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हर नाश्ते के साथ 4 में से कोई भी एक पेय चुना जा सकता है। इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(5 \times 4 = 20\) हैं। विकल्प 9 जोड़ने से मिलता है, जो स्वतंत्र चुनावों के लिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: जब एक के बाद एक स्वतंत्र चुनाव किए जाएँ, तो उनके तरीकों को गुणा करें। / For each of the 5 snacks, any one of the 4 drinks can be selected. By the multiplication principle, the total number of ways is \(5 \times 4 = 20\). The value 9 results from addition, which is not appropriate for two successive independent choices. Exam tip: multiply the numbers of choices for independent selections made together.
एक ऑनलाइन फॉर्म में कक्षा चुनने के लिए 4 विकल्प, सेक्शन चुनने के लिए 3 विकल्प और विषय चुनने के लिए 5 विकल्प हैं। एक कक्षा, एक सेक्शन और एक विषय का पूरा चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?
गुणन सिद्धांत के अनुसार, स्वतंत्र चरणों में किए गए चयन के कुल तरीके विकल्पों की संख्याओं के गुणनफल के बराबर होते हैं। इसलिए कुल तरीके \\(4 \\times 3 \\times 5 = 60\\) हैं। 45 केवल 3 और 5 को गुणा करने पर मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में अलग-अलग चरणों के विकल्प दिए हों और हर चरण में एक चयन करना हो, तो उनकी संख्याओं को गुणा करें। / By the multiplication principle, when choices are made in successive independent stages, the total number of selections is the product of the choices at each stage. Thus, the total is \\(4 \\times 3 \\times 5 = 60\\). The value 45 results from multiplying only 3 and 5, so it omits the class choice. In exams, multiply the numbers of choices for all successive selections.
तीन स्थानों के विकल्प (5,4,3) हैं इसलिए \(5\times4\times3=60\)। स्थान भरते समय बचे हुए विकल्प देखें। / The choices for three places are (5,4,3), so \(5\times4\times3=60\). While filling positions, track remaining choices.
तीन स्थानों के लिए (6,5,4) विकल्प हैं इसलिए \(6\times5\times4=120\)। बिना पुनरावृत्ति चुना हुआ अक्षर फिर उपलब्ध नहीं रहता। / For three positions, choices are (6,5,4), so \(6\times5\times4=120\). Without repetition, a chosen letter is no longer available.
(5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!) होती है। परीक्षा में अलग-अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (5) distinct objects is (5!). In exams, use factorial for distinct objects.
यहाँ पद अलग हैं इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है और उत्तर \({}^{6}P_{3}=120\) है। परीक्षा में पद अलग हों तो permutation लें। / Here the posts are different, so order matters and the answer is \({}^{6}P_{3}=120\). In exams, use permutation when posts are distinct.
(CAT) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) शब्द बनेंगे। छोटे शब्दों में सभी अक्षरों की व्यवस्था सीधे factorial से करें। / The word (CAT) has (3) distinct letters, so (3!=6) words are possible. For small words, arrange all letters using factorial.
(4) अलग झंडों की व्यवस्था (4!=24) होती है। सीधी रेखा में लगाना linear permutation है। / The arrangement of (4) distinct flags is (4!=24). Placing in a straight line is a linear permutation.
5 पुस्तकों को शेल्फ पर सजाने में उनकी स्थिति बदलने से व्यवस्था बदल जाती है, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है और यह क्रमचय है। समिति या टीम चुनने में क्रम नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: क्रम महत्वपूर्ण हो तो permutation पहचानें। / When arranging 5 books on a shelf, changing their positions gives a different arrangement, so order matters; this is a permutation. In selecting a committee or team, order is irrelevant. Exam tip: identify a permutation whenever order matters.
कप्तान और उपकप्तान अलग पद हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\) होगा। जब जिम्मेदारी अलग हो तो क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / Captain and vice-captain are distinct posts, so \({}^{8}P_{2}=56\). When roles differ, order matters.
तीनों अलग अंकों की व्यवस्था (3!=6) है। बिना पुनरावृत्ति में हर स्थान के विकल्प घटते हैं। / The arrangement of three distinct digits is (3!=6). Without repetition, choices decrease place by place.
(5) लोगों को (5) स्थानों पर बैठाने के तरीके (5!=120) हैं। seating in a row में factorial याद रखें। / The number of ways to seat (5) people in (5) places is (5!=120). Remember factorial for seating in a row.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{5}P_{1}=5\)। एक वस्तु चुनकर व्यवस्थित करने में (n) तरीके होते हैं। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{5}P_{1}=5\). Choosing and arranging one object gives (n) ways.
(DOG) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) व्यवस्थाएँ हैं। अक्षर अलग हों तो सीधे factorial प्रयोग करें। / The word (DOG) has (3) distinct letters, so there are (3!=6) arrangements. Use factorial when letters are distinct.
उत्तर \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\) है। पहले स्थान के बाद दूसरा विकल्प एक कम हो जाता है। / The answer is \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\). After the first place, the second choice decreases by one.
प्रथम और द्वितीय स्थान क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{7}P_{2}=42\) होगा। रैंकिंग में permutation लगता है। / First and second places are ordered, so \({}^{7}P_{2}=42\). Ranking questions use permutation.
क्रम महत्त्वपूर्ण होने पर क्रमचय लगाया जाता है। यहाँ 8 में से 3 पुस्तकों को चुनकर सजाना है, इसलिए \({}^{8}P_{3}=\frac{8!}{5!}\) होगा। \({}^{8}C_{3}\) केवल चयन बताता है, क्रम नहीं। परीक्षा में “क्रम से” शब्द देखें। / Use permutations when order matters. Here, 3 books are selected and arranged from 8, so the expression is \({}^{8}P_{3}=\frac{8!}{5!}\). \({}^{8}C_{3}\) counts selection only, not arrangement. Exam tip: look for words such as “arrange” or “order.”
पुरस्कार अलग हैं और विद्यार्थी दोहराए नहीं जा सकते इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। अलग पुरस्कारों के वितरण में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The prizes are distinct and students cannot repeat, so \({}^{5}P_{3}=60\). Distribution of distinct prizes makes order important.
(MATH) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी अलग अक्षरों की पूरी व्यवस्था factorial से मिलती है। / The word (MATH) has (4) distinct letters, so (4!=24). Full arrangement of distinct letters is found by factorial.
\({}^{n}P_{0}=1\) होता है क्योंकि कोई वस्तु न चुनने का एक तरीका होता है। यह standard result याद रखें। / \({}^{n}P_{0}=1\) because there is one way to choose nothing. Remember this standard result.
दो विशेष सीटों पर क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{4}P_{2}=12\)। सीटें अलग हों तो permutation लें। / Order matters on two special seats, so \({}^{4}P_{2}=12\). If seats are distinct, use permutation.
उत्तर \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) है। चुनना और क्रम में रखना permutation है। / The answer is \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\). Choosing and arranging in order is permutation.
एक स्थान के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए उत्तर (5) है। (1)-स्थान वाली व्यवस्था में उपलब्ध विकल्प ही उत्तर होते हैं। / There are (5) choices for one place, so the answer is (5). For a one-place arrangement, available choices are the answer.
यह क्रमचय का प्रश्न है, क्योंकि पेन रखने का क्रम महत्वपूर्ण है। अतः आवश्यक तरीके \({}^{7}P_{4}=\frac{7!}{(7-4)!}=7\times6\times5\times4=840\) हैं। 210 प्राप्त होता है यदि क्रम को अनदेखा करके संयोजन लिया जाए, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब चयन के साथ क्रम/स्थिति भी दी हो, तो \({}^{n}P_r\) का प्रयोग करें। / This is a permutation because the order in which the pens are placed matters. Therefore, the number of arrangements is \({}^{7}P_{4}=\frac{7!}{(7-4)!}=7\times6\times5\times4=840\). The value 210 would result from an incorrect calculation and is not the required permutation. Exam tip: Use \({}^{n}P_r\) when both selection and order/position matter.
(SUN) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6)। छोटे शब्दों में अक्षर गिनकर factorial लगाएं। / The word (SUN) has (3) distinct letters, so (3!=6). Count the letters and apply factorial for small words.
क्रमचय का सूत्र
\(^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \(^{10}P_1=\frac{10!}{9!}=10\)। इसलिए सही विकल्प 10 है। 100, \(10\times10\) हो सकता है, लेकिन एक वस्तु चुनकर व्यवस्थित करने के लिए केवल 10 विकल्प होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(^{n}P_1=n\) सीधे याद रखें। / The permutation formula is \(^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \(^{10}P_1=\frac{10!}{9!}=10\). Hence, 10 is the correct option. Although 100 is \(10\times10\), arranging just one item gives only 10 possible choices. Exam tip: remember directly that \(^{n}P_1=n\).
पहले स्थान के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए \(6\times5=30\)। स्थान अलग-अलग हों तो क्रम गिनें। / There are (6) choices for the first position and (5) for the second, so \(6\times5=30\). Count order when positions are distinct.
A. पाँच अलग-अलग पुस्तकों में से तीन पुस्तकों को एक पंक्ति में सजाना/Arranging three books in a row from five distinct books
Explanation
Simple Explanation
पुस्तकों को पंक्ति में सजाने पर ABC और BAC अलग-अलग व्यवस्थाएँ हैं, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है और यह क्रमचय है। समिति चुनने में केवल सदस्य महत्वपूर्ण होते हैं। परीक्षा टिप: क्रम बदले तो क्रमचय पहचानें। / While arranging books, ABC and BAC are different arrangements, so order matters and it is a permutation. In a committee, only the members matter, not their order. Exam tip: if changing order changes the outcome, use permutation.
यह \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) है। कार्डों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / This is \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\). Changing the order of cards changes the arrangement.
दो समान (O) होने से व्यवस्थाएँ \(\frac{4!}{2!}=12\) होंगी। समान वस्तुओं के लिए factorial से भाग दें। / Because two (O)'s are identical, arrangements are \(\frac{4!}{2!}=12\). For identical objects, divide by their factorial.
4 लोगों में से 3 को पंक्ति में खड़ा करने में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए क्रमचय लगेगा: \({}^{4}P_{3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4\times3\times2=24\)। अतः सही उत्तर 24 है। 16 केवल चयन और व्यवस्था की सही गणना नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: जब ‘पंक्ति में’ या ‘क्रम’ दिया हो, तो सामान्यतः क्रमचय का प्रयोग करें। / The order matters when 3 people are placed in a row, so we use permutations: \({}^{4}P_{3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4\times3\times2=24\). Hence, the correct answer is 24. The value 16 does not represent the correct selection-and-arrangement count. Exam tip: Words such as “in a row” or “arrange” usually indicate a permutation.
(6) अलग गेंदों की व्यवस्था (6!=720) है। सभी वस्तुएँ अलग हों तो कुल व्यवस्था factorial होती है। / The arrangement of (6) distinct balls is (6!=720). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (2) विकल्प और इकाई पर (2) विकल्प हैं, कुल (4)। संख्या बनाते समय पहले स्थान पर (0) की जाँच करें। / Zero cannot be in the tens place, so there are (2) choices for tens and (2) for units, total (4). In number formation, check zero in the first place.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\)\, है। अतः \,\({}^{8}P_0=\frac{8!}{(8-0)!}=\frac{8!}{8!}=1\)। शून्य वस्तुओं को चुनकर व्यवस्थित करने का केवल एक तरीका माना जाता है—कोई वस्तु न चुनना। विकल्प 0 वस्तुओं की संख्या है, क्रमचयों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: \,\({}^{n}P_0=1\)\, और \,\({}^{n}P_n=n!\)\, को सीधे याद रखें। / The permutation formula is \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \({}^{8}P_0=\frac{8!}{(8-0)!}=\frac{8!}{8!}=1\). There is exactly one way to arrange zero selected objects: choose nothing. Option 0 represents the number of objects selected, not the number of permutations. Exam tip: remember directly that \({}^{n}P_0=1\) and \({}^{n}P_n=n!\).
(3) अलग सिक्कों की व्यवस्था (3!=6) है। अलग objects की पूरी arrangement factorial से करें। / The arrangement of (3) distinct coins is (3!=6). Use factorial for full arrangement of distinct objects.
दो अलग पद हैं इसलिए \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\)। अलग designation में order महत्त्वपूर्ण होता है। / There are two distinct posts, so \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\). Order matters for different designations.
(RAVI) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी distinct letters हों तो factorial लगाएं। / The word (RAVI) has (4) distinct letters, so (4!=24). Apply factorial when all letters are distinct.
पहले पीरियड के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए (30)। timetable order में permutation लगता है। / There are (6) choices for the first period and (5) for the second, so (30). Timetable order uses permutation.
क्रमचय का सूत्र \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{4}P_4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{24}{0!}=24\), क्योंकि \(0!=1\)। इसलिए 24 सही उत्तर है। 16 जैसे विकल्प क्रमचय सूत्र के सही प्रयोग से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: जब \(r=n\) हो, तो सीधे \({}^{n}P_n=n!\) लिखें। / The permutation formula is \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Thus, \({}^{4}P_4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{24}{0!}=24\), since \(0!=1\). Therefore, 24 is the correct answer. A value such as 16 does not result from applying the permutation formula correctly. Exam tip: when \(r=n\), use \({}^{n}P_n=n!\) directly.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगले स्थान पर विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, choices decrease at each next place.
शेल्फ पर फाइलों का क्रम महत्त्वपूर्ण है, इसलिए क्रमचय का प्रयोग होगा। 7 फाइलों में से 3 फाइलों को क्रम में रखने के तरीके \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\) हैं। 35 केवल \({}^{7}C_{3}\) है, जिसमें फाइलों के क्रम को नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: जब चयनित वस्तुओं की स्थिति या क्रम बदलने पर नई व्यवस्था बने, तो \(nP_r\) लगाएँ। / The order of files on a shelf matters, so use permutations. The number of ways is \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). The value 35 is \({}^{7}C_{3}\), which counts selections only and ignores order. Exam tip: use \(nP_r\) when changing the positions or order creates a new arrangement.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों के factorial से भाग देना न भूलें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not forget to divide by factorials of identical letters.
तीन rank क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। rank वाले प्रश्नों में combination नहीं, permutation लें। / The three ranks are ordered, so \({}^{5}P_{3}=60\). In rank questions, use permutation, not combination.
(3) अलग खिलौनों की arrangements (3!=6) हैं। सभी objects अलग हों तो total arrangements factorial होती हैं। / The arrangements of (3) distinct toys are (3!=6). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
उत्तर \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\) है। मंच पर बायाँ-दायाँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Left-right order on a stage is important.
स्वर्ण पदक के लिए 6, रजत के लिए शेष 5 और कांस्य के लिए शेष 4 विकल्प हैं। अतः कुल तरीके \(6\times5\times4=120\) हैं। \(\binom{6}{3}=20\) गलत है क्योंकि यहाँ पदकों का क्रम महत्त्वपूर्ण है। परीक्षा में पद या स्थान अलग हों तो क्रम अवश्य गिनें। / There are 6 choices for gold, then 5 for silver and 4 for bronze. Thus, the total is \(6\times5\times4=120\). \(\binom{6}{3}=20\) is incorrect because medal order matters. Exam tip: use permutations when positions or ranks are distinct.
सीधी सूची में (5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!=120) है। यहाँ circular counting नहीं करनी है। / In a straight list, the arrangement of (5) distinct objects is (5!=120). Do not use circular counting here.
चारों चित्र अलग-अलग हैं और उन्हें बाएँ से दाएँ एक पंक्ति में लगाया जा रहा है, इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है। अतः व्यवस्थाओं की संख्या \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) होगी। \(16\) जैसे विकल्प क्रमचय का सही मान नहीं देते। परीक्षा टिप: अलग-अलग वस्तुओं को पंक्ति में सजाने के लिए सामान्यतः \(n!\) का प्रयोग करें। / The four pictures are distinct and are arranged in a left-to-right row, so order matters. Hence, the number of arrangements is \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). A value such as \(16\) is not the correct permutation count. Exam tip: for arranging \(n\) distinct objects in a row, use \(n!\).
(5) अक्षरों से (2) ordered positions के लिए \({}^{5}P_{2}=20\)। ordered pairs में ((P,Q)) और ((Q,P)) अलग होते हैं। / For (2) ordered positions from (5) letters, \({}^{5}P_{2}=20\). In ordered pairs, ((P,Q)) and ((Q,P)) are different.
कुल अक्षर (4) हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!}=12\)। repeated letters में denominator लगाएं। / There are (4) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{4!}{2!}=12\). Use a denominator for repeated letters.
C. 3 विद्यार्थियों को अध्यक्ष, सचिव और कोषाध्यक्ष के पदों पर नियुक्त करना/Appointing 3 students as president, secretary, and treasurer
Explanation
Simple Explanation
क्रमचय तब प्रयुक्त होता है जब चयन में क्रम या पद महत्वपूर्ण हों। अध्यक्ष, सचिव और कोषाध्यक्ष अलग पद हैं; अतः उन्हीं 3 विद्यार्थियों की अदला-बदली अलग व्यवस्था बनाएगी। टीम या वस्तुओं के केवल चयन में संयोजन लगता है। परीक्षा टिप: पद दिखें तो क्रमचय सोचें। / Permutations apply when order or roles matter. President, secretary, and treasurer are distinct posts, so interchanging the same 3 students gives a different arrangement. Mere team or object selection uses combinations. Exam tip: named positions usually indicate permutations.
उत्तर \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\) है। चुनी गई पुस्तकों का क्रम बदलने से तरीका बदलता है। / The answer is \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Changing the order of selected books changes the way.
शेल्फ पर रखने में कवरों का क्रम महत्त्वपूर्ण है, इसलिए क्रमचय का प्रयोग होगा। पहले स्थान के लिए 6, दूसरे के लिए 5 और तीसरे के लिए 4 विकल्प हैं। अतः कुल तरीके \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\) हैं। विकल्प 60 संयोजन \({}^{6}C_{3}\) का मान है, जिसमें क्रम को नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: जब वस्तुओं को पंक्ति, शेल्फ या स्थानों पर क्रम से रखना हो, तो क्रमचय लगाएँ। / Since the order of covers on the shelf matters, use permutations. There are 6 choices for the first position, 5 for the second, and 4 for the third. Thus, the total number of arrangements is \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\). The value 60 is \({}^{6}C_{3}\), which applies when order does not matter. Exam tip: Use permutations for ordered placements in a row or on a shelf.
पहले स्थान के लिए (4) और दूसरे के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए \(4\times3=12\)। पासवर्ड में स्थान बदलने से arrangement बदलती है। / There are (4) choices for the first place and (3) for the second, so \(4\times3=12\). In passwords, changing positions changes the arrangement.
(7) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (7!=5040) होती है। सभी वस्तुएँ अलग हों तो factorial लगाएं। / The arrangement of (7) distinct objects is (7!=5040). Use factorial when all objects are distinct.
स्थान क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\)। रैंकिंग में क्रमचय का प्रयोग करें। / The positions are ordered, so \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\). Use permutation in ranking questions.
(LAMP) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। अलग अक्षरों की पूरी व्यवस्था factorial से मिलती है। / The word (LAMP) has (4) distinct letters, so (4!=24). Full arrangement of distinct letters is found by factorial.
दहाई के लिए (4) और इकाई के लिए (3) विकल्प हैं इसलिए \(4\times3=12\)। स्थान बदलने से संख्या बदलती है। / There are (4) choices for tens and (3) for units, so \(4\times3=12\). Changing places changes the number.
क्रम महत्त्वपूर्ण होने पर वही वस्तुएँ अलग क्रम में अलग व्यवस्थाएँ बनाती हैं, इसलिए क्रमचय \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) होता है। विकल्प B में क्रम नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: ‘order matters’ दिखे तो permutation चुनें। / When order matters, the same selected objects in different orders form different arrangements, so \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Option B is for combinations, where order is ignored. Exam tip: choose permutation whenever order matters.
पहले स्थान के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए (30)। अलग स्थानों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / There are (6) choices for the first position and (5) for the second, so (30). Order matters in distinct positions.
(P) दो बार है इसलिए व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!}=60\) होंगी। समान अक्षरों के factorial से भाग दें। / Since (P) occurs twice, arrangements are \(\frac{5!}{2!}=60\). Divide by the factorial of repeated letters.
कुर्सियाँ अलग हैं इसलिए \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\)। सीटों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / The chairs are distinct, so \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\). Changing seats changes the arrangement.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{6}P_{6}=\frac{6!}{(6-6)!}=\frac{6!}{0!}=6!=720\), क्योंकि \,\(0!=1\)। विकल्प 120, \,\(5!\) का मान है, इसलिए यह सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब \,\(r=n\) हो, तब सीधे \,\({}^{n}P_n=n!\) लिखें। / The permutation formula is \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \({}^{6}P_{6}=\frac{6!}{(6-6)!}=\frac{6!}{0!}=6!=720\), since \(0!=1\). The option 120 is the value of \(5!\), so it is not correct. Exam tip: when \(r=n\), use \({}^{n}P_n=n!\) directly.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता, इसलिए \(3\times3=9\) संख्याएँ बनेंगी। संख्या बनाते समय पहले स्थान की शर्त देखें। / Zero cannot be in the tens place, so \(3\times3=9\) numbers are possible. Check the first-place condition in number formation.
(4) अलग फूल (4) अलग स्थानों पर (4!=24) तरीकों से रखे जा सकते हैं। एक-एक वस्तु रखने में व्यवस्था गिनी जाती है। / (4) distinct flowers can be placed in (4) distinct positions in (4!=24) ways. Placing one each counts arrangements.
तीनों स्थान अलग हैं इसलिए \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\)। स्थानों के नाम अलग हों तो क्रमचय लें। / The three positions are distinct, so \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Use permutation when positions have different names.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed position को पहले अलग करें। / The first position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Separate fixed positions first.
तीन पद अलग हैं इसलिए \({}^{10}P_{3}=10\times9\times8=720\)। अलग पदों में order महत्त्वपूर्ण होता है। / The three posts are distinct, so \({}^{10}P_{3}=10\times9\times8=720\). Order matters for different posts.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3\times3=9\)। पुनरावृत्ति हो तो विकल्प कम नहीं होते। / There are (3) choices for each place, so \(3\times3=9\). With repetition, choices do not decrease.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (4) बैग (4!=24) तरीकों से लगेंगे। fixed item के बाद बचे items की व्यवस्था करें। / The first position is fixed and the remaining (4) bags can be arranged in (4!=24) ways. Arrange the remaining items after fixing the item.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{9}P_{1}=9\)। एक स्थान के लिए सीधे उपलब्ध वस्तुएँ गिनें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{9}P_{1}=9\). For one position, count the available objects directly.
(DELHI) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों की संख्या ही factorial का आधार होती है। / The word (DELHI) has (5) distinct letters, so (5!=120). The number of distinct letters is the base of the factorial.
यह \({}^{8}P_{4}=8\times7\times6\times5=1680\) है। (4) स्थानों के लिए (4) घटते गुणनखंड लें। / This is \({}^{8}P_{4}=8\times7\times6\times5=1680\). Take (4) decreasing factors for (4) positions.
\({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) तरीके होंगे। अक्षरों का क्रम बदलने से arrangement बदलती है। / There will be \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) ways. Changing the order of letters changes the arrangement.
(M) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements हैं। समान अक्षर होने पर कुल arrangements घट जाती हैं। / (M) occurs twice, so there are \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements. Repeated letters reduce total arrangements.
आगे की पंक्ति में बच्चों का स्थान बदलने पर व्यवस्था बदल जाती है, इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है। अतः क्रमचय की संख्या \({}^{6}P_{4}=6\times5\times4\times3=360\) होगी। विकल्प 15, \({}^{6}C_{4}\) है और उसमें क्रम को नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: ‘पंक्ति में खड़ा करना’ जैसे शब्द हों तो सामान्यतः क्रमचय का प्रयोग करें। / Since changing the positions of the children in the front row gives a different arrangement, order matters. Therefore, the number of arrangements is \({}^{6}P_{4}=6\times5\times4\times3=360\). Option 15 is \({}^{6}C_{4}\), which does not consider order. Exam tip: Phrases such as “stand in a row” usually indicate a permutation.
तीन स्थानों के लिए \(5\times4\times3=60\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगला विकल्प कम होता है। / For three places, there are \(5\times4\times3=60\) ways. Without repetition, each next choice decreases.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{7}P_0=\frac{7!}{(7-0)!}=\frac{7!}{7!}=1\)। शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का ठीक एक तरीका होता है—कुछ भी न चुनना। विकल्प 0 यह भ्रम दर्शाता है कि शून्य वस्तुएँ हैं, जबकि यहाँ व्यवस्थाओं की संख्या पूछी गई है। परीक्षा टिप: \,\({}^{n}P_0\) और \,\({}^{n}C_0\) दोनों का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^{7}P_0=\frac{7!}{(7-0)!}=\frac{7!}{7!}=1\). There is exactly one arrangement of zero objects: choosing nothing. Option 0 confuses the number of objects with the number of possible arrangements. Exam tip: both \({}^{n}P_0\) and \({}^{n}C_0\) always equal 1.
(4) अलग लेबल (4) अलग डिब्बों पर (4!=24) तरीकों से लगेंगे। matching arrangements में factorial काम आता है। / (4) different labels can be pasted on (4) different boxes in (4!=24) ways. Factorial is useful in matching arrangements.
कुल (6) अक्षर हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। repeated letter के लिए denominator लगाएं। / There are (6) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{6!}{2!}=360\). Use a denominator for a repeated letter.
पहले शहर के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं इसलिए (20)। यात्रा क्रम बदलने से योजना बदलती है। / There are (5) choices for the first city and (4) for the second, so (20). Changing trip order changes the plan.
सैकड़ा स्थान पर (3) विकल्प हैं, फिर (3) और (2) विकल्प हैं, कुल (18)। पहले स्थान पर (0) न रखें। / There are (3) choices for the hundreds place, then (3) and (2) choices, total (18). Do not put (0) in the first place.
(3) अलग झंडों की क्रमबद्ध व्यवस्था (3!=6) है। ऊपर-नीचे का क्रम बदलने से arrangement बदलती है। / The ordered arrangement of (3) distinct flags is (3!=6). Changing top-bottom order changes the arrangement.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\)। अलग पदों के लिए क्रमचय लगाएं। / The two posts are distinct, so \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\). Use permutation for distinct posts.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed condition को पहले लागू करें। / The last position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Apply the fixed condition first.
A. 8 फाइनलिस्टों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक विजेताओं का चयन/Awarding gold, silver and bronze medals among 8 finalists
Explanation
Simple Explanation
स्वर्ण, रजत और कांस्य अलग-अलग स्थान हैं, इसलिए उन्हीं 3 फाइनलिस्टों का क्रम बदलने पर परिणाम बदल जाता है। अतः संख्या \(^{8}P_{3}\) होगी। समिति या प्रतिनिधि चुनने में क्रम नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: पद, रैंक या स्थान दिखे तो क्रमचय सोचें। / Gold, silver and bronze are distinct positions, so changing the order of the same 3 finalists changes the outcome. Hence the count is \(^{8}P_{3}\). A committee or a group of representatives has no order. Exam tip: use permutations when ranks or positions are assigned.
दायाँ और बायाँ स्थान अलग हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=30\)। स्थानों की पहचान अलग हो तो क्रम गिना जाता है। / Right and left positions are distinct, so \({}^{6}P_{2}=30\). When positions are identified, order is counted.
\({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षरों का स्थान बदलने से कोड बदल जाता है। / \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) codes are possible. In a code, changing positions changes the code.
(E) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements होंगे। repeated letters को अलग-अलग न गिनें। / (E) occurs twice, so \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements are possible. Do not count repeated letters as distinct.
पहला और दूसरा वक्ता क्रम वाले पद हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=132\)। बोलने के क्रम में permutation लगता है। / First and second speakers are ordered positions, so \({}^{12}P_{2}=132\). Speaking order uses permutation.
तीनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^3=27\)। repetition allowed हो तो हर स्थान पर समान विकल्प रहते हैं। / There are (3) choices for each of the three places, so \(3^3=27\). With repetition allowed, choices remain the same at every place.
सीधी डोरी पर (5) अलग मोतियों की व्यवस्था (5!=120) है। इसे circular arrangement न मानें। / On a straight string, the arrangement of (5) distinct beads is (5!=120). Do not treat it as a circular arrangement.
क्रमचय के सूत्र \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) से \({}^4P_0=1\) तथा \({}^4P_1=4\) प्राप्त होता है। अतः \({}^4P_0+{}^4P_1=1+4=5\), इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प A केवल \({}^4P_1\) का मान है। परीक्षा टिप: किसी भी \({}^nP_0\) का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^4P_0=1\) and \({}^4P_1=4\). Therefore, \({}^4P_0+{}^4P_1=1+4=5\), so option D is correct. Option A is only the value of \({}^4P_1\). Exam tip: \({}^nP_0\) is always equal to 1.
पहले डिब्बे के लिए (7) और दूसरे के लिए (6) विकल्प हैं इसलिए (42)। अलग डिब्बों में क्रमचय गिना जाता है। / There are (7) choices for the first box and (6) for the second, so (42). Permutation is counted for distinct boxes.
(BIHAR) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (BIHAR) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
(4) अलग विषय (4) अलग पीरियड में (4!=24) तरीकों से लगते हैं। timetable में order महत्त्वपूर्ण होता है। / (4) different subjects can be arranged in (4) different periods in (4!=24) ways. Order matters in a timetable.
चार स्थानों के लिए \(5\times4\times3\times2=120\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते जाते हैं। / For four places, there are \(5\times4\times3\times2=120\) ways. Without repetition, choices keep decreasing.
पुरस्कार अलग हैं इसलिए \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\)। अलग पुरस्कारों में order गिना जाता है। / The prizes are distinct, so \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Order is counted for distinct prizes.
(N) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated groups हों तो दोनों से भाग दें। / (N) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated groups.
\({}^{10}P_{0}=1\) और \({}^{10}P_{1}=10\), इसलिए योग (11) है। आसान योग में पहले values अलग निकालें। / \({}^{10}P_{0}=1\) and \({}^{10}P_{1}=10\), so the sum is (11). In simple sums, find the values separately first.
बाएँ से दाएँ (6) अलग पोस्टरों की व्यवस्था (6!=720) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (6) distinct posters is (6!=720). Use factorial in linear arrangement.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प हैं और दहाई पर (4) विकल्प, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
यहाँ 9 अलग-अलग फाइलों में से 4 फाइलें चुनकर उन्हें क्रम में रखना है, इसलिए क्रमचय का प्रयोग होगा। तरीकों की संख्या \({}^{9}P_{4}=\frac{9!}{(9-4)!}=9\times8\times7\times6=3024\) है। विकल्प 126, \({}^{9}C_{4}\) है, जो केवल चयन बताता है; उसमें क्रम का ध्यान नहीं रखा जाता। परीक्षा टिप: प्रश्न में “क्रम से” या “व्यवस्थित करना” हो तो सामान्यतः \({}^{n}P_{r}\) लगाएँ। / Four files are to be selected from 9 distinct files and arranged in order, so permutations are used. The number of ways is \({}^{9}P_{4}=\frac{9!}{(9-4)!}=9\times8\times7\times6=3024\). Option 126 is \({}^{9}C_{4}\), which counts only selections and ignores order. Exam tip: words such as “arrange” or “in order” usually indicate \({}^{n}P_{r}\).
RADAR में कुल 5 अक्षर हैं, जिनमें R के 2 और A के 2 अक्षर समान हैं। अतः अलग व्यवस्थाओं की संख्या \(\frac{5!}{2!\,2!}=\frac{120}{4}=30\) होगी। 120 तब मिलता जब सभी पाँच अक्षर अलग होते; समान अक्षरों की अदला-बदली नई व्यवस्था नहीं बनाती। परीक्षा टिप: समान वस्तुओं वाली व्यवस्था में कुल क्रमचय को प्रत्येक समान समूह के फैक्टोरियल से भाग दें। / RADAR has 5 letters, with 2 identical R's and 2 identical A's. Therefore, the number of distinct arrangements is \(\frac{5!}{2!\,2!}=\frac{120}{4}=30\). The value 120 would apply if all five letters were different; swapping identical letters does not create a new arrangement. Exam tip: for repeated objects, divide the total factorial by the factorial of each repeated group.
(8) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (8!=40320) होती है। सभी अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (8) distinct objects is (8!=40320). Use factorial for all distinct objects.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\)। अलग पदों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The two posts are distinct, so \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\). Order matters for different posts.
(TRAIN) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (TRAIN) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगला विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, each next choice decreases.
चुनी गई r वस्तुओं का क्रम बदलने पर नई व्यवस्था बनती है, इसलिए यह क्रमचय है: \({}^nP_r\)। \({}^nC_r\) में क्रम नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: “क्रम” शब्द दिखे तो P चुनें। / Changing the order of the selected r objects creates a new arrangement, so it is a permutation: \({}^nP_r\). \({}^nC_r\) does not count order. Exam tip: choose P whenever order matters.
बजाने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\)। क्रम बदलने से सूची बदल जाती है। / Playing order matters, so \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Changing the order changes the list.
(P) दो बार समान है इसलिए व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!}=60\) होंगी। समान अक्षर के factorial से भाग दें। / Since (P) occurs twice, arrangements are \(\frac{5!}{2!}=60\). Divide by the factorial of the repeated letter.
मेजें अलग हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\)। अलग स्थानों पर बैठाने में क्रम गिना जाता है। / The desks are distinct, so \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\). Order is counted when seating at distinct places.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{7}P_{7}=\frac{7!}{(7-7)!}=\frac{7!}{0!}=7!=5040\), क्योंकि \,\(0!=1\)। विकल्प C में दिया 720 वास्तव में \,\(6!\) है, 7! नहीं। परीक्षा टिप: जब \,\(r=n\) हो, तो सीधे \,\({}^{n}P_n=n!\) लिखें। / The permutation formula is \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \,\({}^{7}P_{7}=\frac{7!}{(7-7)!}=\frac{7!}{0!}=7!=5040\), since \,\(0!=1\). Option C, 720, is the value of \,\(6!\), not 7!. Exam tip: when \,\(r=n\), use \,\({}^{n}P_n=n!\) directly.
इकाई पर (0) हो तो (4) तरीके और इकाई पर गैर-शून्य सम अंक हो तो \(4\times3=12\) तरीके हैं, कुल (16)। शून्य वाले प्रश्न में cases बनाएं। / If the unit digit is (0), there are (4) ways, and if it is a non-zero even digit, there are \(4\times3=12\) ways, total (16). Make cases for zero questions.
(5) अलग पतंग (5) बच्चों में (5!=120) तरीकों से बाँटी जा सकती हैं। अलग वस्तुओं के एक-एक वितरण में factorial आता है। / (5) different kites can be distributed among (5) children in (5!=120) ways. Factorial appears in one-to-one distribution of distinct objects.
हल करने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\)। ordered selection में permutation लगाएं। / The solving order matters, so \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Use permutation in ordered selection.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed condition को पहले लागू करें। / The first position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Apply the fixed condition first.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\)। पद अलग हों तो combination नहीं लगाएं। / The two posts are distinct, so \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\). Do not use combination when posts are different.
हर स्थान पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^3=27\)। repetition allowed हो तो विकल्प कम नहीं होते। / Each place has (3) choices, so \(3^3=27\). When repetition is allowed, choices do not decrease.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (5) फोल्डर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। fixed item के बाद बचे items व्यवस्थित करें। / The last position is fixed and the remaining (5) folders can be arranged in (5!=120) ways. Arrange the remaining items after fixing the item.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{14}P_{1}=14\)। एक स्थान के लिए सीधे उपलब्ध वस्तुएँ गिनें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{14}P_{1}=14\). For one position, count available objects directly.
(SMART) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। distinct letters की पूरी arrangement factorial होती है। / The word (SMART) has (5) distinct letters, so (5!=120). The full arrangement of distinct letters is factorial.
यह क्रमचय का प्रश्न है, क्योंकि बैजों का क्रम महत्वपूर्ण है। अतः \({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\)। विकल्प 210, \({}^{10}C_{4}\) है, जो केवल चयन के लिए होता है, क्रम लगाने के लिए नहीं। परीक्षा टिप: जब क्रम बदलने पर परिणाम बदलता हो, तो क्रमचय का प्रयोग करें। / This is a permutation question because the order of the badges matters. Therefore, \({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\). The value 210 is \({}^{10}C_{4}\), which counts only selections, not arrangements. Exam tip: use permutations whenever changing the order changes the outcome.
यह \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\) है। ordered letters में (AE) और (EA) अलग माने जाते हैं। / This is \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\). In ordered letters, (AE) and (EA) are considered different.
(D) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements हैं। repeated letters को अलग-अलग न गिनें। / (D) occurs twice, so there are \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements. Do not count repeated letters as distinct.
उत्तर \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\) है। बेंच पर बाएँ-दाएँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\). Left-right order on a bench matters.
इकाई स्थान पर केवल (9) आएगा और बाकी दो स्थान \(4\times3=12\) तरीकों से भरेंगे। odd number में इकाई स्थान पहले देखें। / Only (9) can be in the units place, and the other two places can be filled in \(4\times3=12\) ways. For odd numbers, check the units place first.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{15}P_0=\frac{15!}{15!}=1\)। शून्य वस्तुओं को चुनकर व्यवस्थित करने का केवल एक तरीका होता है—कुछ भी न चुनना। विकल्प 0 गलत है, क्योंकि यह चयन के तरीकों की संख्या नहीं बल्कि चुनी गई वस्तुओं की संख्या दर्शाता है। परीक्षा टिप: जब \,\(r=0\) हो, तो हमेशा \,\({}^{n}P_0=1\) होता है। / Using the permutation formula, \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \({}^{15}P_0=\frac{15!}{15!}=1\). There is exactly one way to select and arrange zero objects: choose nothing. Option 0 is incorrect because it represents the number of objects selected, not the number of possible arrangements. Exam tip: whenever \(r=0\), \({}^{n}P_0=1\).
(5) अलग टिकट (5) अलग लिफाफों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। one-to-one matching में factorial उपयोगी है। / (5) different stamps can be pasted on (5) different envelopes in (5!=120) ways. Factorial is useful in one-to-one matching.
(A) तीन बार और (N) दो बार है इसलिए \(\frac{6!}{3!2!}=60\)। repeated groups के factorial से भाग दें। / (A) occurs three times and (N) twice, so \(\frac{6!}{3!2!}=60\). Divide by factorials of repeated groups.
शुरू और समाप्ति क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=30\)। route में starting और ending बदलने से मामला बदलता है। / Starting and ending are ordered, so \({}^{6}P_{2}=30\). In a route, changing start and end changes the case.
सैकड़ा स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए उसके लिए 1, 5 या 7 अर्थात 3 विकल्प हैं। दहाई स्थान के लिए शेष 3 और इकाई स्थान के लिए शेष 2 विकल्प होंगे। अतः कुल संख्याएँ \(3\times3\times2=18\) हैं। 24, \(4P_3\) है, पर उसमें 0 से शुरू होने वाली व्यवस्थाएँ भी शामिल हैं, जो 3-अंकीय संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: संख्या बनाने के प्रश्नों में सबसे पहले जाँचें कि पहला अंक 0 हो सकता है या नहीं। / The hundreds digit cannot be 0, so it has 3 choices: 1, 5, or 7. The tens digit then has 3 remaining choices and the units digit has 2. Thus, the total number is \(3\times3\times2=18\). Although 24 equals \(4P_3\), it includes arrangements beginning with 0, which are not 3-digit numbers. Exam tip: In number-formation questions, always check whether 0 is allowed in the first position.
ऊपर से नीचे (4) अलग कार्डों की व्यवस्था (4!=24) है। linear order में factorial प्रयोग करें। / The top-to-bottom arrangement of (4) distinct cards is (4!=24). Use factorial in linear order.
पहला और दूसरा वक्ता अलग क्रम वाले स्थान हैं इसलिए \({}^{14}P_{2}=182\)। speaking order में permutation लगता है। / First and second speakers are ordered positions, so \({}^{14}P_{2}=182\). Speaking order uses permutation.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed position को पहले अलग करें। / The last position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Separate the fixed position first.
A. एक शेल्फ पर 4 अलग-अलग पुस्तकों को सजाना/Arranging 4 different books on a shelf
Explanation
Simple Explanation
शेल्फ पर पुस्तकों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदल जाती है, इसलिए यह क्रमचय है। समिति या वस्तुएँ चुनने में क्रम नहीं बदलता। परीक्षा टिप: क्रम महत्वपूर्ण हो तो \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) लें। / Changing the order of books on a shelf creates a new arrangement, so it is a permutation. In selecting a committee or objects, order does not matter. Exam tip: use \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) when order matters.
ऊपरी और निचला रैक अलग हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\)। अलग स्थानों में order गिना जाता है। / The upper and lower racks are distinct, so \({}^{8}P_{2}=56\). Order is counted for distinct positions.
\({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षर का स्थान बदलने से कोड बदलता है। / \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) codes are possible. In a code, changing the position of letters changes the code.
(C) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated letters हों तो दोनों से भाग दें। / (C) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated letters.
प्रथम, द्वितीय और तृतीय रैंक अलग-अलग स्थान हैं, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है। अतः तरीकों की संख्या \({}^{15}P_3=15\times14\times13=2730\) होगी। 455, \({}^{15}C_3\) है, जो केवल 3 विद्यार्थियों के चयन की संख्या बताता है; उसमें रैंकों का क्रम नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: रैंक, पद या स्थान दिए हों तो सामान्यतः क्रमचय प्रयोग करें। / First, second and third are distinct positions, so order matters. Hence, the number of ways is \({}^{15}P_3=15\times14\times13=2730\). The value 455 is \({}^{15}C_3\), which only selects three students and does not assign them ordered ranks. Exam tip: use permutations when ranks, posts, or positions are assigned.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^2=9\)। repetition allowed हो तो विकल्प वही रहते हैं। / There are (3) choices at both places, so \(3^2=9\). With repetition allowed, choices remain the same.
सीधी रेखा में (6) अलग मोतियों की व्यवस्था (6!=720) है। इसे circular arrangement न मानें। / In a straight line, the arrangement of (6) distinct beads is (6!=720). Do not treat it as a circular arrangement.
क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) और \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। इसलिए \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\)। विकल्प 20 केवल \({}^{5}P_2\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: \({}^{n}P_0\) का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula, \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Thus, \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) and \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Therefore, \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\). Option 20 is only the value of \({}^{5}P_2\), not the required sum. Exam tip: \({}^{n}P_0\) is always 1.
पहले स्लॉट के लिए (9) और दूसरे के लिए (8) विकल्प हैं इसलिए (72)। स्लॉट अलग हों तो permutation गिनें। / There are (9) choices for the first slot and (8) for the second, so (72). Count permutation when slots are distinct.
(MOUSE) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों में factorial ही कुल व्यवस्था देता है। / The word (MOUSE) has (5) distinct letters, so (5!=120). For distinct letters, factorial gives total arrangements.
(5) अलग घंटियाँ (5) स्थानों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगी। निर्धारित स्थानों की arrangement factorial से होती है। / (5) different bells can be placed at (5) positions in (5!=120) ways. Arrangements at fixed positions use factorial.
6 दिए गए अंकों में से 4 अंकों को क्रम में चुनना है। अतः कुल संख्याएँ \({}^6P_4=6\times5\times4\times3=360\) होंगी। \(720\) तब मिलता है जब सभी 6 अंकों का क्रमचय \(6!\) लिया जाए, जो यहाँ आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: बिना पुनरावृत्ति और क्रम महत्त्वपूर्ण होने पर \({}^nP_r\) का प्रयोग करें। / Four digits must be selected and arranged from the 6 given digits. Hence, the number of such numbers is \({}^6P_4=6\times5\times4\times3=360\). The value \(720\) is \(6!\), which would apply if all 6 digits were arranged, not just 4. Exam tip: use \({}^nP_r\) when order matters and repetition is not allowed.
प्रथम, द्वितीय और तृतीय स्थान अलग-अलग हैं, इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है। अतः 9 गायकों में से 3 का क्रमचय \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\) होगा। 84 केवल \(9\times8+12\) जैसा असंगत मान है और क्रमचय का परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: जब पद या क्रम अलग हों, तो संयोजन नहीं, क्रमचय लगाएँ। / The first, second and third positions are distinct, so order matters. Therefore, the required number is \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). The value 84 does not represent the required permutation count. Exam tip: Use permutations when positions or order are important.
शब्द REFER में कुल 5 अक्षर हैं, जिनमें R के 2 और E के 2 अक्षर समान हैं। यदि सभी अक्षर अलग होते, तो व्यवस्थाएँ \(5!\) होतीं। R और E के समान अक्षरों की अदला-बदली से नई व्यवस्था नहीं बनती, इसलिए \(2!\) और \(2!\) से भाग देते हैं: \(\frac{5!}{2!\,2!}=30\)। विकल्प 60 में केवल एक जोड़ी समान अक्षरों का समायोजन किया गया है। परीक्षा टिप: समान वस्तुओं वाली व्यवस्था के लिए \(\frac{n!}{p!q!\cdots}\) का प्रयोग करें। / The word REFER has 5 letters, with two identical R's and two identical E's. If all letters were different, there would be \(5!\) arrangements. Interchanging the identical R's or identical E's does not create a new arrangement, so divide by \(2!\) for each repeated pair: \(\frac{5!}{2!\,2!}=30\). Option 60 accounts for only one repeated pair. Exam tip: for arrangements with repeated objects, use \(\frac{n!}{p!q!\cdots}\).
क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{12}P_0=1\) तथा \({}^{12}P_1=12\)। इसलिए \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\)। विकल्प 12 केवल \({}^{12}P_1\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा में याद रखें कि किसी भी \(n\) के लिए \({}^{n}P_0=1\) होता है। / Using the permutation formula \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^{12}P_0=1\) and \({}^{12}P_1=12\). Hence, \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\). Option 12 is only the value of \({}^{12}P_1\), not the required sum. Exam tip: always remember that \({}^{n}P_0=1\) for every \(n\).
बाएँ से दाएँ (7) अलग पोस्टकार्डों की व्यवस्था (7!=5040) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (7) distinct postcards is (7!=5040). Use factorial in linear arrangement.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प और दहाई पर (4) विकल्प हैं, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
यह क्रमचय का प्रश्न है, क्योंकि चुने गए 3 चार्टों का क्रम बदलने पर व्यवस्था बदल जाती है। अतः व्यवस्थाओं की संख्या \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\) होगी। विकल्प 165 केवल \({}^{11}C_{3}\) है, जो क्रम को नहीं मानता। परीक्षा टिप: जब “क्रम से” या “व्यवस्थित करना” दिया हो, तो सामान्यतः क्रमचय प्रयोग करें। / This is a permutation question because changing the order of the selected 3 charts gives a different arrangement. Therefore, the number of arrangements is \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\). Option 165 is \({}^{11}C_{3}\), which counts selections without considering order. Exam tip: Words such as “arrange” or “in order” usually indicate permutations.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। repeated letters के factorial से भाग देना जरूरी है। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). It is necessary to divide by factorials of repeated letters.
