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दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(3x<15\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर \(x<5\) प्राप्त होता है; क्योंकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C और D में बराबरी का चिह्न अनावश्यक है, जबकि विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Adding 5 to both sides gives \(3x<15\). Dividing by 3 gives \(x<5\); since 3 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option C and option D incorrectly include equality, while option B reverses the inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \\(-2x\geq -6\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \\(-2\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x\leq 3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Subtracting 7 from both sides gives \\(-2x\geq -6\\). Dividing by \\(-2\\) reverses the inequality sign, so \\(x\leq 3\\). Option B is incorrect because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमानता से पहले 2 घटाने पर \(\frac{x}{4}\leq 3\) मिलता है। दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर \(x\leq 12\) प्राप्त होता है। चूँकि 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिन्ह नहीं बदलता; अतः विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर ही चिन्ह उलटता है। / Subtracting 2 from both sides gives \(\frac{x}{4}\leq 3\). Multiplying both sides by 4 yields \(x\leq 12\). Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged, so option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता को हल करने पर \(5x+8>3x+20\) से \(2x>12\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने और फिर 2 से भाग देने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। 2 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=6\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि यहाँ 'से बड़ा' चाहिए। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Solving the inequality \(5x+8>3x+20\), subtract \(3x\) from both sides to obtain \(2x>12\). Dividing by the positive number 2 gives \(x>6\), so option A is correct. Option C is incorrect because it includes \(x=6\), but at \(x=6\) both sides are equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
\(2x\leq 16\) इसलिए \(x\leq 8\) है। चिन्ह तभी बदलता है जब ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करें। / Since \(2x\leq 16\), \(x\leq 8\). The sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को सुलझाएँ: \(2(x-3)\geq x+4\) से पहले ब्रैकेट खोलें: \(2x-6\geq x+4\)। अब दोनों ओर से \(x\) घटाएँ: \(2x-x-6\geq 4\) अर्थात् \(x-6\geq 4\)। दोनों ओर 6 जोड़ने पर \(x\geq 10\) मिलता है। विकल्प C (\(x>10\)) गलत है क्योंकि असमानता में बराबरी की अनुमति है; विकल्प B और D उल्टा सम्बन्ध दिखाते हैं। परीक्षा सुझाव: गुणा/वितरण और फिर समान पदों का घटाव/योग सावधानी से करें; यदि किसी चरण में ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करना हो तो असमानता का चिह्न उलट जाए। / Solve stepwise: \(2(x-3)\geq x+4\). Expand to get \(2x-6\geq x+4\). Subtract \(x\) from both sides: \(x-6\geq 4\). Add 6 to both sides: \(x\geq 10\). Thus the solution is \(x\geq 10\). Option C (\(x>10\)) is incorrect because the original inequality allows equality. Options B and D give the wrong direction. Exam tip: always expand and then isolate the variable; remember to reverse the inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \\(3x+6<2x+14\\) मिलता है। दोनों पक्षों से \\(2x\\) घटाने पर \\(x+6<14\\), अतः \\(x<8\\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिन्ह नहीं है; \\(x=8\\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, जो इस सख्त असमानता को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \\(<\\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Expanding the brackets gives \\(3x+6<2x+14\\). Subtracting \\(2x\\) from both sides yields \\(x+6<14\\), so \\(x<8\\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality is strict; when \\(x=8\\), both sides are equal, so the inequality is not satisfied. Exam tip: a strict inequality sign \\(<\\) excludes the boundary value.
\(2x-1\geq 15\) से \(2x\geq 16\) और \(x\geq 8\) मिलता है। सकारात्मक हर हटाने पर चिन्ह वही रहता है। / From \(2x-1\geq 15\), we get \(2x\geq 16\) and \(x\geq 8\). Removing a positive denominator keeps the sign unchanged.
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(5-x>8\) मिलता है। अतः \(-x>3\)। अब दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \(x<-3\)। \(x\leq -3\) गलत है, क्योंकि \(x=-3\) रखने पर \(\frac{5-(-3)}{2}=4\) मिलता है, जबकि असमानता में 4 से बड़ा मान चाहिए। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिन्ह बदलना न भूलें। / Multiplying both sides by 2 gives \(5-x>8\), so \(-x>3\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-3\). The option \(x\leq -3\) is incorrect because at \(x=-3\), the left-hand side is \(\frac{5-(-3)}{2}=4\), whereas it must be greater than 4. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
असमानता के तीनों भागों में से 5 घटाने पर \(2-5\le x+5-5<9-5\), अर्थात् \(-3\le x<4\) प्राप्त होता है। इसलिए \(-3\) हल में शामिल है, जिसे वर्ग कोष्ठक \([\) से दर्शाते हैं, जबकि 4 शामिल नहीं है, इसलिए उसके लिए गोल कोष्ठक \()\) आता है। अतः सही अंतराल \([-3,4)\) है। परीक्षा में याद रखें: \(\le\) या \(\ge\) के लिए बंद सिरा और \(<\) या \(>\) के लिए खुला सिरा लिया जाता है। / Subtracting 5 from all three parts gives \(2-5\le x+5-5<9-5\), so \(-3\le x<4\). Thus, -3 is included and is shown with a square bracket, while 4 is excluded and is shown with a round bracket. Therefore, the correct interval is \([-3,4)\). The options \((-3,4]\), \((-3,4)\), and \([-3,4]\) use incorrect endpoint inclusion. Exam tip: \(\le\) or \(\ge\) gives a closed endpoint, whereas \(<\) or \(>\) gives an open endpoint.
असमानता \(2x+1<9\) में से 1 घटाने पर \(2x<8\) और 2 से भाग देने पर \(x<4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 4 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 3 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(2(4)+1=9\), जो 9 से छोटा नहीं है। परीक्षा-युक्ति: कड़ी असमानता \(<\) में सीमा का मान शामिल नहीं होता। / Subtracting 1 from \(2x+1<9\) gives \(2x<8\), and dividing by the positive number 2 gives \(x<4\). Since \(x\) is an integer, the greatest integer less than 4 is 3. Option 4 is incorrect because \(2(4)+1=9\), which is not less than 9. Exam tip: In a strict inequality \(<\), the boundary value is not included.
असमानता को हल करने पर \(3x-2\leq 13\Rightarrow 3x\leq 15\Rightarrow x\leq 5\) प्राप्त होता है। प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,4,5\) हैं, इसलिए \(x\) के कुल 5 संभव मान हैं। परीक्षा में याद रखें कि इस संदर्भ में प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू मानी गई हैं; 0 को शामिल करने पर गिनती बदल जाएगी। / Solving the inequality gives \(3x-2\leq 13\Rightarrow 3x\leq 15\Rightarrow x\leq 5\). The natural numbers satisfying this condition are \(1,2,3,4,5\), so there are 5 possible values of \(x\). Exam tip: in this context, natural numbers are taken to start from 1; including 0 would change the count.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x+3\ge -5\) मिलता है। अब दोनों पक्षों से \(3\) घटाने पर \(2x\ge -8\), और \(2\) से भाग देने पर \(x\ge -4\) प्राप्त होता है। इसलिए हल-समुच्चय \(\{x\mid x\ge -4\}\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C और D में \(-4\) पर समता की स्थिति गलत है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(2x+3\ge -5\). Subtracting \(3\) and then dividing by \(2\) gives \(2x\ge -8\), so \(x\ge -4\). Therefore, the solution set is \(\{x\mid x\ge -4\}\). Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D mishandle equality at \(-4\). In an exam, remember that the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
\(-5x\leq 10\) में (-5) से भाग देने पर \(x\geq -2\) होता है। ऋणात्मक भाग से चिन्ह पलटता है। / In \(-5x\leq 10\), dividing by (-5) gives \(x\geq -2\). Division by a negative number reverses the sign.
असमानता को हल करने पर \(8x-3<5x+12\) से \(3x<15\), अतः \(x<5\) प्राप्त होता है। यहाँ दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से विभाजित किया गया है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। \(x=5\) शामिल नहीं है क्योंकि मूल असमानता सख्त \(<\) है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Solving \(8x-3<5x+12\) gives \(3x<15\), and hence \(x<5\). Since both sides are divided by the positive number \(3\), the inequality sign remains unchanged. The value \(x=5\) is excluded because the original inequality is strict, \(<\). Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
(-4x>-8) में (-4) से भाग देने पर (x<2) मिलता है। खुले चिन्ह का अर्थ सीमा शामिल नहीं है। / In (-4x>-8), dividing by (-4) gives (x<2). The strict sign means the boundary is not included.
असमानता को हल करने के लिए पहले कोष्ठक खोलें: \(5(2x-1)=10x-5\)। इसलिए \(10x-5\leq 3x+16\), अर्थात \(7x\leq 21\)। 7 से भाग देने पर \(x\leq 3\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान दें कि 7 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिन्ह नहीं बदलता; विकल्प C में \(x=3\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=3\) मूल असमानता को संतुष्ट करता है। / First expand the bracket: \(5(2x-1)=10x-5\). Thus \(10x-5\leq 3x+16\), which gives \(7x\leq 21\). Dividing by the positive number 7 yields \(x\leq 3\), so option A is correct. The inequality sign does not reverse because the divisor is positive; option C is incorrect because it excludes \(x=3\), which satisfies the original inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर 2(3x + 4) > 4x + 18 से 6x + 8 > 4x + 18 मिलता है। दोनों पक्षों से 4x और 8 घटाने पर 2x > 10, अतः x > 5। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में x = 5 को भी शामिल किया गया है, लेकिन यह सख्त असमानता है; x = 5 रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, इसलिए x = 5 मान्य नहीं है। परीक्षा-टिप: > या < वाली सख्त असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Expanding the brackets gives 6x + 8 > 4x + 18. Subtracting 4x and 8 from both sides yields 2x > 10, so x > 5. Therefore, option A is correct. Option C incorrectly includes x = 5; substituting x = 5 makes both sides equal, whereas the given inequality is strict. Exam tip: For a strict inequality using > or <, the boundary value is not included.
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर, और 5 के धनात्मक होने के कारण असमानता का चिन्ह नहीं बदलता: \(x+3<10\)। अतः दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(x<7\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि C और D में बराबरी का चिन्ह अनावश्यक रूप से जोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह उलटता है। / Multiplying both sides by 5 does not reverse the inequality because 5 is positive: \(x+3<10\). Subtracting 3 from both sides gives \(x<7\), so option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D add equality, which is not included in the original strict inequality. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर, और क्योंकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(3x+2\geq2x+12\)। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने और 2 घटाने पर \(x\geq10\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न उलटा नहीं जाता। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by 4, which is positive, does not reverse the inequality: \(3x+2\geq2x+12\). Subtracting \(2x\) and then 2 from both sides gives \(x\geq10\), so option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly; the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: Always check the sign of the number used to multiply or divide an inequality.
हरों 3 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर \(2(x-1)+3(x+2)\leq 24\) मिलता है। अतः \(2x-2+3x+6\leq 24\), यानी \(5x+4\leq 24\), इसलिए \(5x\leq 20\) और \(x\leq 4\)। इस कारण सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / The least common multiple of the denominators 3 and 2 is 6. Multiplying both sides by 6 gives \(2(x-1)+3(x+2)\leq 24\). Thus, \(2x-2+3x+6\leq 24\), so \(5x+4\leq 24\), which leads to \(5x\leq 20\) and hence \(x\leq 4\). Therefore, option A is correct. Remember that multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
पहले दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(\frac{2x+5}{3}>5\) मिलता है। 3 से गुणा करने पर \(2x+5>15\), इसलिए \(2x>10\) और \(x>5\)। चूँकि मूल असमानता में \(>\) है, इसलिए 5 शामिल नहीं होगा; अतः \(x\geq 5\) सही नहीं है। परीक्षा में सख्त असमानता के लिए सीमा-बिंदु को शामिल न करना याद रखें। / Adding 1 to both sides gives \(\frac{2x+5}{3}>5\). Multiplying by 3 yields \(2x+5>15\), so \(2x>10\) and hence \(x>5\). Since the original inequality is strict, 5 is not included; therefore, \(x\geq 5\) is not correct. In an exam, remember that a strict inequality excludes its boundary point.
\(16\leq 4x\) से \(4\leq x\) अर्थात \(x\geq 4\) मिलता है। बाईं तरफ से पढ़ते समय क्रम को ठीक रखें। / From \(16\leq 4x\), we get \(4\leq x\), that is \(x\geq 4\). Keep the order correct when reading from the left.
\(2x+7\geq19\) में दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(2x\geq12\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(x\geq6\) प्राप्त होता है। इसलिए 6 हल-समुच्चय में शामिल है और इसे बंद कोष्ठक से लिखते हैं; अंतराल \([6,\infty)\) होगा। विकल्प B में 6 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x>6\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर संबंधित अंतिम बिंदु पर बंद कोष्ठक लगाएँ। / Subtracting 7 from both sides gives \(2x\geq12\), and dividing by 2 gives \(x\geq6\). Since equality is included, 6 belongs to the solution set, so it is written with a closed bracket. The interval is therefore \([6,\infty)\). Option B excludes 6 and represents \(x>6\), not \(x\geq6\). Exam tip: use a closed bracket at an endpoint when the inequality includes equality, such as \(\geq\) or \(\leq\).
पहले 5 घटाने पर -2x\geq 6 मिलता है। दोनों पक्षों को -2 से भाग देने पर असमानता की दिशा बदल जाती है, इसलिए x\leq -3। अतः अंतराल (-\infty,-3] है। -3 शामिल है क्योंकि मूल असमानता में बराबर का चिह्न है; इसलिए खुले सिरे वाला विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Subtracting 5 from both sides gives -2x\geq 6. Dividing by -2 reverses the inequality, so x\leq -3. Therefore, the interval is (-\infty,-3]. The endpoint -3 is included because the original inequality contains equality, so the open-end option C is incorrect. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता से (4x>16) और (x>4) मिलता है। दिए गए विकल्पों में केवल (5) इस शर्त को मानता है। / The inequality gives (4x>16) and (x>4). Among the options, only (5) satisfies this condition.
\(12\leq 3x\) से \(x\geq 4\) मिलता है। दिए गए विकल्पों में (4) सही है क्योंकि बराबरी शामिल है। / From \(12\leq 3x\), we get \(x\geq 4\). Among the options, (4) is correct because equality is included.
A. क्योंकि हल \\(x\leq 4\\) है/Because the solution is \\(x\leq 4\\)
Explanation
Simple Explanation
असमानता को हल करने पर \\(2x-3\leq x+1\\) से \\(x\leq 4\\) प्राप्त होता है। इसलिए \\(x=4\\) हल-समुच्चय में शामिल है। सीधे जाँचने पर दोनों पक्ष 5 मिलते हैं, अर्थात \\(5\leq 5\\), जो सत्य है। \\(\leq\\) चिह्न बराबरी को भी स्वीकार करता है; इसलिए \\(x<4\\) सही हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि असमानता में \\(\leq\\) या \\(\geq\\) हो, तो सीमा-बिंदु को शामिल करें। / Solving \\(2x-3\leq x+1\\) gives \\(x\leq 4\\), so \\(x=4\\) belongs to the solution set. Substituting \\(x=4\\) gives 5 on both sides, so \\(5\leq 5\\) is true. The symbol \\(\leq\\) includes equality, which is why \\(x<4\\) is not the correct solution. Exam tip: Include the boundary value when the inequality sign is \\(\leq\\) or \\(\geq\\).
दोनों तरफ से (6x) घटाने पर (1>-5) मिलता है जो हमेशा सत्य है। इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Subtracting (6x) from both sides gives (1>-5), which is always true. Therefore all real (x) are solutions.
दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(9<2\) प्राप्त होता है, जो सदैव असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए दी गई असमानता सत्य नहीं होगी और इसका हल समुच्चय रिक्त है। विकल्प B तब सही होता जब सरलीकरण के बाद कोई सदैव सत्य कथन मिलता। परीक्षा-टिप: यदि चर के पद कटने के बाद असत्य स्थिर कथन मिले, तो हल ‘कोई नहीं’ होता है। / Subtracting \(4x\) from both sides gives \(9<2\), which is always false. Therefore, no real value of \(x\) can satisfy the inequality, so the solution set is empty. Option B would apply only if simplification produced an always-true statement. Exam tip: when the variable terms cancel and leave a false constant inequality, the answer is no solution.
असमानता \(ax+b<c\) में दोनों पक्षों से \(b\) घटाने पर \(ax<c-b\) मिलता है। अब \(a>0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता और \(x<\frac{c-b}{a}\) प्राप्त होता है। विकल्प B तब बनता जब \(a<0\) होता; C और D में अनावश्यक रूप से बराबरी का चिन्ह है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह उलटता है। / Starting with \(ax+b<c\), subtracting \(b\) from both sides gives \(ax<c-b\). Since \(a>0\), division by \(a\) does not reverse the inequality sign, so \(x<\frac{c-b}{a}\). Option B would be correct only for a negative coefficient \(a\), while C and D incorrectly include equality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
मान लें कि संख्या \(x\) है। उसका 4 गुना \(4x\) होगा और “से कम” का अर्थ \(<\) होता है, इसलिए सही असमानता \(4x<28\) है। विकल्प B में असमानता का अर्थ उलटकर “28 से अधिक” हो जाता है, जबकि C और D में संख्या में 4 जोड़ने या घटाने का अर्थ निकलता है। परीक्षा-युक्ति: “गुना” को गुणन और “से कम” को \(<\) के रूप में लिखें। / Let the number be \(x\). Four times the number is \(4x\), and “less than” is represented by \(<\). Therefore, the correct inequality is \(4x<28\). Option B reverses the meaning to “greater than 28,” while C and D represent adding or subtracting 4 from the number. Exam tip: translate “times” as multiplication and “less than” as \(<\).
‘20 से अधिक नहीं’ का अर्थ 20 से कम या उसके बराबर होता है, इसलिए असमिका \(x+7\leq20\) बनेगी। दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(x\leq13\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में 13 पर समानता की संभावना गलत रूप से हटा दी गई है। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं से अधिक’ या ‘at most’ को \(\leq\) के रूप में लिखें। / ‘Not more than 20’ means less than or equal to 20, so the inequality is \(x+7\leq20\). Subtracting 7 from both sides gives \(x\leq13\). Option B reverses the inequality, while options C and D incorrectly exclude or reverse the equality case at 13. Exam tip: Translate ‘not more than’ or ‘at most’ as \(\leq\).
संख्या को \(x\) मानने पर असमिका \(3x-5\geq 16\) बनती है। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(3x\geq 21\), और 3 से भाग देने पर \(x\geq 7\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में असमिका की दिशा गलत है, जबकि विकल्प C में ‘कम से कम’ के लिए आवश्यक बराबरी का चिन्ह शामिल नहीं है। परीक्षा-टिप: ‘कम से कम’ का अर्थ \(\geq\) और ‘से अधिक’ का अर्थ \(>\) होता है। / Let the number be \(x\). The inequality is \(3x-5\geq 16\). Adding 5 to both sides gives \(3x\geq 21\), and dividing by 3 gives \(x\geq 7\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while option C excludes the value \(x=7\), even though ‘at least’ includes equality. Exam tip: ‘at least’ means \(\geq\), whereas ‘greater than’ means \(>\).
यदि रवि x कॉपियाँ खरीदता है, तो बची हुई राशि \(50-8x\) रुपये होगी। कम से कम 10 रुपये बचाने की शर्त \(50-8x\ge 10\) है, जिससे \(x\le 5\) प्राप्त होता है। इसलिए अधिकतम पूर्णांक संख्या 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि 6 कॉपियों पर 48 रुपये खर्च होंगे और केवल 2 रुपये बचेंगे। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में पहले असमिका बनाकर, फिर पूर्णांक और अधिकतम मान चुनें। / If Ravi buys x notebooks, the amount left is \(50-8x\) rupees. The condition for saving at least 10 rupees is \(50-8x\ge 10\), which gives \(x\le 5\). Therefore, the greatest possible whole number of notebooks is 5. Option 6 is incorrect because buying 6 notebooks costs 48 rupees and leaves only 2 rupees. Exam tip: Form the inequality first, then choose the greatest feasible whole-number value.
असमानता \(x+12\ge 40\) में दोनों पक्षों से 12 घटाने पर \(x\ge 28\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x\) का सबसे छोटा संभव मान 28 है। विकल्प 27 गलत है, क्योंकि \(27+12=39\), जो 40 से कम है और उत्तीर्ण होने की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ का अर्थ \(\ge\) होता है, इसलिए सीमा-बिंदु भी शामिल किया जाता है। / Subtracting 12 from both sides of \(x+12\ge 40\) gives \(x\ge 28\). Therefore, the smallest possible value of \(x\) is 28. Option 27 is incorrect because \(27+12=39\), which is less than 40 and does not satisfy the passing condition. Exam tip: ‘At least’ means \(\ge\), so the boundary value is included.
कोष्ठक खोलने पर 2x + 2 - 3x + 6 < 10 मिलता है, अर्थात् -x + 8 < 10। इसलिए -x < 2 होगा। दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर असमानता की दिशा बदल जाती है और x > -2 प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें; इसलिए x < -2 वाला विकल्प गलत है। / Expanding the brackets gives 2x + 2 - 3x + 6 < 10, so -x + 8 < 10 and hence -x < 2. Multiplying both sides by -1 reverses the inequality sign, giving x > -2. Therefore, option A is correct. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number; this is why x < -2 is incorrect.
पहले कोष्ठक हटाएँ: \(4-(x-3)=4-x+3=7-x\)। अतः \(7-x\geq 2x+1\), जिससे \(6\geq 3x\) और दोनों पक्षों को \(3\) से भाग देने पर \(x\leq 2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि धनात्मक संख्या से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / First remove the bracket: \(4-(x-3)=4-x+3=7-x\). Thus, \(7-x\geq 2x+1\), which gives \(6\geq 3x\). Dividing both sides by the positive number \(3\) yields \(x\leq 2\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality; the sign does not change when dividing by a positive number. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{3x-2x}{6}=\frac{x}{6}\), इसलिए \(\frac{x}{6}>1\)। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर \(x>6\) मिलता है। विकल्प C गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं; अतः 6 स्वयं हल-समुच्चय में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिन्ह उलटता है, लेकिन यहाँ 6 धनात्मक है। / \(\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{3x-2x}{6}=\frac{x}{6}\), so \(\frac{x}{6}>1\). Multiplying both sides by the positive number 6 gives \(x>6\). Option C is incorrect because the original sign is \(>\), not \(\geq\); therefore, 6 itself is not included in the solution set. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 6 is positive.
हर पद से भिन्न हटाने के लिए दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें। चूँकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(3x+10\leq x+30\)। अतः \(2x\leq20\), जिससे \(x\leq10\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि C और D में \(x=10\) को गलत रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Multiply both sides by 5 to clear the denominators. Since 5 is positive, the inequality sign does not change: \(3x+10\leq x+30\). Thus, \(2x\leq20\), giving \(x\leq10\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while C and D wrongly exclude or change the endpoint \(x=10\). Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
क्योंकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता के चिह्न बदले बिना दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें: \(0<x-2\leq 12\)। अब सभी पक्षों में 2 जोड़ने पर \(2<x\leq 14\) प्राप्त होता है। अतः \(x=2\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=14\) शामिल है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Since 3 is positive, multiplying all parts by 3 does not reverse the inequality signs: \(0<x-2\leq 12\). Adding 2 throughout gives \(2<x\leq 14\). Thus, \(x=2\) is excluded, while \(x=14\) is included. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
सभी भागों को (3) से भाग देने पर \(-2\leq x<4\) मिलता है। सकारात्मक भाग से चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing all parts by (3) gives \(-2\leq x<4\). Division by a positive number does not change signs.
असमानता को हल करने पर \(7x-4\geq 3x+20\), इसलिए \(4x\geq 24\) और \(x\geq 6\) मिलता है। अतः सबसे छोटा पूर्णांक हल 6 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x=5\) रखने पर \(31\geq 35\) असत्य होता है। परीक्षा-युक्ति: जब किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, तो असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving the inequality gives \(7x-4\geq 3x+20\), so \(4x\geq 24\) and hence \(x\geq 6\). Therefore, the least integer solution is 6. Option 5 is incorrect because substituting \(x=5\) gives \(31\geq 35\), which is false. Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
कोष्ठक खोलने पर \(5-2(3x-1)=7-6x\), इसलिए \(7-6x\leq 15\) और \(-6x\leq 8\) मिलता है। \(-6\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, अतः \(x\geq -\frac{4}{3}\)। विकल्प B में चिह्न उलटने की प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / Expanding the bracket gives \(5-2(3x-1)=7-6x\), so \(7-6x\leq 15\) and hence \(-6x\leq 8\). Dividing by \(-6\) reverses the inequality sign, giving \(x\geq -\frac{4}{3}\). Option B is incorrect because it fails to reverse the sign. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों हरों 5 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य 10 है और यह धनात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा नहीं बदलेगी। 10 से गुणा करने पर \(2(4x-3)<5(x+6)\), अर्थात् \(8x-6<5x+30\) मिलता है। इससे \(3x<36\), इसलिए \(x<12\)। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The least common multiple of the denominators 5 and 2 is 10, which is positive, so the inequality sign does not change. Multiplying by 10 gives \(2(4x-3)<5(x+6)\), or \(8x-6<5x+30\). Thus, \(3x<36\), and hence \(x<12\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता \(3<2x+1\leq 13\) में सभी पक्षों से 1 घटाने पर \(2<2x\leq 12\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(1<x\leq 6\) प्राप्त होता है। इसलिए पूर्णांक मान \(x=2,3,4,5,6\) हैं, जिनकी कुल संख्या 5 है। ध्यान रखें कि \(x=1\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=6\) शामिल है क्योंकि दायाँ चिह्न \(\leq\) है। / Subtracting 1 from all parts of \(3<2x+1\leq 13\) gives \(2<2x\leq 12\). Dividing by the positive number 2 yields \(1<x\leq 6\). Thus the integer values are \(x=2,3,4,5,6\), giving a total of 5 values. Remember that \(x=1\) is excluded, while \(x=6\) is included because the right-hand inequality uses \(\leq\).
कोष्ठक खोलने पर \(9-4x-8>x-14\), अर्थात् \(1-4x>x-14\) मिलता है। दोनों पक्षों को सरल करने पर \(15>5x\) और इसलिए \(x<3\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=3\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न उलटता है। / Expanding the bracket gives \(9-4x-8>x-14\), or \(1-4x>x-14\). Simplifying further yields \(15>5x\), so \(x<3\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=3\) is not included. Exam tip: the inequality sign reverses when both sides are divided or multiplied by a negative number, but not when divided by the positive number 5.
कथन का गणितीय रूप \(2x-9\ge -1\) है, क्योंकि “कम नहीं” का अर्थ “से बड़ा या बराबर” होता है। अतः \(2x\ge 8\), इसलिए \(x\ge 4\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x>4\) में \(x=4\) शामिल नहीं होता, जबकि \(x=4\) मूल असमिका को संतुष्ट करता है। परीक्षा-युक्ति: असमिका में धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता। / The statement translates to \(2x-9\ge -1\), because “not less than” means “greater than or equal to.” Thus, \(2x\ge 8\), giving \(x\ge 4\). Option C is incorrect because \(x>4\) excludes \(x=4\), whereas \(x=4\) satisfies the original inequality. Exam tip: when dividing an inequality by a positive number, its sign remains unchanged.
सभी भागों को (2) से गुणा करने पर \(-6\leq x+4<10\) मिलता है। फिर (4) घटाकर \(-10\leq x<6\) मिलता है। / Multiplying all parts by (2) gives \(-6\leq x+4<10\). Subtracting (4) gives \(-10\leq x<6\).
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2x-10+3=2x-7\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3x-12-7=3x-19\) मिलता है। अतः \(2x-7\geq 3x-19\)। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(-7\geq x-19\), और 19 जोड़ने पर \(12\geq x\), अर्थात \(x\leq 12\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट जाती है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Simplifying the left side gives \(2x-10+3=2x-7\), and simplifying the right side gives \(3x-12-7=3x-19\). Thus, \(2x-7\geq 3x-19\). Subtracting \(2x\) from both sides gives \(-7\geq x-19\); adding 19 gives \(12\geq x\), or \(x\leq 12\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the direction incorrectly. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
