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(8) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (8!=40320) होती है। सभी अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (8) distinct objects is (8!=40320). Use factorial for all distinct objects.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\)। अलग पदों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The two posts are distinct, so \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\). Order matters for different posts.
(TRAIN) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (TRAIN) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगला विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, each next choice decreases.
चुनी गई r वस्तुओं का क्रम बदलने पर नई व्यवस्था बनती है, इसलिए यह क्रमचय है: \({}^nP_r\)। \({}^nC_r\) में क्रम नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: “क्रम” शब्द दिखे तो P चुनें। / Changing the order of the selected r objects creates a new arrangement, so it is a permutation: \({}^nP_r\). \({}^nC_r\) does not count order. Exam tip: choose P whenever order matters.
बजाने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\)। क्रम बदलने से सूची बदल जाती है। / Playing order matters, so \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Changing the order changes the list.
(P) दो बार समान है इसलिए व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!}=60\) होंगी। समान अक्षर के factorial से भाग दें। / Since (P) occurs twice, arrangements are \(\frac{5!}{2!}=60\). Divide by the factorial of the repeated letter.
मेजें अलग हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\)। अलग स्थानों पर बैठाने में क्रम गिना जाता है। / The desks are distinct, so \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\). Order is counted when seating at distinct places.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{7}P_{7}=\frac{7!}{(7-7)!}=\frac{7!}{0!}=7!=5040\), क्योंकि \,\(0!=1\)। विकल्प C में दिया 720 वास्तव में \,\(6!\) है, 7! नहीं। परीक्षा टिप: जब \,\(r=n\) हो, तो सीधे \,\({}^{n}P_n=n!\) लिखें। / The permutation formula is \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \,\({}^{7}P_{7}=\frac{7!}{(7-7)!}=\frac{7!}{0!}=7!=5040\), since \,\(0!=1\). Option C, 720, is the value of \,\(6!\), not 7!. Exam tip: when \,\(r=n\), use \,\({}^{n}P_n=n!\) directly.
इकाई पर (0) हो तो (4) तरीके और इकाई पर गैर-शून्य सम अंक हो तो \(4\times3=12\) तरीके हैं, कुल (16)। शून्य वाले प्रश्न में cases बनाएं। / If the unit digit is (0), there are (4) ways, and if it is a non-zero even digit, there are \(4\times3=12\) ways, total (16). Make cases for zero questions.
(5) अलग पतंग (5) बच्चों में (5!=120) तरीकों से बाँटी जा सकती हैं। अलग वस्तुओं के एक-एक वितरण में factorial आता है। / (5) different kites can be distributed among (5) children in (5!=120) ways. Factorial appears in one-to-one distribution of distinct objects.
हल करने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\)। ordered selection में permutation लगाएं। / The solving order matters, so \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Use permutation in ordered selection.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed condition को पहले लागू करें। / The first position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Apply the fixed condition first.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\)। पद अलग हों तो combination नहीं लगाएं। / The two posts are distinct, so \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\). Do not use combination when posts are different.
हर स्थान पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^3=27\)। repetition allowed हो तो विकल्प कम नहीं होते। / Each place has (3) choices, so \(3^3=27\). When repetition is allowed, choices do not decrease.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (5) फोल्डर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। fixed item के बाद बचे items व्यवस्थित करें। / The last position is fixed and the remaining (5) folders can be arranged in (5!=120) ways. Arrange the remaining items after fixing the item.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{14}P_{1}=14\)। एक स्थान के लिए सीधे उपलब्ध वस्तुएँ गिनें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{14}P_{1}=14\). For one position, count available objects directly.
(SMART) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। distinct letters की पूरी arrangement factorial होती है। / The word (SMART) has (5) distinct letters, so (5!=120). The full arrangement of distinct letters is factorial.
यह क्रमचय का प्रश्न है, क्योंकि बैजों का क्रम महत्वपूर्ण है। अतः \({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\)। विकल्प 210, \({}^{10}C_{4}\) है, जो केवल चयन के लिए होता है, क्रम लगाने के लिए नहीं। परीक्षा टिप: जब क्रम बदलने पर परिणाम बदलता हो, तो क्रमचय का प्रयोग करें। / This is a permutation question because the order of the badges matters. Therefore, \({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\). The value 210 is \({}^{10}C_{4}\), which counts only selections, not arrangements. Exam tip: use permutations whenever changing the order changes the outcome.
यह \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\) है। ordered letters में (AE) और (EA) अलग माने जाते हैं। / This is \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\). In ordered letters, (AE) and (EA) are considered different.
(D) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements हैं। repeated letters को अलग-अलग न गिनें। / (D) occurs twice, so there are \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements. Do not count repeated letters as distinct.
उत्तर \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\) है। बेंच पर बाएँ-दाएँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\). Left-right order on a bench matters.
इकाई स्थान पर केवल (9) आएगा और बाकी दो स्थान \(4\times3=12\) तरीकों से भरेंगे। odd number में इकाई स्थान पहले देखें। / Only (9) can be in the units place, and the other two places can be filled in \(4\times3=12\) ways. For odd numbers, check the units place first.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{15}P_0=\frac{15!}{15!}=1\)। शून्य वस्तुओं को चुनकर व्यवस्थित करने का केवल एक तरीका होता है—कुछ भी न चुनना। विकल्प 0 गलत है, क्योंकि यह चयन के तरीकों की संख्या नहीं बल्कि चुनी गई वस्तुओं की संख्या दर्शाता है। परीक्षा टिप: जब \,\(r=0\) हो, तो हमेशा \,\({}^{n}P_0=1\) होता है। / Using the permutation formula, \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \({}^{15}P_0=\frac{15!}{15!}=1\). There is exactly one way to select and arrange zero objects: choose nothing. Option 0 is incorrect because it represents the number of objects selected, not the number of possible arrangements. Exam tip: whenever \(r=0\), \({}^{n}P_0=1\).
(5) अलग टिकट (5) अलग लिफाफों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। one-to-one matching में factorial उपयोगी है। / (5) different stamps can be pasted on (5) different envelopes in (5!=120) ways. Factorial is useful in one-to-one matching.
(A) तीन बार और (N) दो बार है इसलिए \(\frac{6!}{3!2!}=60\)। repeated groups के factorial से भाग दें। / (A) occurs three times and (N) twice, so \(\frac{6!}{3!2!}=60\). Divide by factorials of repeated groups.
शुरू और समाप्ति क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=30\)। route में starting और ending बदलने से मामला बदलता है। / Starting and ending are ordered, so \({}^{6}P_{2}=30\). In a route, changing start and end changes the case.
सैकड़ा स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए उसके लिए 1, 5 या 7 अर्थात 3 विकल्प हैं। दहाई स्थान के लिए शेष 3 और इकाई स्थान के लिए शेष 2 विकल्प होंगे। अतः कुल संख्याएँ \(3\times3\times2=18\) हैं। 24, \(4P_3\) है, पर उसमें 0 से शुरू होने वाली व्यवस्थाएँ भी शामिल हैं, जो 3-अंकीय संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: संख्या बनाने के प्रश्नों में सबसे पहले जाँचें कि पहला अंक 0 हो सकता है या नहीं। / The hundreds digit cannot be 0, so it has 3 choices: 1, 5, or 7. The tens digit then has 3 remaining choices and the units digit has 2. Thus, the total number is \(3\times3\times2=18\). Although 24 equals \(4P_3\), it includes arrangements beginning with 0, which are not 3-digit numbers. Exam tip: In number-formation questions, always check whether 0 is allowed in the first position.
ऊपर से नीचे (4) अलग कार्डों की व्यवस्था (4!=24) है। linear order में factorial प्रयोग करें। / The top-to-bottom arrangement of (4) distinct cards is (4!=24). Use factorial in linear order.
पहला और दूसरा वक्ता अलग क्रम वाले स्थान हैं इसलिए \({}^{14}P_{2}=182\)। speaking order में permutation लगता है। / First and second speakers are ordered positions, so \({}^{14}P_{2}=182\). Speaking order uses permutation.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed position को पहले अलग करें। / The last position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Separate the fixed position first.
A. एक शेल्फ पर 4 अलग-अलग पुस्तकों को सजाना/Arranging 4 different books on a shelf
Explanation
Simple Explanation
शेल्फ पर पुस्तकों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदल जाती है, इसलिए यह क्रमचय है। समिति या वस्तुएँ चुनने में क्रम नहीं बदलता। परीक्षा टिप: क्रम महत्वपूर्ण हो तो \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) लें। / Changing the order of books on a shelf creates a new arrangement, so it is a permutation. In selecting a committee or objects, order does not matter. Exam tip: use \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) when order matters.
ऊपरी और निचला रैक अलग हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\)। अलग स्थानों में order गिना जाता है। / The upper and lower racks are distinct, so \({}^{8}P_{2}=56\). Order is counted for distinct positions.
\({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षर का स्थान बदलने से कोड बदलता है। / \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) codes are possible. In a code, changing the position of letters changes the code.
(C) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated letters हों तो दोनों से भाग दें। / (C) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated letters.
प्रथम, द्वितीय और तृतीय रैंक अलग-अलग स्थान हैं, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है। अतः तरीकों की संख्या \({}^{15}P_3=15\times14\times13=2730\) होगी। 455, \({}^{15}C_3\) है, जो केवल 3 विद्यार्थियों के चयन की संख्या बताता है; उसमें रैंकों का क्रम नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: रैंक, पद या स्थान दिए हों तो सामान्यतः क्रमचय प्रयोग करें। / First, second and third are distinct positions, so order matters. Hence, the number of ways is \({}^{15}P_3=15\times14\times13=2730\). The value 455 is \({}^{15}C_3\), which only selects three students and does not assign them ordered ranks. Exam tip: use permutations when ranks, posts, or positions are assigned.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^2=9\)। repetition allowed हो तो विकल्प वही रहते हैं। / There are (3) choices at both places, so \(3^2=9\). With repetition allowed, choices remain the same.
सीधी रेखा में (6) अलग मोतियों की व्यवस्था (6!=720) है। इसे circular arrangement न मानें। / In a straight line, the arrangement of (6) distinct beads is (6!=720). Do not treat it as a circular arrangement.
क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) और \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। इसलिए \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\)। विकल्प 20 केवल \({}^{5}P_2\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: \({}^{n}P_0\) का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula, \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Thus, \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) and \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Therefore, \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\). Option 20 is only the value of \({}^{5}P_2\), not the required sum. Exam tip: \({}^{n}P_0\) is always 1.
पहले स्लॉट के लिए (9) और दूसरे के लिए (8) विकल्प हैं इसलिए (72)। स्लॉट अलग हों तो permutation गिनें। / There are (9) choices for the first slot and (8) for the second, so (72). Count permutation when slots are distinct.
(MOUSE) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों में factorial ही कुल व्यवस्था देता है। / The word (MOUSE) has (5) distinct letters, so (5!=120). For distinct letters, factorial gives total arrangements.
(5) अलग घंटियाँ (5) स्थानों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगी। निर्धारित स्थानों की arrangement factorial से होती है। / (5) different bells can be placed at (5) positions in (5!=120) ways. Arrangements at fixed positions use factorial.
6 दिए गए अंकों में से 4 अंकों को क्रम में चुनना है। अतः कुल संख्याएँ \({}^6P_4=6\times5\times4\times3=360\) होंगी। \(720\) तब मिलता है जब सभी 6 अंकों का क्रमचय \(6!\) लिया जाए, जो यहाँ आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: बिना पुनरावृत्ति और क्रम महत्त्वपूर्ण होने पर \({}^nP_r\) का प्रयोग करें। / Four digits must be selected and arranged from the 6 given digits. Hence, the number of such numbers is \({}^6P_4=6\times5\times4\times3=360\). The value \(720\) is \(6!\), which would apply if all 6 digits were arranged, not just 4. Exam tip: use \({}^nP_r\) when order matters and repetition is not allowed.
प्रथम, द्वितीय और तृतीय स्थान अलग-अलग हैं, इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है। अतः 9 गायकों में से 3 का क्रमचय \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\) होगा। 84 केवल \(9\times8+12\) जैसा असंगत मान है और क्रमचय का परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: जब पद या क्रम अलग हों, तो संयोजन नहीं, क्रमचय लगाएँ। / The first, second and third positions are distinct, so order matters. Therefore, the required number is \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). The value 84 does not represent the required permutation count. Exam tip: Use permutations when positions or order are important.
शब्द REFER में कुल 5 अक्षर हैं, जिनमें R के 2 और E के 2 अक्षर समान हैं। यदि सभी अक्षर अलग होते, तो व्यवस्थाएँ \(5!\) होतीं। R और E के समान अक्षरों की अदला-बदली से नई व्यवस्था नहीं बनती, इसलिए \(2!\) और \(2!\) से भाग देते हैं: \(\frac{5!}{2!\,2!}=30\)। विकल्प 60 में केवल एक जोड़ी समान अक्षरों का समायोजन किया गया है। परीक्षा टिप: समान वस्तुओं वाली व्यवस्था के लिए \(\frac{n!}{p!q!\cdots}\) का प्रयोग करें। / The word REFER has 5 letters, with two identical R's and two identical E's. If all letters were different, there would be \(5!\) arrangements. Interchanging the identical R's or identical E's does not create a new arrangement, so divide by \(2!\) for each repeated pair: \(\frac{5!}{2!\,2!}=30\). Option 60 accounts for only one repeated pair. Exam tip: for arrangements with repeated objects, use \(\frac{n!}{p!q!\cdots}\).
क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{12}P_0=1\) तथा \({}^{12}P_1=12\)। इसलिए \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\)। विकल्प 12 केवल \({}^{12}P_1\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा में याद रखें कि किसी भी \(n\) के लिए \({}^{n}P_0=1\) होता है। / Using the permutation formula \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^{12}P_0=1\) and \({}^{12}P_1=12\). Hence, \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\). Option 12 is only the value of \({}^{12}P_1\), not the required sum. Exam tip: always remember that \({}^{n}P_0=1\) for every \(n\).
बाएँ से दाएँ (7) अलग पोस्टकार्डों की व्यवस्था (7!=5040) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (7) distinct postcards is (7!=5040). Use factorial in linear arrangement.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प और दहाई पर (4) विकल्प हैं, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
यह क्रमचय का प्रश्न है, क्योंकि चुने गए 3 चार्टों का क्रम बदलने पर व्यवस्था बदल जाती है। अतः व्यवस्थाओं की संख्या \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\) होगी। विकल्प 165 केवल \({}^{11}C_{3}\) है, जो क्रम को नहीं मानता। परीक्षा टिप: जब “क्रम से” या “व्यवस्थित करना” दिया हो, तो सामान्यतः क्रमचय प्रयोग करें। / This is a permutation question because changing the order of the selected 3 charts gives a different arrangement. Therefore, the number of arrangements is \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\). Option 165 is \({}^{11}C_{3}\), which counts selections without considering order. Exam tip: Words such as “arrange” or “in order” usually indicate permutations.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। repeated letters के factorial से भाग देना जरूरी है। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). It is necessary to divide by factorials of repeated letters.
