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\(R=\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}\), इसलिए संख्या (4) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों में क्रम का ध्यान रखें। / \(R=\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}\), so the count is (4). In exams, remember that order matters in ordered pairs.
प्रतिवर्ती होने से (5) विकर्ण युग्म निश्चित हो जाते हैं और सममितता में बाकी युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(2^{\frac{5(5-1)}{2}}=2^{10}\) है। / Reflexivity fixes the (5) diagonal pairs, and symmetry lets the remaining pairs be chosen in unordered pairs. Therefore the number is \(2^{\frac{5(5-1)}{2}}=2^{10}\).
A. प्रतिवर्ती है पर सममित नहीं/Reflexive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
सभी ((a,a)) मौजूद हैं, इसलिए (R) प्रतिवर्ती है। ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / All ((a,a)) pairs are present, so (R) is reflexive. Since ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, it is not symmetric.
हर \(a\in A\) के लिए \(a\le a\), इसलिए प्रतिवर्ती है। यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रमी है। / For every \(a\in A\), \(a\le a\), so it is reflexive. If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
हर उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए (R) सममित है। लेकिन ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Every reverse pair is present, so (R) is symmetric. But ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
\(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म (R) में हैं, इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है। इसे पूर्ण संबंध भी कहा जाता है। / All ordered pairs of \(A\times A\) are in (R), so it is the universal relation. It is also called the full relation.
(R) में कोई क्रमित युग्म नहीं है, इसलिए यह रिक्त संबंध है। गैर-रिक्त (A) पर यह प्रतिवर्ती नहीं होगा। / There is no ordered pair in (R), so it is an empty relation. On non-empty (A), it is not reflexive.
समान parity वाले अवयव जुड़े हैं, इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमी तीनों गुण मिलते हैं। अतः (R) समतुल्य संबंध है। / Elements with the same parity are related, so reflexive, symmetric, and transitive properties all hold. Hence (R) is an equivalence relation.
किसी संबंध का domain उसके सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम घटक 1, 2, 2 और 3 हैं; दोहराए गए 2 को एक ही बार लिखने पर domain \(\{1,2,3\}\) मिलता है। विकल्प A range है, जबकि विकल्प C और D domain के सभी प्रथम घटकों को सही रूप से नहीं दर्शाते। परीक्षा-युक्ति: domain के लिए प्रत्येक युग्म का पहला घटक और range के लिए दूसरा घटक लें। / The domain of a relation is the set of all first components of its ordered pairs. Here the first components are 1, 2, 2 and 3; removing the repeated 2 gives \(\{1,2,3\}\). Option A is the range, while options C and D do not correctly include all first components. Exam tip: use the first coordinate for the domain and the second coordinate for the range.
A. प्रतिवर्ती और संक्रमी पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
हर \(a\mid a\), इसलिए प्रतिवर्ती है, और भाग्यता संक्रमी होती है। लेकिन \(1\mid2\) पर \(2\nmid1\), इसलिए सममित नहीं है। / Every \(a\mid a\), so it is reflexive, and divisibility is transitive. But \(1\mid2\) while \(2\nmid1\), so it is not symmetric.
(A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है और \(|A\times A|=9\)। इसलिए कुल संबंध \(2^9\) हैं। / A relation on (A) is a subset of \(A\times A\), and \(|A\times A|=9\). Hence total relations are \(2^9\).
प्रतिवर्ती संबंध में (4) diagonal युग्म निश्चित होते हैं। बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / In a reflexive relation, (4) diagonal pairs are fixed. The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1), इसलिए सममित है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमी नहीं है। / If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) hold while ((1,3)) does not, so it is not transitive.
प्रतिलोम में क्रम बदलता है, इसलिए मूल शर्त (a-b=3) नई शर्त (y-x=3) बनती है। चर बदलते समय संबंध की दिशा न भूलें। / In the inverse, order is reversed, so the original condition (a-b=3) becomes (y-x=3). Do not forget the direction when variables are swapped.
B. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। लेकिन (a+a=2a) सम है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a=2a) is even, so it is not reflexive.
(5) अवयवों में (a<b) वाले युग्मों की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। ऐसे प्रश्नों में unordered जोड़ी को सही ordered दिशा में गिनें। / For (5) elements, the number of pairs with (a<b) is \(\binom{5}{2}=10\). In such questions, count each unordered pair in the correct ordered direction.
\(x^2=x^2\), \(x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2\), और बराबरी की शर्त संक्रमी है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है। / \(x^2=x^2\), \(x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2\), and equality is transitive. Hence it is an equivalence relation.
प्रतिवर्ती होने के लिए सभी diagonal युग्म अनिवार्य हैं। न्यूनतम संबंध में केवल वही युग्म रखे जाते हैं। / For reflexivity, all diagonal pairs are compulsory. The smallest relation keeps only those required pairs.
तीनों domain अवयवों को किसी न किसी युग्म में आना होगा, इसलिए कम से कम (3) युग्म चाहिए। range के (2) अवयव इन्हीं (3) युग्मों में कवर किए जा सकते हैं। / All three domain elements must appear in some pair, so at least (3) pairs are needed. The (2) range elements can be covered within these (3) pairs.
(\operatorname{lcm}(2,3)=6), इसलिए \((2,3)\in R\) है। बाकी विकल्पों में \(\operatorname{lcm}\) (6) नहीं मिलता। / (\operatorname{lcm}(2,3)=6), so \((2,3)\in R\). In the other options, the \(\operatorname{lcm}\) is not (6).
A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए यह सममित है। लेकिन (\gcd(2,2)=2\ne1), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so it is symmetric. But (\gcd(2,2)=2\ne1), so it is not reflexive.
क्योंकि \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), transitivity के लिए ((1,3)) चाहिए। यह missing है, इसलिए (R) संक्रमी नहीं है। / Since \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), transitivity requires ((1,3)). It is missing, so (R) is not transitive.
जब केवल (a=b) वाले युग्म हों, तो संबंध पहचान संबंध होता है। इसे \(I_A\) से दर्शाते हैं। / When only pairs with (a=b) are present, the relation is the identity relation. It is denoted by \(I_A\).
समुच्चय \(A\) के अवयवों से बनने वाले क्रमित युग्मों में समीकरण \(a^2+b^2=25\) की जाँच करें। \(3^2+4^2=9+16=25\) और \(4^2+3^2=16+9=25\), इसलिए \((3,4)\) तथा \((4,3)\) संबंध \(R\) में हैं। अन्य किसी युग्म के लिए यह समीकरण संतुष्ट नहीं होता। अतः \(R\) में कुल \(2\) क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंधों में \((a,b)\) और \((b,a)\) को अलग-अलग क्रमित युग्म माना जाता है, जब तक कि दोनों समान न हों। / Check the ordered pairs formed from elements of \(A\) against \(a^2+b^2=25\). Since \(3^2+4^2=9+16=25\) and \(4^2+3^2=16+9=25\), the pairs \((3,4)\) and \((4,3)\) belong to \(R\). No other pair from \(A\times A\) satisfies the equation. Hence, \(R\) contains \(2\) ordered pairs. Exam tip: In a relation, \((a,b)\) and \((b,a)\) are counted separately because order matters, unless the two entries are equal.
B. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\), इसलिए सममित है। लेकिन ((a,a)) कभी नहीं आता, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If \(a\ne b\), then \(b\ne a\), so it is symmetric. But ((a,a)) never occurs, so it is not reflexive.
योग सम होने का मतलब दोनों संख्याएं समान parity की हैं। इसलिए classes विषम ({1,3}) और सम ({2,4}) हैं। / An even sum means both numbers have the same parity. Thus the classes are odd ({1,3}) and even ({2,4}).
संक्रमिता का नियम है: यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=6\) रखने पर \((1,6)\in R\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A और B क्रमित युग्मों का क्रम उलट देते हैं, जबकि विकल्प D के लिए कोई आवश्यक आधार नहीं दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: संक्रमणिता में पहले युग्म का पहला अवयव और दूसरे युग्म का दूसरा अवयव लेकर नया युग्म बनाइए। / Transitivity states that if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\). Substituting \(a=1\), \(b=4\), and \(c=6\) gives \((1,6)\in R\), so option C is correct. Options A and B reverse the direction of the given ordered pairs, while option D is not required by transitivity. Exam tip: in a transitive chain, match the second element of the first pair with the first element of the second pair, then join the remaining outer elements.
A के अवयवों में a+b=7 को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म केवल (3,4) और (4,3) हैं। अतः range, अर्थात् क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय, {3,4} है। विकल्प A में सभी अवयव लेने की गलती की गई है; उदाहरण के लिए 2 के साथ 5 चाहिए, लेकिन 5∉A। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध का range क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों से बनता है। / The only ordered pairs from A satisfying a+b=7 are (3,4) and (4,3). Therefore, the range—the set of second components of the ordered pairs—is {3,4}. Option A incorrectly includes every element of A; for instance, pairing 2 would require 5, but 5∉A. Exam tip: the range of a relation is formed from the second coordinates of its ordered pairs.
A. संक्रमी है पर प्रतिवर्ती नहीं/Transitive but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) से जरूरी ((1,3)) मौजूद है, इसलिए transitivity की मुख्य शर्त पूरी है। diagonal युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / The required ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)) is present, so the key transitivity condition holds. Diagonal pairs are absent, so it is not reflexive.
(b=1) पर (a=2) और (b=2) पर (a=4) मिलता है। इसलिए युग्म ((2,1),(4,2)) हैं और संख्या (2) है। / For (b=1), (a=2), and for (b=2), (a=4). Thus the pairs are ((2,1),(4,2)), so the count is (2).
\(a+b=2a\Rightarrow b=a\), इसलिए यह पहचान संबंध बनता है। समीकरण को सरल करके relation पहचानें। / \(a+b=2a\Rightarrow b=a\), so it becomes the identity relation. Simplify the equation to identify the relation.
सममितता से \((3,4)\notin R\) होने पर \((4,3)\notin R\) निष्कर्ष निकलता है। लेकिन diagonal युग्मों की उपस्थिति सममितता से निश्चित नहीं होती। / Symmetry lets us infer \((4,3)\notin R\) from \((3,4)\notin R\). But the presence of diagonal pairs is not guaranteed by symmetry.
((1,1)) के लिए (1+1=2) prime है, इसलिए यह (R) में है। लेकिन विकल्पों में वास्तव में कोई युग्म बाहर नहीं है, इसलिए यह प्रश्न जाल है। / For ((1,1)), (1+1=2) is prime, so it is in (R). However, all listed pairs are actually in (R), so this is a trap question.
मान लें कि समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) है और संबंध \(R\), \(A\) के अवयवों के क्रमित युग्मों पर इस प्रकार परिभाषित है कि \((a,b)\in R\) तब और केवल तब जब \(a+b\) अभाज्य हो। निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमित युग्म \(R\) में है?
किसी युग्म \((a,b)\) के \(R\) में होने के लिए \(a+b\) अभाज्य होना चाहिए। विकल्प D में \(3+4=7\), और 7 अभाज्य संख्या है; इसलिए \((3,4)\in R\)। अन्य विकल्पों के योग क्रमशः 4, 8 और 6 हैं, जो अभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक युग्म के अवयवों का योग निकालकर केवल यह जाँचें कि वह अभाज्य है या नहीं। / For an ordered pair \((a,b)\) to belong to \(R\), the sum \(a+b\) must be prime. In option D, \(3+4=7\), and 7 is prime; hence \((3,4)\in R\). The sums for the other options are 4, 8, and 6, none of which is prime. Exam tip: calculate the sum of the two entries and then test whether the sum is prime.
यदि (a+b=6), तो (b+a=6), इसलिए संबंध सममित है। लेकिन सभी ((a,a)) मौजूद नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (a+b=6), then (b+a=6), so the relation is symmetric. But all ((a,a)) are not present, so it is not reflexive.
((1,2)) और ((2,3)) से transitivity के लिए ((1,3)) चाहिए। सममितता के लिए ((3,1)) भी चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)). Symmetry then also requires ((3,1)).
(1R4) और (4R1), इसलिए \((1,1)\in R\circ R\) है। composition में बीच वाला अवयव समान होना चाहिए। / Since (1R4) and (4R1), \((1,1)\in R\circ R\). In composition, the middle element must match.
यह संबंध हर (a) को (5-a) से जोड़ता है, और दो बार लगाने पर (a) फिर (a) पर लौटता है। इसलिए \(R\circ R=I_A\) है। / This relation sends each (a) to (5-a), and applying it twice returns (a) to itself. Therefore \(R\circ R=I_A\).
