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A. शीर्ष ((2,3)) और न्यूनतम (3)/vertex ((2,3)) and minimum (3)
Explanation
Simple Explanation
(|x-2|) का न्यूनतम (0) (x=2) पर होता है इसलिए (y=3) है। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखें। / The minimum of (|x-2|) is (0) at (x=2), so (y=3). In exams, set the inside of the modulus equal to (0).
परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष ((-4,5)) है। परीक्षा में (y=a(x-h)2+k) में शीर्ष ((h,k)) पहचानें। / The parabola opens downward and its vertex is ((-4,5)). In exams, identify the vertex ((h,k)) in (y=a(x-h)2+k).
वर्गमूल के लिए \(7-2x\ge 0\) इसलिए \(x\le \frac{7}{2}\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि अनऋणात्मक रखें। / For the square root, \(7-2x\ge 0\), so \(x\le \frac{7}{2}\). In exams, keep the expression inside the square root non-negative.
हर (x-1) शून्य होने पर (x=1) लंबवत आसमापी है और बाहरी (-2) से (y=-2) क्षैतिज आसमापी है। परीक्षा में हर और ऊर्ध्व विस्थापन दोनों देखें। / The denominator (x-1) gives vertical asymptote (x=1), and the outside (-2) gives horizontal asymptote (y=-2). In exams, check both the denominator and vertical shift.
\(x\ge 1\) पर (|x+3|=x+3) और (|x-1|=x-1) इसलिए (y=4)। परीक्षा में मापांक को अंतराल के अनुसार खोलें। / For \(x\ge 1\), (|x+3|=x+3) and (|x-1|=x-1), so (y=4). In exams, open modulus expressions interval-wise.
हर \(x\in[-2,-1\)) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक (-2) है। परीक्षा में ऋणात्मक दशमलवों में नीचे वाले पूर्णांक को चुनें। / For every \(x\in[-2,-1\)), the greatest integer is (-2). In exams, for negative decimals choose the lower integer.
(x=5) पर (x-5=0) इसलिए साइनम मान (0) है। परीक्षा में साइनम में शून्य वाली स्थिति अलग रखें। / At (x=5), (x-5=0), so the signum value is (0). In exams, handle the zero case separately in signum functions.
(x-2-6x+8=(x-2)(x-4)) इसलिए शून्य (x=2) और (x=4) हैं। परीक्षा में (x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें। / Since (x-2-6x+8=(x-2)(x-4)), the zeroes are (x=2) and (x=4). In exams, set (y=0) for (x)-intercepts.
(2|x|-6=0) से (|x|=3) मिलता है इसलिए \(x=\pm3\)। परीक्षा में मापांक समीकरण में दोनों चिह्न लें। / From (2|x|-6=0), (|x|=3), so \(x=\pm3\). In exams, take both signs in modulus equations.
\(\sqrt{x+2}\ge0\) इसलिए (f(x)\ge -4)। परीक्षा में वर्गमूल का न्यूनतम (0) लेकर ऊर्ध्व विस्थापन जोड़ें। / Since \(\sqrt{x+2}\ge0\), (f(x)\ge -4). In exams, take the square-root minimum (0) and add the vertical shift.
(x-2) दाईं ओर (2) इकाई और (+1) ऊपर (1) इकाई खिसकाता है। परीक्षा में (x-a) को दाईं ओर मानें। / (x-2) shifts the graph (2) units right and (+1) shifts it (1) unit up. In exams, read (x-a) as a right shift.
समान करने पर \(x^2=2x+3\) यानी \(x^2-2x-3=0\) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों (y)-मान बराबर रखें। / Equating gives \(x^2=2x+3\), that is \(x^2-2x-3=0\). In exams, set the two (y)-values equal for intersections.
हर (x+3) शून्य होने पर (x=-3) मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ का लंबवत आसमापी हर से निकालें। / The denominator (x+3) becomes zero at (x=-3). In exams, find the vertical asymptote of a reciprocal graph from the denominator.
(2x+6=0) से (x=-3) और न्यूनतम (0) मिलता है। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष खोजें। / From (2x+6=0), (x=-3) and the minimum is (0). In exams, find the vertex by setting the inside of the modulus to (0).
\(x\in[5,6\)) होने पर \(x-2\in[3,4\)) इसलिए \(\lfloor x-2\rfloor=3\)। परीक्षा में पहले अंदर का अंतराल बदलें। / When \(x\in[5,6\)), \(x-2\in[3,4\)), so \(\lfloor x-2\rfloor=3\). In exams, first transform the inside interval.
A. केंद्र ((0,0)) और त्रिज्या (3) वाला वृत्त/circle with centre ((0,0)) and radius (3)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग करने पर \(x^2+y^2=9\) और \(y\ge0\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{r^2-x^2}\) को ऊपरी अर्धवृत्त पहचानें। / Squaring gives \(x^2+y^2=9\) with \(y\ge0\). In exams, identify \(\sqrt{r^2-x^2}\) as the upper semicircle.
(x<0) पर (|x|=-x) इसलिए (f(x)=-x-x=-2x)। परीक्षा में मापांक को चिह्न के अनुसार खोलें। / For (x<0), (|x|=-x), so (f(x)=-x-x=-2x). In exams, open modulus according to the sign.
(x)-अक्ष के लिए \(x^3-8=0\) इसलिए (x=2)। परीक्षा में घन समीकरण में वास्तविक मूल ध्यान से निकालें। / For the (x)-axis, \(x^3-8=0\), so (x=2). In exams, find the real root of a cubic carefully.
\(\frac{x}{|x|}=1\) जब (x>0) और (-1) जब (x<0) होता है। परीक्षा में (x=0) को प्रांत से हटाना न भूलें। / \(\frac{x}{|x|}=1\) for (x>0) and (-1) for (x<0). In exams, remember to exclude (x=0) from the domain.
\(\sqrt{x-1}\ge0\) और सबसे छोटा मान (0) (x=1) पर है इसलिए \(y\le3\)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल वाले ग्राफ का अधिकतम आरंभिक बिंदु पर देखें। / Since \(\sqrt{x-1}\ge0\) and its least value is (0) at (x=1), \(y\le3\). In exams, for a negative square-root graph, check the starting point for maximum.
सममिति अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\) है। परीक्षा में द्विघात ग्राफ की अक्ष सूत्र से निकालें। / The axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\). In exams, use the formula for the axis of a quadratic graph.
अंश और हर की घात समान है इसलिए अग्र गुणांकों का अनुपात \(\frac{2}{1}=2\) है। परीक्षा में समान घातों पर अग्र गुणांक का अनुपात लें। / The degrees of numerator and denominator are equal, so the ratio of leading coefficients is \(\frac{2}{1}=2\). In exams, use the ratio of leading coefficients for equal degrees.
\(\lfloor3.1\rfloor+1=4\) इसलिए ((3.1,3)) ग्राफ पर नहीं है। परीक्षा में बिंदु जांचते समय पहले (x) का महत्तम पूर्णांक निकालें। / \(\lfloor3.1\rfloor+1=4\), so ((3.1,3)) is not on the graph. In exams, first find the greatest integer of (x) while checking a point.
दो बिंदुओं (4) और (-2) के बीच दूरी (6) है इसलिए योग का न्यूनतम (6) है। परीक्षा में (|x-a|+|x-b|) का न्यूनतम (|a-b|) याद रखें। / The distance between (4) and (-2) is (6), so the minimum sum is (6). In exams, remember the minimum of (|x-a|+|x-b|) is (|a-b|).
\(x^3=x\) से (x(x-1)(x+1)=0) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों फलनों को बराबर करें। / From \(x^3=x\), we get (x(x-1)(x+1)=0). In exams, equate the two functions for intersections.
(|x+1|) का न्यूनतम (0) (x=-1) पर है इसलिए (y=6) अधिकतम है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणक वाले मापांक में शीर्ष अधिकतम होता है। / The minimum of (|x+1|) is (0) at (x=-1), so (y=6) is maximum. In exams, a modulus graph with a negative multiplier has its maximum at the vertex.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है सभी वास्तविक (x) के लिए। परीक्षा में वर्गमूल और वर्ग साथ हों तो मापांक याद रखें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\) for all real (x). In exams, remember modulus when square root and square appear together.
\(x^2+1\) सम फलन है और इसका न्यूनतम (1) है इसलिए (x)-अक्ष नहीं कटता। परीक्षा में सममिति और न्यूनतम दोनों जांचें। / \(x^2+1\) is an even function and its minimum is (1), so it does not cut the (x)-axis. In exams, check both symmetry and minimum value.
हर (|x|) (x=0) पर शून्य हो जाता है इसलिए (0) हटता है। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाला मान प्रांत से निकालें। / The denominator (|x|) becomes zero at (x=0), so (0) is excluded. In exams, remove values that make the denominator zero.
(x+5) बाईं ओर (5) इकाई और (-2) नीचे खिसकाता है। परीक्षा में (x+a) को बाईं ओर विस्थापन समझें। / (x+5) shifts the graph (5) units left and (-2) shifts it downward. In exams, read (x+a) as a left shift.
\(\lfloor2.3\rfloor=2\) और \(\lfloor-2.3\rfloor=-3\) इसलिए मान (5) है। परीक्षा में ऋणात्मक महत्तम पूर्णांक में गलती न करें। / \(\lfloor2.3\rfloor=2\) and \(\lfloor-2.3\rfloor=-3\), so the value is (5). In exams, avoid mistakes with greatest integers of negative numbers.
(x>2) पर दोनों (x+2) और (x-2) धनात्मक हैं इसलिए दोनों साइनम मान (1) हैं। परीक्षा में हर साइनम पद का चिह्न अलग जांचें। / For (x>2), both (x+2) and (x-2) are positive, so both signum values are (1). In exams, check the sign of each signum term separately.
हर (x-2-9=(x-3)(x+3)) शून्य होने पर \(x=\pm3\) मिलता है। परीक्षा में हर के शून्यों से लंबवत आसमापी खोजें। / The denominator (x-2-9=(x-3)(x+3)) is zero at \(x=\pm3\). In exams, find vertical asymptotes from the zeroes of the denominator.
\(x\ge2\) पर (|x|=x) और (|x-2|=x-2) इसलिए (y=2)। परीक्षा में मापांक को सही अंतराल में खोलें। / For \(x\ge2\), (|x|=x) and (|x-2|=x-2), so (y=2). In exams, open modulus correctly in the given interval.
A. प्रांत \([-1,\infty\)) और परिसर (\(-\infty,0]\)/domain \([-1,\infty\)) and range (\(-\infty,0]\)
Explanation
Simple Explanation
\(x+1\ge0\) से प्रांत \([-1,\infty\)) है और ऋण चिह्न से \(y\le0\)। परीक्षा में वर्गमूल और बाहरी ऋण दोनों का प्रभाव देखें। / From \(x+1\ge0\), the domain is \([-1,\infty\)), and the negative sign gives \(y\le0\). In exams, check both the square root and the outside negative sign.
\(|x^2-4|=0\) तब \(x^2-4=0\) होता है इसलिए \(x=\pm2\)। परीक्षा में मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर की राशि शून्य हो। / \(|x^2-4|=0\) when \(x^2-4=0\), so \(x=\pm2\). In exams, modulus is zero only when the inside expression is zero.
A. (x=0) और (x=1) और (x=-1)/(x=0) and (x=1) and (x=-1)
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(x^2=|x|\) से \(|x|^2=|x|\) मिलता है इसलिए (|x|=0) या (|x|=1)। परीक्षा में \(x^2=|x|^2\) का उपयोग करें। / The equation \(x^2=|x|\) gives \(|x|^2=|x|\), so (|x|=0) or (|x|=1). In exams, use \(x^2=|x|^2\).
हर (x+2=0) से (x=-2) और समान घातों के अग्र गुणांकों का अनुपात (1) है। परीक्षा में दोनों आसमापी अलग नियम से निकालें। / The denominator (x+2=0) gives (x=-2), and the ratio of leading coefficients is (1). In exams, find the two asymptotes using different rules.
मापांक ग्राफ शीर्ष (x=3) तक घटता और फिर बढ़ता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का बायां भाग घटता हुआ याद रखें। / The modulus graph decreases up to the vertex (x=3) and then increases. In exams, remember the left arm of a (V)-graph is decreasing.
मान लें \(t=|x|\ge0\) तब (f=t-2-2t=(t-1)2-1) है। परीक्षा में (|x|) को नए चर की तरह लेकर न्यूनतम निकालें। / Let \(t=|x|\ge0\), then (f=t-2-2t=(t-1)2-1). In exams, use (|x|) as a new variable to find the minimum.
\(\sqrt{x}=x-2\) में \(x\ge2\) और (x=4) रखने पर दोनों (2) होते हैं। परीक्षा में वर्ग करने से पहले शर्त \(x-2\ge0\) देखें। / In \(\sqrt{x}=x-2\), \(x\ge2\), and for (x=4) both sides are (2). In exams, check \(x-2\ge0\) before squaring.
हर \(x^2+1\) का न्यूनतम (1) (x=0) पर है इसलिए भिन्न का अधिकतम (1) है। परीक्षा में हर को छोटा करने से भिन्न बड़ा होता है। / The denominator \(x^2+1\) has minimum (1) at (x=0), so the fraction has maximum (1). In exams, a smaller positive denominator gives a larger fraction.
(0=-|x-2|+4) से (|x-2|=4) इसलिए (x=-2) या (x=6)। परीक्षा में मापांक के बाद दोनों दिशाओं में दूरी जोड़ें। / From (0=-|x-2|+4), (|x-2|=4), so (x=-2) or (x=6). In exams, add the distance in both directions after modulus.
(x)-अक्ष में परावर्तन से \(y=-x^2\) और (3) ऊपर से \(y=-x^2+3\) मिलता है। परीक्षा में परावर्तन और विस्थापन का क्रम ध्यान रखें। / Reflection in the (x)-axis gives \(y=-x^2\), and shifting (3) up gives \(y=-x^2+3\). In exams, track reflection and shift carefully.
\(\frac{1}{x^2}>0\) जब \(x\ne0\) इसलिए ग्राफ ऊपर रहता है और (x=0) पर परिभाषित नहीं। परीक्षा में हर में \(x^2\) होने पर दोनों ओर धनात्मक शाखाएं याद रखें। / \(\frac{1}{x^2}>0\) for \(x\ne0\), so the graph stays above and is undefined at (x=0). In exams, remember positive branches on both sides when \(x^2\) is in the denominator.
(-1) और (3) के बीच दोनों बिंदुओं से कुल दूरी स्थिर (4) रहती है। परीक्षा में दो मापांकों के योग को दूरी की तरह समझें। / Between (-1) and (3), the total distance from both points remains constant (4). In exams, interpret the sum of two moduli as distance.
A. बाएं से मान (2) के पास और बिंदु (3) पर मान (3)/left value near (2) and value (3) at the point
Explanation
Simple Explanation
([2,3)) पर मान (2) है लेकिन \(\lfloor3\rfloor=3\)। परीक्षा में सीढ़ीनुमा ग्राफ में बंद और खुले बिंदु ध्यान से देखें। / On ([2,3)), the value is (2), but \(\lfloor3\rfloor=3\). In exams, watch open and closed endpoints in a step graph.
\(\sqrt{|{-x}|}=\sqrt{|x|}\) इसलिए फलन सम है। परीक्षा में (f(-x)=f(x)) से (y)-अक्ष सममिति पहचानें। / Since \(\sqrt{|{-x}|}=\sqrt{|x|}\), the function is even. In exams, identify (y)-axis symmetry from (f(-x)=f(x)).
(|x-1|+2=4) से (|x-1|=2) इसलिए (x=-1) या (x=3)। परीक्षा में क्षैतिज रेखा से प्रतिच्छेद के लिए (y)-मान बराबर करें। / From (|x-1|+2=4), (|x-1|=2), so (x=-1) or (x=3). In exams, set the (y)-values equal for intersection with a horizontal line.
(0) और (2) के बीच कुल दूरी न्यूनतम (2) है और बाहर बढ़ती है। परीक्षा में दूरी वाले मापांक योग से न्यूनतम दूरी निकालें। / Between (0) and (2), the total distance has minimum (2), and it increases outside. In exams, use the distance idea for sums of moduli.
