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(A) में (4) तत्व हैं इसलिए (\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग तत्व गिनें। / Set (A) has (4) elements so (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. In exams first count the distinct elements of the original set.
पहला कदम है समूहनिर्दिष्ट परिप्रेक्ष्य में पूरक निकालना: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\) इसलिए \(n(A')=4\)। किसी सेट के पावर सेट में उसके सभी संभव उपसमूह होते हैं और उनकी संख्या \(2^{n(\text{set})}\) से दी जाती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\)। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प \(8\) ऐसा मानने पर आता है कि कोई छात्र गलती से \(n(A')=3\) मान ले जिससे \(2^3=8\) निकले — यह गलत है क्योंकि वास्तविक \(A'\) में 4 तत्व हैं। परिक्षा-सुझाव: पहले पूरक के तत्व गिनें, फिर तुरंत \(2^{n}\) का प्रयोग करें; इस क्रम का उल्टा न करें। / First find the complement relative to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\), so \(n(A')=4\). The number of subsets (power set size) of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\). The closest wrong choice, 8, would result from mistakenly taking \(n(A')=3\) and computing \(2^3\); 4 would be wrong if one confuses the set size with the power set size. Exam tip: always count elements of the complement first, then apply \(2^{n}\).
पावर सेट का नियम है कि यदि किसी समुच्चय \(A\) में \(n\) तत्व हैं तो उसकी पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। यहाँ दिया है \(n(\mathcal{P}(A))=512\)। चूँकि \(512=2^9\), इसलिए \(n(A)=9\)। नज़दीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: यदि \(n(A)=8\) होता तो \(2^8=256\) और यदि \(n(A)=10\) होता तो \(2^{10}=1024\) — दोनों 512 नहीं देते। परीक्षा टिप: शक्तियों के मान \(2^5, 2^6, …, 2^{10}\) याद रखें ताकि ऐसे प्रश्न तेज़ी से हल हो सकें। / The power-set rule states that if a set \(A\) has \(n\) elements then \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) subsets. Given \(n(\mathcal{P}(A))=512\) and since \(512=2^9\), we conclude \(n(A)=9\). Checking nearby distractors: for \(n(A)=8\), \(2^8=256\); for \(n(A)=10\), \(2^{10}=1024\) — neither equals 512. Exam tip: memorize powers of 2 \(e.g. 2^5…2^{10}\) to answer such questions quickly.
किसी समुच्चय के कुल उपसमुच्चय की संख्या 2^n होती है जहाँ n तत्वों की संख्या है. यहाँ 2^n = 1024, इसलिए n = 10. किसी समुच्चय के उचित उपसमुच्चयों में पूरा समुच्चय शामिल नहीं होता, अतः उनकी संख्या कुल उपसमुच्चयों में से 1 घटाकर मिलेगी: 1024 − 1 = 1023. विकल्प 1024 गलत है क्योंकि वह पूरा समुच्चय भी गिनता है; 512 गलत है क्योंकि वह 29 है; 10 स्पष्टतः असंगत है। परीक्षा टिप: पहले 2^n = 1024 से n निकालें (यहाँ n=10), फिर उचित उपसमुच्चय = 2^n − 1 करें। / The number of all subsets of a set with n elements is 2^n. Given 2^n = 1024, we get n = 10. A proper subset excludes the set itself, so the count is total subsets minus one: 1024 − 1 = 1023. Option 1024 is incorrect because it counts the whole set as well; 512 corresponds to 29 and is therefore wrong; 10 is not relevant. Exam tip: identify n by recognizing 1024 = 210 (or use log2), then compute proper subsets as 2^n − 1.
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({r,t}) में केवल (A) के तत्व हैं इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({r,t}) contains only elements of (A) so it is correct.
(1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है बल्कि ({1}) तत्व है। इसलिए ({0,1}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (1) itself is not an element of (A); ({1}) is an element. So ({0,1}) is not a subset of (A).
(A) में दो अलग-अलग तत्व हैं इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को अलग समझें। / Set (A) has two distinct elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as different.
यदि किसी समुच्चय A में n तत्व हों तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ A = \(\{a\}\) के लिए n = 1, अतः \(\mathcal{P}(\{a\})\) में \(2^1 = 2\) तत्व होंगे। अब उन 2 तत्वों का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\) में कुल \(2^2 = 4\) तत्व होंगे। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलता अगर शुरूआती समुच्चय में 3 तत्व होते (\(2^{2^3}=256\) नहीं—यहां चरणबद्ध गिनती लागू करें)। परीक्षा युक्ति: पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें (n), फिर सामान्य सूत्र \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert=2^{2^n}\) या चरण-दर-चरण \(2^n\) और फिर \(2^{(2^n)}\) के बजाय छोटे मामलों में सीधे \(2^{2^n}\) से गणना करें। / If a set A has n elements then its power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements. Here A = \(\{a\}) so n = 1, therefore \(\mathcal{P}(\{a\})\) has \(2^1 = 2\) elements. The power set of that set, \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\), therefore has \(2^2 = 4\) elements. Hence 4 is correct. Option C (8) is incorrect — that would correspond to a different starting size; do the counting stepwise rather than guessing. Exam tip: use the general formula \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert = 2^{2^n}\) for a set of size n, or compute \(2^n\) first and then take the power set of that result for small n.
समूह का पूरक (complement) उस सार्वत्रिक समूह \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(U\) के तत्व \(a,b,c,d,e,f\) हैं और \(A\) में \(a,c,f\) हैं, अतः \(A'\) में बाकी बचे तत्व \(b,d,e\) आएँगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A\) स्वयं है न कि उसका पूरक; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(a\) आता है जो \(A\) में है; विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट तभी होगा जब \(A=U\)। परीक्षीय टिप: पूरक निकालते समय पहले \(U\) की सभी वस्तुएँ लिखें और उन तत्वों को हटाएं जो \(A\) में हैं। / The complement of a set is the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). With \(U=\{a,b,c,d,e,f\}\) and \(A=\{a,c,f\}\), the remaining elements are \(\{b,d,e\}\), so option A is correct. Option B is just \(A\) itself, not the complement. Option C incorrectly includes \(a\), which belongs to \(A\). Option D (the empty set) would be correct only if \(A=U\). Exam tip: List elements of \(U\) and strike out those in \(A\) to get the complement quickly and avoid errors.
पूरक सेट की संख्या के लिए सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) उपयोग करें। यहाँ \(n(U)=10\) और \(n(A)=3\)। अतः \(n(A')=10-3=7\)। विकल्प B (6) गलती से एक तत्व कम गिनने से आ सकता है; विकल्प D (10) गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वभौमिक सेट है, न कि A का पूरा पूरक। परीक्षा सलाह: पहले सार्वभौमिक और दिए गए सेट के तत्वों की गिनती लिखकर निकालें कि कितने तत्व शेष रहते हैं। / Use the complement formula \(n(A')=n(U)-n(A)\). Here \(n(U)=10\) and \(n(A)=3\), so \(n(A')=10-3=7\). Option B (6) could result from miscounting one element; option D (10) is incorrect because it corresponds to the whole universal set, not the complement of A. Exam tip: always count elements of U and A first, then apply the formula to avoid simple subtraction errors.
एक विद्यालय में कुल 75 विद्यार्थी हैं। इनमें से 32 विद्यार्थी संगीत में भाग लेते हैं और 28 विद्यार्थी नाटक में भाग लेते हैं। यदि 10 विद्यार्थी दोनों गतिविधियों में भाग लेते हैं, तो दोनों में से किसी में भी न भाग लेने वाले कितने विद्यार्थी होंगे?
दो सेटों का सम्मिलन निकालने का सूत्र है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A)=32,\; n(B)=28,\; n(A\cap B)=10\)। अतः \(n(A\cup B)=32+28-10=50\)। कुल 75 में से जिन्होंने किसी एक या दोनों में भाग लिया उन्हें घटाएँ: \(75-50=25\)। इसलिए 25 विद्यार्थी किसी भी गतिविधि में भाग नहीं लेते। नज़दीकी भ्रामक विकल्प (जैसे 20) तब बन सकता है जब ओवरलैप की मात्रा गलत ली जाए — इसलिए ओवरलैप को जोड़-घटाव में सही तरीके से उपयोग करें। परीक्षा-युक्ति: शीघ्र Venn-आरेख बनाएँ और क्षेत्रों पर सीधे संख्या लगाकर जाँच करें। / Use the union formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Here \(n(A)=32,\; n(B)=28,\; n(A\cap B)=10\), so \(n(A\cup B)=32+28-10=50\). Students in neither = total − union = \(75-50=25\). Thus 25 is correct. A common error (leading to a wrong option like 20) is mishandling the overlap value; ensure you subtract the intersection exactly once. Exam tip: sketch a quick Venn diagram, fill the intersection first, then the remaining parts, and finally subtract from the total.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। प्रतिच्छेद के पूरक में कम से कम एक समुच्चय से बाहर वाले तत्व आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). The complement of an intersection includes elements outside at least one set.
यहाँ \(A'\) का अर्थ यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष पूरक है, यानी \(A'=U\setminus A\). यदि \(A'=\varnothing\) तो \(U\setminus A=\varnothing\) आता है, अर्थात् कोई भी तत्व \(U\) में ऐसा नहीं है जो \(A\) के बाहर हो; इसका अर्थ \(U\subseteq A\) है। दिया गया है कि \(A\subseteq U\) भी है, इसलिए दोनों सम्मिलित कर के \(A=U\) प्राप्त होता है। विकल्प (A) गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A' = U\), जो सामान्यतः खाली नहीं होगा (केवल तब खाली जब \(U=\varnothing\) हो)। विकल्प (C) और (D) भी सामान्यतः सत्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूरक की परिभाषा \(A'=U\setminus A\) और उपस सेट संबंधों का संयोजन लिखकर त्वरित निष्कर्ष निकालें। / Here \(A'\) denotes the complement of \(A\) relative to the universal set \(U\), i.e. \(A'=U\setminus A\). If \(A'=\varnothing\) then \(U\setminus A=\varnothing\), so no element of \(U\) lies outside \(A\); hence \(U\subseteq A\). Given \(A\subseteq U\) as well, we conclude \(A=U\). Option (A) is incorrect because if \(A=\varnothing\) then \(A'=U\), not \(\varnothing\) (except in the degenerate case \(U=\varnothing\)). Options (C) and (D) are not generally implied by the hypothesis. Exam tip: Use \(A'=U\setminus A\) and combine subset relations to prove equality quickly (\(U\setminus A=\varnothing\Rightarrow U\subseteq A\Rightarrow A=U\)).
केंद्रबिंदु: किसी सेट और उसके पूरक का योग यूनिवर्सल सेट के बराबर होता है। इसलिए \(n(A)+n(A')=n(U)\)। यहाँ \(n(A)=n(U)-n(A')=80-19=61\)।
क्योंकि 41 गलत है: 41 उस तरह के गलत गणितीय कदम से आ सकता है जहाँ घटाव गलत तरीके से किया गया हो; सही विधि ऊपर दिया समीकरण लागू करना है।
परीक्षात्मक टिप: किसी सेट का पूरक दिया हो तो सीधा फॉर्मूला याद रखें — \(n(A)=n(U)-n(A')\)。 / Core idea: A and its complement A' partition the universal set, so \(n(A)+n(A')=n(U)\). Thus \(n(A)=n(U)-n(A')=80-19=61\).
Why 41 is wrong: 41 would result from an incorrect arithmetic step or misapplication of the relation; the correct method is to subtract the complement's cardinality from the universal cardinality as shown.
Exam tip: Whenever a set's complement is given, use \(n(A)=n(U)-n(A')\) directly to avoid simple mistakes.
24 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — कुल 8 तत्व। इसलिए \(n(A)=8\)। किसी समुच्चय का शक्ति-समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^{n(A)}\) होती है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प 128 है — वह तब होता यदि तत्व केवल 7 होते (\(2^7\)) यानी एक भाजक छूट गया हो। परीक्षा-सुझाव: भाजकों की संख्या तेज़ी से पाने के लिए 24 का गुणनकर्ता रूप लिखें \(24=2^3\times3^1\) और divisors की संख्या \((3+1)(1+1)=8\) लागू करें। / The positive divisors of 24 are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — a total of 8 elements, so \(n(A)=8\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^{n(A)}\) elements, hence \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\). The closest distractor 128 would correspond to \(2^7\), i.e. missing one divisor. Exam tip: use prime factorization \(24=2^3\times3^1\) and the divisor-count formula \((3+1)(1+1)=8\) to get the number of divisors quickly.
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए घात समुच्चय में ({k}) आएगा, केवल (k) नहीं। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So the power set contains ({k}), not just (k).
A. \(m\in A\) और \(n\in A\)/\(m\in A\) and \(n\in A\)
Explanation
Simple Explanation
\({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \({m,n}\subseteq A\)। इसलिए (m) और (n) दोनों (A) के तत्व होंगे। / \({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) means \({m,n}\subseteq A\). Therefore both (m) and (n) are elements of (A).
दिए गए तीनों विकल्प (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / All three given options are subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
\(\varnothing\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। इसलिए \(\varnothing\) हमेशा (\mathcal{P}(A)) का तत्व होगा। / \(\varnothing\) is a subset of every set. Therefore \(\varnothing\) is always an element of (\mathcal{P}(A)).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। \(\varnothing\) और (A) को हटाने पर (14) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / Total subsets are \(2^4=16\). Removing \(\varnothing\) and (A) leaves (14) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{5}{2}=10\). Each choice becomes an element of the power set.
एक तत्व को रखना तय है और बाकी (6) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। / One element is fixed to be included and the remaining (6) elements are free. So the number of subsets is \(2^6=64\).
दो निर्दिष्ट तत्वों को उपसमुच्चयों में शामिल नहीं करने का मतलब है कि हम उन दोनों को हटा कर शेष तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या गिनें। A के कुल 5 तत्व हैं; दो हटाने पर बचे 3 तत्व होंगे, जिनके सभी उपसमुच्चयों की संख्या है \(2^3=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प A (4) तब ग़लत होगा जब केवल 2 तत्व शेष मान लिए जाएँ — यहाँ 3 तत्व शेष हैं, इसलिए 4 सही नहीं। परीक्षा-सूत्र: किसी सेट के n तत्वों के सभी उपसमुच्चय की संख्या \(2^n\) से दी जाती है; किसी विशिष्ट तत्व को “नहीं रखना” मतलब उसे हटाकर शेष पर \(2^{\text{शेष}}\,\) गिनना। / Not containing the two specified elements means exclude those two and count subsets of the remaining elements. From 5 elements, removing the two leaves 3 elements, whose subsets number is \(2^3=8\). Thus 8 is correct. Note on distractors: option A (4) would correspond to mistakenly assuming only 2 elements remain (giving \(2^2=4\)), so it is incorrect here. Exam tip: remember that a set with n elements has \(2^n\) subsets; when certain elements are forbidden, subtract them first and apply \(2^{\text{remaining}}\).
U में 1 से 18 तक के प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इसलिए \(n(U)=18\). \(A\) उन संख्या का समूह है जो 4 के गुणज हैं और \(U\) में हैं: \(A=\{4,8,12,16\}\), अतः \(n(A)=4\). समपूरक की संख्या \(n(A')=n(U)-n(A)=18-4=14\). परोक्ष भ्रम: विकल्प (B)=12 तब आ सकता है जब कोई \(A\) के तत्वों को गलत तरह से गिनकर 6 माना ले; विकल्प (A)=4 यह \(A\) की संख्या है न कि समपूरक की। परीक्षा सुझाव: पहले सेट के तत्व लिखें और स्पष्ट कर लें कि \(\mathbb{N}\) में 0 शामिल है या नहीं — यहाँ हम \(1\) से शुरू कर रहे हैं। / U contains the natural numbers from 1 to 18, so \(n(U)=18\). The multiples of 4 in U are \(A=\{4,8,12,16\}\), hence \(n(A)=4\). The complement has \(n(A')=n(U)-n(A)=18-4=14\). Closest distractor (B)=12 is wrong — it would follow from an incorrect count of elements in A (for example counting six multiples). Option (A)=4 is actually the size of A, not A'. Exam tip: list elements explicitly and confirm whether 0 is considered a natural number in the given convention.
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing})। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}).
यदि दो समुच्चय समान हैं (यहाँ A = U), तो उनका हर उपसमुच्चय भी समान होगा। इसलिए दोनों के उपसमुच्चयों का समूह, यानी उनका घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U)\), भी बराबर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी समुच्चय का घातसमुच्चय कभी शून्य समुच्चय नहीं होता; यहाँ तक कि शून्य समुच्चय के लिए भी \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\) होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(U)\) के तत्त्व U के उपसमुच्चय होते हैं, U के तत्व नहीं—इसलिए वे सामान्यतः A के तत्व नहीं होते ताकि समावेशन \(\subset\) सही रहे। विकल्प D गलत है क्योंकि समान घातसमुच्चय का परस्पर छेद्य वही घातसमुच्चय होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: सेट-सम्बन्धों में स्पष्ट करें कि घातसमुच्चय के तत्त्व उपसमुच्चय होते हैं, तत्व नहीं; और याद रखें कि \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\)। / If two sets are equal (here A = U), they have exactly the same subsets. Hence their power sets are equal: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(U)\). Option B is false because a power set is never empty; even \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\). Option C is incorrect because elements of \(\mathcal{P}(U)\) are subsets of U, not elements of U, so inclusion \(\mathcal{P}(U)\subset A\) generally does not hold. Option D is false because the intersection of identical power sets is the same power set, not the empty set. Exam tip: distinguish between 'element of a set' and 'subset of a set' and remember the identity: A = B implies \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\).
पूरक की परिभाषा: A' = U \ A. चूँकि A = \varnothing (रिक्त समुच्चय) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए U \ A = U. अतः A' = {2,4,6}. विकल्प A गलत है क्योंकि वह स्वयं रिक्त समुच्चय है, विकल्प C गलत है क्योंकि 0 तथा इसकी उपस्थिति U में नहीं है, और विकल्प D (\mathcal{P}(U)) गलत है क्योंकि वह U के सभी सबसैट्स का समुच्चय है न कि U का पूरक। परीक्षा-टिप: किसी भी पूरक प्रश्न में पहले ये जाँचें कि दिए गए तत्व सार्वत्रिक समुच्चय U में हैं या नहीं। / By definition the complement A' = U \ A. Since A = \varnothing has no elements, U \ A = U. Therefore A' = {2,4,6}. Option A is wrong because it is the empty set itself; option C is wrong because 0 is not an element of U; option D (\mathcal{P}(U)) is the power set of U (the set of all subsets), not the complement. Exam tip: Always compute A' as U \ A and check membership of elements in U before answering.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। केवल \(\varnothing\) रिक्त है इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (15) होंगे। / Total subsets are \(2^4=16\). Only \(\varnothing\) is empty so there are (15) non-empty subsets.
हर मूल तत्व से एक एक-तत्वीय उपसमुच्चय बनता है। (5) तत्वों से (5) singleton subsets बनेंगे। / Each original element forms one singleton subset. From (5) elements, there are (5) singleton subsets.
ठीक (4) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) है। ऐसे हर उपसमुच्चय को घात समुच्चय में गिना जाता है। / The number of ways to choose exactly (4) elements is \(\binom{6}{4}=15\). Every such subset is counted in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में (2) और (3) अकेले नहीं बल्कि ({2}) और ({3}) आते हैं। / A two-element set has four subsets. In the power set, (2) and (3) appear as ({2}) and ({3}), not alone.
पहले पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7,8\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,3,5,7\}\). दोनों का प्रतिच्छेद वह तत्व देगा जो दोनों में सामान्य हैं, इसलिए \(A'\cap B'=\{1,3,5,7\}\). विकल्प C वास्तव में \(B'\) है (इसमें 2 मौजूद है), और विकल्प B \(A\cap B\) के बराबर है; इसलिए वे सही नहीं हैं. परीक्षा-सुझाव: पहले प्रत्येक समुच्चय का पूरक लिखें और फिर प्रतिच्छेद लें — इससे भूल-चूक कम होती है। / Compute complements first: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7,8\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,3,5,7\}\). Their intersection contains elements common to both, so \(A'\cap B'=\{1,3,5,7\}\). Note: option C equals \(B'\) (it contains 2), and option B equals \(A\cap B\), so they are incorrect. Exam tip: always find each complement relative to \(U\) before taking union/intersection to avoid mistakes.
सबसे पहले \(A\cap B=\{r\}\) है क्योंकि दोनों सेटों में केवल \(r\) सामान्य है। किसी सेट का पूरक (prime) सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है, इसलिए \((A\cap B)'=U-(A\cap B)=\{p,q,r,s,t\}-\{r\}=\{p,q,s,t\}\). नज़दीकी विचलन: विकल्प C में \(r\) शामिल है इसलिए यह पूरक नहीं हो सकता; विकल्प A वास्तव में संघ के स्थान पर केवल परस्पर सामान्य तत्व (intersection) दे रहा है। परीक्षण सुझाव: पहले intersection ढूँढें, फिर उसे सार्वभौमिक सेट से घटाएँ। / First compute the intersection: \(A\cap B=\{r\}\) since \(r\) is the only common element. The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U-(A\cap B)=\{p,q,r,s,t\}-\{r\}=\{p,q,s,t\}\. Closest distractor: option C wrongly keeps \(r\) inside the set, so it is not the complement; option A is just the intersection itself. Exam tip: always find the intersection (or union) first, then apply complement relative to \(U\).
मूल सिद्धांत: किसी सेट A के पदसमूह (power set) का तत्वों की संख्या \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) होता है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) और \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\)। अनुपात \(64:16\) को सरल करने पर \(4:1\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। नजदीकी भ्रमजनक विकल्प A (3:2) या C (6:4) गलत हैं क्योंकि वे केवल मूल सेटों के तत्वों के अनुपात \(n(A):n(B)=6:4=3:2\) को दर्शाते हैं, न कि उनके पदसमूहों के तत्वों के अनुपात को। परīk्षा सुझाव: जल्दी समाधान के लिए हमेशा याद रखें \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\) और अनुपात को साधारणतः घटाकर लिखें। / Core concept: the cardinality of the power set is given by \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\). So \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) and \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\). Their ratio is \(64:16\), which simplifies to \(4:1\); hence option B is correct. A (3:2) or C (6:4) are common distractors because they reflect the ratio of the original sets \(n(A):n(B)=6:4=3:2\), not the ratio of the sizes of the power sets. Exam tip: apply \(2^{n}\) for power sets and simplify ratios by dividing by the greatest common divisor.
पहला कदम सेट \(A\) के तत्त्वों की संख्या गिनना है। शर्त \(5<x<11\) के अनुसार \(A=\{6,7,8,9,10\}\) और इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के power set (\(\mathcal{P}(A)\)) में तत्त्वों की संख्या हमेशा \(2^{n(A)}\) होती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। सबसे करीबी भ्रामक विकल्प C (64) तब ही सही होता यदि \(n(A)\) = 6 माना गया हो — यह गिनती की त्रुटि है। परीक्षा-सुझाव: पहले सेट के तत्त्व सीधे लिखकर गिनें और फिर फॉर्मूला \(2^{n(A)}\) लागू करें। / First count the elements of \(A\). From \(5<x<11\) we get \(A=\{6,7,8,9,10\}\), so \(n(A)=5\). The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). The closest wrong choice C (64) would correspond to mistakenly taking \(n(A)=6\). Exam tip: list elements to avoid off-by-one errors, then use \(2^{n(A)}\).
(MOON) के अलग-अलग अक्षर (M,O,N) हैं इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (MOON) are (M,O,N), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार गिने जाते हैं इसलिए \(A=\{4,5,6,7\}\)। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=24=16)। / Repeated elements are counted once in a set, so \(A=\{4,5,6,7\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=24=16).
A के 6-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की गिनती उस तरीके पर निर्भर करती है जिससे हम 7 तत्वों में से 6 चुनते हैं। यह संयोजन की संख्या है: \(\binom{7}{6}=7\)। सीधे विचार करने का आसान तरीका यह है कि 6-तत्त्व वाला उपसमुच्चय बनाने के लिए आप 7 में से किसी एक तत्व को बाहर छोड़ते हैं — इसलिए 7 विकल्प। विकल्प (D) 21 उस गलती से आता है जहाँ कोई \(\binom{7}{2}\) या \(\binom{7}{5}\) समझ लेता है (2-तत्त्व या 5-तत्त्व उपसमुच्चयों की संख्या) — इसलिए वह गलत है. परखा जाने योग्य टिप: कभी-कभी बाहर रखने वाले तत्वों की गिनती निकालना तेज़ होता है; याद रखें \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)। / Count how many ways to choose 6 elements from 7: this is a combination \(\binom{7}{6}=7\). Equivalently, each 6-element subset is determined by which single element is omitted, so there are 7 choices. Option D (21) is incorrect — 21 equals \(\binom{7}{2}=\binom{7}{5}\), the number of 2- or 5-element subsets, not 6-element subsets. Exam tip: use \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) or count the elements you omit when k is close to n to simplify calculations.
किसी समुच्चय के यदि \(n\) तत्व हों तो उसके कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। यहाँ \(2^n=2048\) और \(2048=2^{11}\), अतः \(n=11\)। निकटभ्रष्ट विकल्पों का परीक्षण करने पर \(2^{10}=1024\) और \(2^{12}=4096\) आते हैं, इसलिए 10 या 12 सही नहीं हैं। परीक्षा-टिप: बड़े घातांक वाले मानों के लिए सीधे लॉग लें — \(n=\log_2 2048=11\)। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Here \(2^n=2048\) and since \(2048=2^{11}\), we get \(n=11\). Checking nearby powers: \(2^{10}=1024\) and \(2^{12}=4096\), so 10 or 12 are incorrect. Exam tip: use base-2 logarithm for quick calculation — \(n=\log_2 2048=11\).
यदि \(A\subseteq B\), तो हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा। तत्वता पद्घति से देखें: यदि \(x\in B'\) (अर्थात् \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा क्योंकि \(A\subseteq B\)। अतः \(x\in A'\)। इसलिए \(B'\subseteq A'\) सत्य है। विकल्प A (\(A'\subseteq B'\)) सामान्यतः उल्टा है और गलत है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(A=B\) हो; विकल्प D का अर्थ है कि दोनों पूरक एक-दूसरे से पृथक हैं, जो जरूरी नहीं। परीक्षा-टिप: समुच्चय समावेश दिखाने के लिये हमेशा 'तत्वता विधि' (element-wise) या वенн आरेख का उपयोग करें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is in \(B\). Using element-wise reasoning: if \(x\in B'\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A'\). Thus \(B'\subseteq A'\) is true. Option A (\(A'\subseteq B'\)) reverses the inclusion and is generally false; option C holds only if \(A=B\); option D (\(A'\cap B'=\varnothing\)) need not hold. Exam tip: prove set relations by taking an arbitrary element and showing membership (element-wise proof) or use a Venn diagram for quick checks.
समुच्चय का पूरक परिभाषित है: \(A'=U\setminus A\)। इसलिए \(A\) को पाने के लिए हम \(U\) से \(A'\) में दिए गए तत्व हटा देंगे। अर्थात् \(A=U\setminus A'=\{2,4,6,8,10,12\}\setminus\{4,10\}=\{2,6,8,12\}\)। विकल्प C निकट का भ्रम पैदा करता है क्योंकि उसमें 4 शामिल है, पर 4 तो \(A'\) में है इसलिए \(A\) में नहीं होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय और उसके पूरक के लिए \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\) हमेशा सत्य होते हैं। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\). So to get \(A\) remove the elements of \(A'\) from \(U\): \(A=U\setminus A'=\{2,4,6,8,10,12\}\setminus\{4,10\}=\{2,6,8,12\}\). Option C is a tempting distractor because it includes 4, but 4 belongs to \(A'\) so it cannot be in \(A\). Exam tip: remember \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\) to check your answer quickly.
2 को शामिल करना और 5 को बहिष्कृत करना निश्चित है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व हैं \(\{1,3,4\}\) — तीन तत्व। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के लिए दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अत: कुल विकल्प \(2^3=8\)। विकल्प (16) तब आएगा जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (गलती से 2 या 5 की शर्त न मानना)। परीक्षात्मक सुझाव: पहले निश्चित शामिल/बहिष्कृत तत्व अलग कर दें, फिर शेष स्वतंत्र तत्वों के लिए \(2^{n}\) लागू करें। / Including 2 and excluding 5 are fixed constraints, so the remaining free elements are \(\{1,3,4\}\) — three elements. Each free element can either be present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. The distractor 16 would arise if one incorrectly treated four elements as free (i.e., ignored a fixed inclusion/exclusion). Exam tip: fix the required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{number of free elements}}\).
"कम से कम 5" का अर्थ है 5 या 6 तत्व। 6-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{5}=6\) और 6-तत्त्व वाला पूरा सेट की संख्या \(\binom{6}{6}=1\) है। अतः कुल उपसमुच्चय \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\) हैं। विकल्प A (6) केवल उन उपसमुच्चयों की गिनती देता है जिनमें ठीक 5 तत्व हैं और पूरा सेट शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: "कम से कम k" को अक्सर "ठीक k, ठीक k+1, ..." के रूप में जोड़कर या पूरक गिनकर तेज़ी से हल करें। / "At least 5" means subsets with 5 or 6 elements. Number with 5 elements is \(\binom{6}{5}=6\) and with 6 elements is \(\binom{6}{6}=1\). So total is \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\). Option A (6) counts only the 5-element subsets and omits the whole set, so it is incorrect. Exam tip: sum the binomial counts for the required sizes or use complement counting when convenient.
(3) और (7) को रखना तय है और बाकी (5) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) होगी। / Including (3) and (7) is fixed and the remaining (5) elements are free. So the number is \(2^5=32\).
यदि हम 1, 2 और 3 को शामिल नहीं करना चाहते तो बचते हैं तत्व {4,5,6} — कुल 3 तत्व। किसी n‑तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या पॉवर सेट के सिद्धांत के अनुसार
\(2^n\) होती है। यहाँ \(n=3\) है इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी।
नज़दीकी भ्रामक विकल्प 16 है — वह तब सही होता अगर बचे हुए तत्व 4 होते (क्योंकि \(2^4=16\))। परीक्षा टिप: पहले उन तत्वों की गिनती करें जिन्हें आप रखने/न रखने पर विचार कर रहे हैं, फिर \(2^{\text{गिने गए तत्वों की संख्या}}\) लगाएँ। / If none of 1, 2, 3 are allowed, the remaining elements are {4,5,6} — that is 3 elements. The number of subsets of an n‑element set is given by the power set size \(2^n\). Here \(n=3\), so the number of subsets is \(2^3=8\).
The closest distractor 16 would be correct only if 4 elements remained (since \(2^4=16\)). Exam tip: first count how many elements remain after restrictions, then compute \(2^{\text{remaining elements}}\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल \(2^4=16\) तत्व हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (15) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. For proper subsets, remove only (A) itself, so (15) remain.
पहला कदम है \(A\cup B\) निकालना: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). अब समर्पक \((A\cup B)'\) का मतलब है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cup B\) को हटाना: \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A\cup B\) खुद है, विकल्प C \(A\cap B\) (साधारण गलती), और विकल्प D से घटक 9 गायब है। परीक्षा के लिए टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटाएँ — यह क्रम त्रुटियों को रोकता है। / First compute the union: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). The complement \((A\cup B)'\) means all elements of the universal set \(U\) not in \(A\cup B\), so \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). Option B is just the union (a common confusion), option C equals \(A\cap B\), and option D incorrectly omits 9. Exam tip: always form the union first, then subtract from \(U\) to get the complement — this avoids missing elements.
\(A\cup B={2,4,6,8,10}\) है इसलिए इसमें (5) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={2,4,6,8,10}\), so it has (5) elements. Hence its power set has \(2^5=32\) elements.
30 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30 — कुल 8 संख्या, अतः \(n(A)=8\)। सार्वभौम समुच्चय \(U\) में 1 से 30 तक कुल 30 सदस्य हैं, इसलिए पूरक का आकार \(n(A')=30-8=22\)। निकट भ्रमित विकल्प (20) तब बन सकता है जब किसी ने दो भाजक ग़लत तरीके से छोड़ दिये हों। परीक्षाया सुझाव: तेज़ी से गणना के लिए 30 का अभाज्य गुणनखंड रूप \(30=2\times3\times5\) है, इसलिए भाजकों की संख्या \((1+1)(1+1)(1+1)=8\)। / The positive divisors of 30 are 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 and 30 — so \(n(A)=8\). The universal set \(U\) contains the integers 1 through 30, i.e. 30 elements, hence \(n(A')=30-8=22\). The common wrong answer 20 would result from omitting two divisors. Exam tip: use prime factorization \(30=2\cdot3\cdot5\) so number of divisors = \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) to count quickly.
कम से कम एक तत्व वाले उपसमुच्चय अरिक्त उपसमुच्चय होते हैं। कुल \(2^3=8\) में से \(\varnothing\) हटाने पर (7) बचते हैं। / Subsets with at least one element are non-empty subsets. From total \(2^3=8\), removing \(\varnothing\) leaves (7).
