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A. शीर्ष ((4,-2)) और न्यूनतम (-2)/vertex ((4,-2)) and minimum (-2)
Explanation
Simple Explanation
(|x-4|) का न्यूनतम (0) (x=4) पर होता है इसलिए (y=-2)। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष निकालें। / The minimum of (|x-4|) is (0) at (x=4), so (y=-2). In exams, set the inside of the modulus to (0) to find the vertex.
हर ((x-2)2) (x=2) पर शून्य होता है और बाहरी (3) से क्षैतिज आसमापी (y=3) मिलता है। परीक्षा में वर्ग वाले हर में भी शून्य बनाने वाला मान हटाएं। / The denominator ((x-2)2) becomes zero at (x=2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, exclude the value that makes a squared denominator zero.
परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष का (y)-मान (-1) है। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय का शीर्ष अधिकतम होता है। / The parabola opens downward and the vertex (y)-value is (-1). In exams, the vertex of a downward parabola gives the maximum.
वर्गमूल के लिए \(2x-5\ge0\) इसलिए \(x\ge\frac{5}{2}\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि अनऋणात्मक रखें। / For the square root, \(2x-5\ge0\), so \(x\ge\frac{5}{2}\). In exams, keep the expression inside the square root non-negative.
हर (x+2) शून्य होने पर (x=-2) है और बाहरी (3) से क्षैतिज आसमापी (y=3) है। परीक्षा में हर और ऊर्ध्व विस्थापन दोनों जांचें। / The denominator (x+2) is zero at (x=-2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, check both denominator and vertical shift.
\(x\ge5\) पर (|x-5|=x-5) और (|x+1|=x+1) इसलिए (y=-6)। परीक्षा में मापांक को अंतराल के अनुसार खोलें। / For \(x\ge5\), (|x-5|=x-5) and (|x+1|=x+1), so (y=-6). In exams, open modulus according to the interval.
\(x\in[-3,-2\)) होने पर \(x+1\in[-2,-1\)) इसलिए \(\lfloor x+1\rfloor=-2\)। परीक्षा में पहले अंदर का अंतराल बदलें। / When \(x\in[-3,-2\)), \(x+1\in[-2,-1\)), so \(\lfloor x+1\rfloor=-2\). In exams, first transform the inside interval.
(x>2) पर (2-x<0) इसलिए साइनम मान (-1) है। परीक्षा में साइनम में अंदर की राशि का चिह्न देखें। / For (x>2), (2-x<0), so the signum value is (-1). In exams, check the sign of the inside expression.
(x-2-8x+12=(x-2)(x-6)) इसलिए (x=2) और (x=6) हैं। परीक्षा में (x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें। / Since (x-2-8x+12=(x-2)(x-6)), the values are (x=2) and (x=6). In exams, set (y=0) for (x)-intercepts.
(3|x+2|-9=0) से (|x+2|=3) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण में दोनों स्थितियां लें। / From (3|x+2|-9=0), we get (|x+2|=3). In exams, take both cases in a modulus equation.
\(\sqrt{x+4}\ge0\) इसलिए \(5-\sqrt{x+4}\le5\)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल के कारण ग्राफ नीचे जाता है। / Since \(\sqrt{x+4}\ge0\), \(5-\sqrt{x+4}\le5\). In exams, a negative square-root term makes the graph go downward.
B. (3) बाईं ओर, (2) गुना ऊर्ध्व खिंचाव, (1) नीचे/(3) left, vertical stretch by (2), (1) down
Explanation
Simple Explanation
(x+3) बाईं ओर (3) इकाई, बाहरी (2) ऊर्ध्व खिंचाव और (-1) नीचे खिसकाता है। परीक्षा में अंदर और बाहर के परिवर्तनों को अलग पढ़ें। / (x+3) shifts (3) units left, outside (2) vertically stretches, and (-1) shifts down. In exams, read inside and outside transformations separately.
समान करने पर \(x^2-1=2x+2\) यानी \(x^2-2x-3=0\) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों (y)-मान बराबर करें। / Equating gives \(x^2-1=2x+2\), that is \(x^2-2x-3=0\). In exams, set the two (y)-values equal for intersections.
हर (x-4) शून्य होने पर (x=4) मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ का लंबवत आसमापी हर से निकालें। / The denominator (x-4) becomes zero at (x=4). In exams, find the vertical asymptote of a reciprocal graph from the denominator.
(3x-12=0) से (x=4) और न्यूनतम (0) मिलता है। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष खोजें। / From (3x-12=0), (x=4) and the minimum is (0). In exams, find the vertex by setting the inside of the modulus to (0).
इस अंतराल में \(2x\in[3,4\)) से शुरू होकर (4) के बाद मान (4) भी आता है क्योंकि (2x<4) नहीं रहता। परीक्षा में अंदर के अंतराल को उपखंडों में बांटें। / In this interval, (2x) starts in ([3,4)) and also reaches values giving (4) after \(2x\ge4\). In exams, split the inside interval into subintervals.
A. केंद्र ((0,0)) और त्रिज्या (4) वाला वृत्त/circle with centre ((0,0)) and radius (4)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग करने पर \(x^2+y^2=16\) और \(y\ge0\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{r^2-x^2}\) को ऊपरी अर्धवृत्त पहचानें। / Squaring gives \(x^2+y^2=16\) with \(y\ge0\). In exams, identify \(\sqrt{r^2-x^2}\) as an upper semicircle.
(x)-अक्ष के लिए \(x^3+27=0\) इसलिए (x=-3)। परीक्षा में घन समीकरण का वास्तविक मूल ध्यान से निकालें। / For the (x)-axis, \(x^3+27=0\), so (x=-3). In exams, find the real root of a cubic carefully.
\(\frac{|x|}{x}=1\) जब (x>0) और (-1) जब (x<0) होता है। परीक्षा में (x=0) को प्रांत से हटाएं। / \(\frac{|x|}{x}=1\) for (x>0) and (-1) for (x<0). In exams, exclude (x=0) from the domain.
\(\sqrt{x-2}\) का न्यूनतम (0) (x=2) पर है इसलिए (y=4)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल ग्राफ का अधिकतम आरंभिक बिंदु पर होता है। / The minimum of \(\sqrt{x-2}\) is (0) at (x=2), so (y=4). In exams, a negative square-root graph has maximum at the starting point.
सममिति अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{4}=3\) है। परीक्षा में द्विघात ग्राफ की अक्ष सूत्र से निकालें। / The axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{4}=3\). In exams, use the axis formula for a quadratic graph.
अंश और हर की घात समान है इसलिए अग्र गुणांकों का अनुपात \(\frac{5}{2}\) है। परीक्षा में समान घातों पर अग्र गुणांक का अनुपात लें। / The degrees of numerator and denominator are equal, so the ratio of leading coefficients is \(\frac{5}{2}\). In exams, use the ratio of leading coefficients for equal degrees.
\(\lfloor3.8\rfloor-2=1\) इसलिए ((3.8,0)) ग्राफ पर नहीं है। परीक्षा में पहले (x) का महत्तम पूर्णांक निकालें। / \(\lfloor3.8\rfloor-2=1\), so ((3.8,0)) is not on the graph. In exams, first find the greatest integer of (x).
दो बिंदुओं (7) और (2) के बीच दूरी (5) है इसलिए योग का न्यूनतम (5) है। परीक्षा में (|x-a|+|x-b|) का न्यूनतम (|a-b|) याद रखें। / The distance between (7) and (2) is (5), so the minimum sum is (5). In exams, remember the minimum of (|x-a|+|x-b|) is (|a-b|).
\(x^3=4x\) से (x\(x^2-4\)=0) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों फलनों को बराबर करें। / From \(x^3=4x\), we get (x\(x^2-4\)=0). In exams, equate the two functions for intersections.
(|x-2|) का न्यूनतम (0) (x=2) पर है इसलिए (y=9) अधिकतम है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणक वाले मापांक में शीर्ष अधिकतम होता है। / The minimum of (|x-2|) is (0) at (x=2), so (y=9) is maximum. In exams, a modulus graph with a negative multiplier has maximum at the vertex.
(\sqrt{(x-1)2}=|x-1|) होता है। परीक्षा में वर्गमूल और वर्ग साथ हों तो मापांक का उपयोग करें। / (\sqrt{(x-1)2}=|x-1|). In exams, use modulus when square root and square appear together.
\(x^2+2\) सम फलन है और इसका न्यूनतम (2) है। परीक्षा में सममिति के लिए (f(-x)=f(x)) जांचें। / \(x^2+2\) is even and its minimum is (2). In exams, check (f(-x)=f(x)) for symmetry.
हर (|x-1|) (x=1) पर शून्य हो जाता है इसलिए (1) हटता है। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाला मान प्रांत से निकालें। / The denominator (|x-1|) becomes zero at (x=1), so (1) is excluded. In exams, remove values that make the denominator zero.
(x-6) दाईं ओर (6) इकाई और (+4) ऊपर खिसकाता है। परीक्षा में (x-a) को दाईं ओर विस्थापन समझें। / (x-6) shifts the graph (6) units right and (+4) shifts it up. In exams, read (x-a) as a right shift.
\(\lfloor1.7\rfloor=1\) और \(\lfloor-1.7\rfloor=-2\) इसलिए मान (-1) है। परीक्षा में ऋणात्मक महत्तम पूर्णांक में गलती न करें। / \(\lfloor1.7\rfloor=1\) and \(\lfloor-1.7\rfloor=-2\), so the value is (-1). In exams, avoid mistakes with greatest integers of negative numbers.
(1<x<4) पर (\operatorname{sgn}(x-1)=1) और (\operatorname{sgn}(x-4)=-1) है। परीक्षा में हर साइनम पद का चिह्न अलग जांचें। / For (1<x<4), (\operatorname{sgn}(x-1)=1) and (\operatorname{sgn}(x-4)=-1). In exams, check the sign of each signum term separately.
हर (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) शून्य होने पर (x=1) और (x=3) हैं। परीक्षा में हर के शून्यों से लंबवत आसमापी खोजें। / The denominator (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) is zero at (x=1) and (x=3). In exams, find vertical asymptotes from the zeroes of the denominator.
\(x\ge4\) पर (|x-1|=x-1) और (|x-4|=x-4) इसलिए (y=3)। परीक्षा में मापांक को सही अंतराल में खोलें। / For \(x\ge4\), (|x-1|=x-1) and (|x-4|=x-4), so (y=3). In exams, open modulus correctly in the given interval.
A. प्रांत \([3,\infty\)) और परिसर (\(-\infty,2]\)/domain \([3,\infty\)) and range (\(-\infty,2]\)
Explanation
Simple Explanation
\(x-3\ge0\) से प्रांत \([3,\infty\)) है और ऋण चिह्न से \(y\le2\)। परीक्षा में वर्गमूल और बाहरी ऋण दोनों का प्रभाव देखें। / From \(x-3\ge0\), the domain is \([3,\infty\)), and the negative sign gives \(y\le2\). In exams, check both the square root and the outside negative sign.
\(|x^2-9|=0\) तब \(x^2-9=0\) होता है इसलिए \(x=\pm3\)। परीक्षा में मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर की राशि शून्य हो। / \(|x^2-9|=0\) when \(x^2-9=0\), so \(x=\pm3\). In exams, modulus is zero only when the inside expression is zero.
\(x^2=2|x|\) में (t=|x|) रखने पर \(t^2=2t\) मिलता है। परीक्षा में \(x^2=|x|^2\) का उपयोग करें। / In \(x^2=2|x|\), putting (t=|x|) gives \(t^2=2t\). In exams, use \(x^2=|x|^2\).
हर (x-5=0) से (x=5) और समान घातों के अग्र गुणांकों का अनुपात (3) है। परीक्षा में दोनों आसमापी अलग नियम से निकालें। / The denominator (x-5=0) gives (x=5), and the ratio of leading coefficients is (3). In exams, find the two asymptotes using different rules.
मापांक ग्राफ का शीर्ष (x=-4) है और उसके बाद ग्राफ बढ़ता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का दायां भाग बढ़ता हुआ याद रखें। / The modulus graph has vertex at (x=-4), and after that it increases. In exams, remember the right arm of a (V)-graph is increasing.
मान लें \(t=|x|\ge0\) तब (f=t-2-4t=(t-2)2-4) है। परीक्षा में (|x|) को नए चर की तरह लेकर न्यूनतम निकालें। / Let \(t=|x|\ge0\), then (f=t-2-4t=(t-2)2-4). In exams, use (|x|) as a new variable to find the minimum.
\(\sqrt{x+1}=x-1\) में \(x\ge1\) और (x=3) रखने पर दोनों (2) हैं। परीक्षा में वर्ग करने से पहले दाईं ओर अनऋणात्मक होनी चाहिए। / In \(\sqrt{x+1}=x-1\), \(x\ge1\), and at (x=3) both sides are (2). In exams, the right side must be non-negative before squaring.
हर \(x^2+4\) का न्यूनतम (4) (x=0) पर है इसलिए अधिकतम \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में हर छोटा होने पर भिन्न बड़ा होता है। / The denominator \(x^2+4\) has minimum (4) at (x=0), so the maximum is \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). In exams, a smaller denominator makes the fraction larger.
(0=-|x+3|+5) से (|x+3|=5) इसलिए (x=-8) या (x=2)। परीक्षा में मापांक के बाद दोनों दिशाओं में दूरी जोड़ें। / From (0=-|x+3|+5), (|x+3|=5), so (x=-8) or (x=2). In exams, add the distance in both directions after modulus.
(x)-अक्ष में परावर्तन से (y=-|x|) और (2) ऊपर से (y=-|x|+2) मिलता है। परीक्षा में परावर्तन और विस्थापन को अलग लिखें। / Reflection in the (x)-axis gives (y=-|x|), and shifting (2) up gives (y=-|x|+2). In exams, write reflection and shift separately.
\(y=-\frac{1}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न विपरीत होते हैं। परीक्षा में ऋणात्मक पारस्परिक ग्राफ को दूसरे और चौथे चतुर्थांश से जोड़ें। / In \(y=-\frac{1}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. In exams, connect the negative reciprocal graph with the second and fourth quadrants.
(2) और (8) के बीच दोनों बिंदुओं से कुल दूरी स्थिर (6) रहती है। परीक्षा में दो मापांकों के योग को दूरी की तरह समझें। / Between (2) and (8), the total distance from both points remains constant (6). In exams, interpret the sum of two moduli as distance.
A. बाएं से मान (-2) के पास और बिंदु पर मान (-1)/left value near (-2) and value (-1) at the point
Explanation
Simple Explanation
([-2,-1)) पर मान (-2) है लेकिन \(\lfloor-1\rfloor=-1\)। परीक्षा में सीढ़ीनुमा ग्राफ के खुले और बंद बिंदु देखें। / On ([-2,-1)), the value is (-2), but \(\lfloor-1\rfloor=-1\). In exams, watch open and closed points on a step graph.
(|x-2|) में (x=2) से समान दूरी वाले मान समान (y) देते हैं। परीक्षा में (|x-a|) वाले ग्राफ की सममिति रेखा (x=a) होती है। / In (|x-2|), points equally distant from (x=2) give the same (y). In exams, the symmetry line of a (|x-a|) graph is (x=a).
(|x+2|+1=6) से (|x+2|=5) इसलिए (x=-7) या (x=3)। परीक्षा में क्षैतिज रेखा से प्रतिच्छेद के लिए (y)-मान बराबर करें। / From (|x+2|+1=6), (|x+2|=5), so (x=-7) or (x=3). In exams, set the (y)-values equal for intersection with a horizontal line.
(-3) और (1) के बीच कुल दूरी न्यूनतम (4) है और बाहर बढ़ती है। परीक्षा में दूरी वाले मापांक योग से न्यूनतम दूरी निकालें। / Between (-3) and (1), the total distance has minimum (4), and it increases outside. In exams, use the distance idea for sums of moduli.
