दोनों में (a,b,c) ही हैं। चरण 3: सूची रूप पढ़ते समय दोहराव और क्रम को हटाकर वास्तविक सदस्यों की तुलना करें।
For definition-based questions, choose elements according to the standard school convention. चरण 1: यहाँ अंग्रेज़ी वर्णमाला के स्वरों का समुच्चय चाहिए। चरण 2: सामान्य रूप से स्वर (a,e,i,o,u) माने जाते हैं। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में प्रचलित पाठ्य नियम के अनुसार ही सदस्य चुनें।
Always check where the parameter starts; here (n=0) is not included. चरण 1: \(n\in \mathbb{N}\) और (n<5), इसलिए (n=1,2,3,4)। चरण 2: (x=2n+1) रखने पर (3,5,7,9) मिलते हैं। चरण 3: चर किससे शुरू हो रहा है, यह हमेशा जाँचें क्योंकि यहाँ (n=0) नहीं लिया गया।
Remember the difference between natural and whole numbers in representation questions. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। चरण 2: (x<4) होने पर (0,1,2,3) ही लिए जाएँगे। चरण 3: प्राकृत और पूर्ण संख्याओं का अंतर याद रखना ऐसे प्रश्नों में बहुत जरूरी है।
A. \(L={x:x=n^2,\ n\in \mathbb{N},\ 1\le n\le 5}\)
Step 1
Concept
The elements (1,4,9,16,25) are square numbers.
Step 2
Why this answer is correct
They are \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).
Step 3
Exam Tip
When identifying a pattern, verify all middle terms also fit it. चरण 1: दिए गए सदस्य (1,4,9,16,25) वर्ग संख्याएँ हैं। चरण 2: ये \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) से बनते हैं। चरण 3: पैटर्न पहचानते समय केवल पहले और अंतिम पद पर नहीं, बीच के पदों पर भी ध्यान दें।
(x) is an integer, so negative values, zero, and positive values are possible.
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\le x\) includes (-2), but (x<3) excludes (3).
Step 3
Exam Tip
Read inclusive and exclusive bounds separately. चरण 1: (x) पूर्णांक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या, शून्य और धनात्मक संख्या आ सकती हैं। चरण 2: \(-2\le x\) में (-2) शामिल है, लेकिन (x<3) में (3) शामिल नहीं है। चरण 3: बंद और खुली सीमाओं को अलग-अलग पढ़ें।
A triangle with four sides is impossible, so there is no element.
Step 3
Exam Tip
When a condition cannot be satisfied, the set is empty. चरण 1: त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं। चरण 2: चार भुजाओं वाला त्रिभुज संभव नहीं है, इसलिए कोई सदस्य नहीं मिलेगा। चरण 3: असंभव शर्त दिखे तो समुच्चय को रिक्त समुच्चय मानें।
While listing divisors, remember to include (1) and the number itself. चरण 1: (24) के सभी प्राकृत भाजक लिखने हैं। चरण 2: (1,2,3,4,6,8,12,24) से (24) पूरा-पूरा विभाजित होता है। चरण 3: भाजक लिखते समय (1) और स्वयं संख्या को कभी न भूलें।
The prime digits are (2,3,5,7), while (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
A prime number has exactly two positive factors. चरण 1: अंक (0) से (9) तक होते हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं, जबकि (1) अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या के लिए ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होने चाहिए।
First list the parameter values to avoid missing an endpoint. चरण 1: (n) के मान (2,3,4,5,6) हैं। चरण 2: (3n) करने पर (6,9,12,15,18) मिलते हैं। चरण 3: नियम रूप में दिए गए सहायक चर की सीमा को पहले लिख लेना गलती कम करता है।
Here \(x\in \mathbb{N}\), and in the usual school convention natural numbers start from (1).
Step 3
Exam Tip
After solving, always check whether the value belongs to the given number set. चरण 1: (x+4=4) से (x=0) मिलता है। चरण 2: यहाँ \(x\in \mathbb{N}\) है और इस पाठ्य परंपरा में प्राकृत संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 3: हल निकालने के बाद यह जरूर देखें कि हल दिए गए संख्या-समुच्चय में आता है या नहीं।
Because the condition says two-digit, one-digit values such as (1) are excluded. चरण 1: संख्या दो अंकों की होनी चाहिए। चरण 2: दोनों अंक समान हों तो (11,22,33,44,55,66,77,88,99) मिलते हैं। चरण 3: दो अंकों की शर्त के कारण (1) जैसे एक अंकीय मान शामिल नहीं होंगे।
In equation-based sets, list every value satisfying the condition. चरण 1: समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को गुणनखंडों में लिखें। चरण 2: ((x-2)(x-3)=0), इसलिए (x=2) या (x=3)। चरण 3: समीकरण आधारित समुच्चय में सभी मान लिखें जो शर्त को पूरा करते हैं।
A. \(संदर्भ में सप्ताह रविवार से शुरू मानने पर (V={\)Sunday})/\(If the week is taken to start on Sunday, (V={\)Sunday})
Step 1
Concept
Context is important in such real-life sets.
Step 2
Why this answer is correct
If the week is considered to start on Sunday, the day before Monday in that order is Sunday.
Step 3
Exam Tip
For real-life sets, read the implied convention carefully. चरण 1: ऐसे प्रश्न में संदर्भ बहुत महत्वपूर्ण होता है। चरण 2: यदि सप्ताह रविवार से शुरू माना जाए, तो सोमवार से पहले रविवार आता है। चरण 3: दैनिक जीवन के समुच्चयों में छिपी हुई परंपरा या संदर्भ को ध्यान से पढ़ें।
The values dividing both exactly are (1,2,3,4,6,12).
Step 3
Exam Tip
A common divisor must divide both numbers, not just one. चरण 1: (36) और (48) के सामान्य भाजक चाहिए। चरण 2: दोनों को पूरा-पूरा विभाजित करने वाले मान (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 3: सामान्य भाजक में वह संख्या ही लिखें जो दोनों संख्याओं को विभाजित करे, केवल एक को नहीं।
Among natural numbers up to (10), (1) is neither prime nor composite.
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,5,7) are prime and (4,6,8,9,10) are composite.
Step 3
Exam Tip
Remember the special status of (1); it is not prime. चरण 1: (10) तक की प्राकृत संख्याओं में (1) न अभाज्य है न भाज्य। चरण 2: (2,3,5,7) अभाज्य हैं और (4,6,8,9,10) भाज्य हैं। चरण 3: (1) की विशेष स्थिति याद रखें, यह अभाज्य नहीं माना जाता।
The letters (l) and (e) repeat in the word, but appear once in the set.
Step 3
Exam Tip
While forming a set from letters, remove repeated letters. चरण 1: समुच्चय में अलग-अलग सदस्य ही लिखे जाते हैं। चरण 2: शब्द में (l) और (e) दोहरते हैं, पर समुच्चय में वे एक बार आएँगे। चरण 3: अक्षरों के समुच्चय बनाते समय दोहराए गए अक्षर हटाएँ।
From (2x+1<12), we get (2x<11), so \(x<\frac{11}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers satisfying this are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, list values according to the given number set. चरण 1: (2x+1<12) से (2x<11), इसलिए \(x<\frac{11}{2}\)। चरण 2: प्राकृत संख्याओं में (1,2,3,4,5) इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय के अनुसार ही उत्तर लिखें।
(|x|<3) means the distance of (x) from zero is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integers satisfying it are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In absolute value conditions, check both positive and negative sides. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) शून्य से दूरी में (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांकों में (-2,-1,0,1,2) ही इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: परम मान में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों पक्ष जाँचें।
For infinite lists, identify both the pattern and the starting value. चरण 1: सूची में (3) के धनात्मक गुणज हैं। चरण 2: \(n\in \mathbb{N}\) लेने पर (3n) से \(3,6,9,12,\ldots\) मिलते हैं। चरण 3: अनंत सूची में बिंदुओं को देखकर पैटर्न और प्रारंभिक मान दोनों पहचानें।
Positive even numbers less than (15) are (2,4,6,8,10,12,14).
Step 2
Why this answer is correct
(2) is prime, not composite, so it is removed.
Step 3
Exam Tip
When two properties are given, apply both together. चरण 1: धनात्मक सम संख्याएँ (2,4,6,8,10,12,14) हैं। चरण 2: (2) अभाज्य है, भाज्य नहीं; इसलिए उसे हटाएँ। चरण 3: जब दो गुण एक साथ दिए हों, तो दोनों शर्तें साथ-साथ लागू करें।
Tens digit (2) means the number lies from (20) to (29).
Step 2
Why this answer is correct
Since (x<30), all values from (20) to (29) are valid.
Step 3
Exam Tip
In digit-based conditions, understand place value carefully. चरण 1: दहाई अंक (2) होने का मतलब संख्या (20) से (29) के बीच है। चरण 2: (x<30) होने से (20) से (29) तक सभी मान मान्य हैं। चरण 3: अंक-आधारित शर्तों में स्थानमान को ध्यान से समझें।
In mixed conditions, first find the range, then filter by the property. चरण 1: \(x^2\le 100\) से प्राकृत \(x\le 10\) होगा। चरण 2: (1) से (10) तक की विषम संख्याएँ (1,3,5,7,9) हैं। चरण 3: मिश्रित शर्तों में पहले सीमा निकालें और फिर विशेष गुण छाँटें।
Multiples of (3) less than (20) are (3,6,9,12,15,18).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (5) are (5,10,15); repeated (15) is written once.
Step 3
Exam Tip
An or condition forms the combined set of both lists. चरण 1: (20) से कम (3) के गुणज (3,6,9,12,15,18) हैं। चरण 2: (5) के गुणज (5,10,15) हैं; दोहराए गए (15) को एक बार रखें। चरण 3: या वाली शर्त में दोनों सूचियों का सम्मिलित समुच्चय बनता है।
(18,36,54,72,90) are less than (100), while (108) is not.
Step 3
Exam Tip
When listing multiples, stop before crossing the given bound. चरण 1: (18) के धनात्मक गुणज लिखें। चरण 2: (18,36,54,72,90) (100) से कम हैं, जबकि (108) नहीं है। चरण 3: गुणजों की सूची बनाते समय अंतिम मान सीमा से बाहर न जाने दें।
When a set is defined by an equation, factorize and list all solutions. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1)। चरण 3: नियम रूप में समीकरण हो तो गुणनखंड बनाकर सभी हल लिखें।
From \(1^2\) to \(7^2\), we get (1,4,9,16,25,36,49), and \(8^2=64\) is outside.
Step 3
Exam Tip
Do not include a square beyond the upper limit. चरण 1: (1) से (50) तक की वर्ग संख्याएँ चाहिए। चरण 2: \(1^2\) से \(7^2\) तक (1,4,9,16,25,36,49) मिलते हैं और \(8^2=64\) बाहर है। चरण 3: वर्ग संख्याओं में ऊपरी सीमा से आगे का वर्ग शामिल न करें।
We need to count positive divisors of a natural number.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive divisor, (1), while (2) has two.
Step 3
Exam Tip
In divisor-count questions, check (1) separately. चरण 1: किसी प्राकृत संख्या का धनात्मक भाजक गिनना है। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक भाजक (1) ही है, जबकि (2) के दो भाजक हैं। चरण 3: भाजकों की संख्या से जुड़े प्रश्नों में (1) को अलग से जाँचें।
Find numbers divisible by (7) between (30) and (60).
Step 2
Why this answer is correct
The values are (35,42,49,56) within the strict range.
Step 3
Exam Tip
Check divisibility and boundary conditions together. चरण 1: (30) और (60) के बीच (7) से विभाज्य संख्याएँ खोजें। चरण 2: (35,42,49,56) ही इस खुली सीमा में आते हैं। चरण 3: विभाज्यता और सीमा दोनों शर्तें साथ-साथ जाँचें।
\(x\le 1\) includes (1), so integers from (-4) to (1) are listed.
Step 3
Exam Tip
In mixed boundaries, decide each endpoint separately. चरण 1: (-5<x) में (-5) शामिल नहीं है। चरण 2: \(x\le 1\) में (1) शामिल है, इसलिए (-4) से (1) तक के पूर्णांक मिलेंगे। चरण 3: मिश्रित सीमा में बाएँ और दाएँ छोर अलग-अलग तय करें।
Positive multiples of (10) less than (100) are \(10,20,\ldots,90\).
Step 2
Why this answer is correct
Among them, only (50) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
An and condition requires every condition to be satisfied together. चरण 1: (100) से कम (10) के गुणज \(10,20,\ldots,90\) हैं। चरण 2: इनमें (25) से विभाज्य केवल (50) है। चरण 3: और वाली शर्त में सभी शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए।
\(x=\frac{12}{n}\) must be natural, so (n) must divide (12).
Step 2
Why this answer is correct
The possible (x)-values are (12,6,4,3,2,1), written as ({1,2,3,4,6,12}).
Step 3
Exam Tip
Order does not matter in a set. चरण 1: \(x=\frac{12}{n}\) प्राकृत होना चाहिए, इसलिए (n) को (12) का भाजक होना चाहिए। चरण 2: मिलने वाले (x) मान (12,6,4,3,2,1) हैं, जिन्हें समुच्चय में सामान्य क्रम से ({1,2,3,4,6,12}) लिख सकते हैं। चरण 3: समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता।
The distinct letters are (m,a,t,h,e,i,c,s), so there are (8) elements.
Step 3
Exam Tip
Do not count repeated letters again. चरण 1: शब्द के अलग-अलग अक्षर पहचानें। चरण 2: (m,a,t,h,e,i,c,s) अलग-अलग अक्षर हैं, इसलिए कुल (8) सदस्य होंगे। चरण 3: अक्षर गिनते समय दोहराए हुए अक्षरों को दोबारा न गिनें।
After finding solutions, check that they are natural numbers. चरण 1: समीकरण \(x^2-10x+21=0\) को गुणनखंड करें। चरण 2: ((x-3)(x-7)=0), इसलिए (x=3,7)। चरण 3: हल मिलने के बाद देखें कि वे प्राकृत संख्याएँ हैं या नहीं।
For \(x^2<10\), possible integers are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
The even integers among them are (-2,0,2).
Step 3
Exam Tip
First list possible values by range, then apply even or odd condition. चरण 1: \(x^2<10\) के लिए पूर्णांक (x=-3,-2,-1,0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: इनमें सम पूर्णांक (-2,0,2) हैं। चरण 3: पहले सीमा से संभावित सदस्य लिखें, फिर सम या विषम जैसी शर्त लगाएँ।
Since the number is two-digit and less than (20), check from (10) to (19).
Step 2
Why this answer is correct
The prime numbers there are (11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
Not every two-digit number starting with (1) is prime, so test divisibility. चरण 1: दो अंकों और (20) से कम होने के कारण संख्याएँ (10) से (19) तक देखें। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ (11,13,17,19) हैं। चरण 3: (1) से शुरू होने वाली सभी दो अंकीय संख्याएँ अभाज्य नहीं होतीं, इसलिए जाँच जरूरी है।
For a but condition, first form the main list and then remove the excluded type. चरण 1: (30) के भाजक (1,2,3,5,6,10,15,30) हैं। चरण 2: सम भाजक हटाने पर (1,3,5,15) बचते हैं। चरण 3: पर वाली शर्त में पहले मुख्य सूची बनाकर फिर हटाने वाली शर्त लागू करें।
For (x=3,5,7), the corresponding values (7,5,3) are prime.
Step 3
Exam Tip
In double-condition sets, test the second expression for each candidate. चरण 1: (x) और (10-x) दोनों अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: (x=3,5,7) पर क्रमशः (7,5,3) मिलते हैं, जो अभाज्य हैं। चरण 3: दोहरी शर्त में हर चुने गए मान के साथ दूसरी अभिव्यक्ति भी जाँचें।
For \(\frac{20}{x}\) to be natural, (x) must divide (20).
Step 2
Why this answer is correct
The natural divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20).
Step 3
Exam Tip
In fraction-based conditions, choose denominators that divide exactly. चरण 1: \(\frac{20}{x}\) प्राकृत हो, इसके लिए (x) को (20) का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (20) के प्राकृत भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। चरण 3: भिन्न वाली शर्त में हर को ऐसा चुनें कि भाग पूरा-पूरा हो।
We check numbers from (1) to (30) whose digit sum is (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5), (14), and (23) have digit sum (5).
Step 3
Exam Tip
In digit-sum questions, do not include numbers outside the given range. चरण 1: (1) से (30) तक अंकों का योग (5) देखना है। चरण 2: (5), (14) और (23) में अंकों का योग (5) है। चरण 3: अंकों के योग वाले प्रश्न में सीमा के बाहर की संख्या जैसे (32) न लें।
When (x) appears on both sides, avoid canceling without checking (x=0). चरण 1: \(x^2=2x\) को \(x^2-2x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-2)=0), इसलिए (x=0) या (x=2)। चरण 3: जब (x) दोनों पक्ष में हो, तो सीधे काटने से पहले (x=0) की संभावना जाँचें।
With (x>6), the remaining values are (7,14,21,42).
Step 3
Exam Tip
While applying a boundary, check whether equality is allowed. चरण 1: (42) के भाजक (1,2,3,6,7,14,21,42) हैं। चरण 2: (x>6) होने से (7,14,21,42) बचते हैं। चरण 3: सीमा लागू करते समय बराबर का चिह्न है या नहीं, यह अवश्य देखें।
From numbers (1) to (20), remove those divisible by (2) or by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The remaining numbers are (1,5,7,11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
In a neither-nor condition, exclude both categories. चरण 1: (1) से (20) तक की संख्याओं में (2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ हटाएँ। चरण 2: बची संख्याएँ (1,5,7,11,13,17,19) हैं। चरण 3: न यह न वह वाली शर्त में दोनों प्रकार की संख्याएँ हटानी पड़ती हैं।
((x+5)(x-4)=0), so the solutions are (-5) and (4), but only (4) is natural.
Step 3
Exam Tip
From all equation solutions, keep only values allowed by the set condition. चरण 1: \(x^2+x=20\) को \(x^2+x-20=0\) लिखें। चरण 2: ((x+5)(x-4)=0), इसलिए हल (-5) और (4) हैं, पर प्राकृत संख्या केवल (4) है। चरण 3: समीकरण के सभी हलों में से वही चुनें जो दिए गए समुच्चय की शर्त में आते हों।
