Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) must hold. In exams, take the intersection of all conditions.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-9>0\) होना चाहिए। हर में शून्य कभी स्वीकार्य नहीं होता। / The square root is in the denominator, so \(x^2-9>0\) is required. A denominator can never be zero.
यह ऊपरी अर्धवृत्त है और \(4-x^2\) का अधिकतम (4) है। वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता। / This is the upper semicircle and the maximum of \(4-x^2\) is (4). A square root value is never negative.
\(y=\frac{x+1}{x-2}\) से \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), इसलिए \(y\ne 1\)। रैखिक भिन्न फलन में असंभव मान अलग करें। / From \(y=\frac{x+1}{x-2}\), \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), so \(y\ne 1\). For a linear fractional function, isolate the impossible value.
दो बिंदुओं (-1) और (3) से दूरी का योग न्यूनतम (4) होता है। बीच के अंतराल ([-1,3]) पर फलन स्थिर रहता है। / The sum of distances from (-1) and (3) is minimized at (4). On the interval ([-1,3]), the function stays constant.
हर \(1+|x|\ge 1\) है, इसलिए अधिकतम मान (1) है। (x) बढ़ने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं बनता। / The denominator \(1+|x|\ge 1\), so the maximum value is (1). As (x) grows, the value approaches (0) but never becomes (0).
(x-2+4x+7=(x+2)2+3), इसलिए अंदर का न्यूनतम (3) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{3}\) मिलेगा। / Since (x-2+4x+7=(x+2)2+3), the inside minimum is (3). Taking the square root gives the minimum \(\sqrt{3}\).
वर्गमूल के लिए \(x\ge -1\) और हर के लिए \(x\ne \pm 2\) चाहिए। (-2) पहले से प्रांत में नहीं है, इसलिए केवल (2) हटेगा। / The square root needs \(x\ge -1\), and the denominator needs \(x\ne \pm 2\). Since (-2) is already outside the domain, only (2) is removed.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x\ge 1\) और \(x\ge -2\) चाहिए। संयुक्त शर्त अधिक कठोर \(x\ge 1\) है। / Both square roots need \(x\ge 1\) and \(x\ge -2\). The stricter combined condition is \(x\ge 1\).
\(y=\frac{2x-3}{x+4}\) से \(x=\frac{-3-4y}{y-2}\), इसलिए (y=2) असंभव है। अनुपात में प्रमुख गुणांकों का अनुपात अक्सर छूटा मान देता है। / From \(y=\frac{2x-3}{x+4}\), \(x=\frac{-3-4y}{y-2}\), so (y=2) is impossible. In such fractions, the ratio of leading coefficients often gives the missing value.
(f(x)=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। सिरा (x=1) और (x=5) पर अधिकतम (6) मिलता है। / Since (f(x)=(x-3)2+2), the minimum is (2). At the endpoints (x=1) and (x=5), the maximum is (6).
बिंदुओं (2) और (-2) से दूरी के अंतर का मान (-4) से (4) तक रहता है। अंतरालों पर चिह्न हटाकर जांचना सुरक्षित तरीका है। / The difference of distances from (2) and (-2) stays between (-4) and (4). Removing signs interval-wise is the safe method.
हर ((x+2)2+1\ge 1) है, इसलिए अधिकतम मान (1) है। हर बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator ((x+2)2+1\ge 1), so the maximum value is (1). As the denominator grows, the value approaches (0).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर वाले वर्गमूल के लिए (4-x>0) चाहिए। दोनों मिलाकर \(0\le x<4\) मिलता है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator square root, (4-x>0) is needed. Together, \(0\le x<4\).
सरलीकरण के बाद भी मूल हर में \(x-2\ne 0\) रहना चाहिए। हटे हुए बिंदु को प्रांत में वापस न जोड़ें। / Even after simplification, the original denominator requires \(x-2\ne 0\). Do not add the cancelled point back into the domain.
\(x\ne 2\) पर फलन (x+2) के बराबर है। इसलिए (x=2) से मिलने वाला मान (4) परिसर में नहीं आता। / For \(x\ne 2\), the function equals (x+2). Thus the value (4), which would occur at (x=2), is not in the range.
वर्गमूल के लिए \(|x|-3\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(|x|\ge 3\), यानी \(x\le -3\) या \(x\ge 3\)। / The square root needs \(|x|-3\ge 0\). Hence \(|x|\ge 3\), so \(x\le -3\) or \(x\ge 3\).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(2-\sqrt{x}\ne 0\) चाहिए। इसलिए (x=4) हटाया जाएगा। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator, \(2-\sqrt{x}\ne 0\) is needed. Hence (x=4) is removed.
हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(|x|-2\ne 0\)। इससे \(x\ne -2\) और \(x\ne 2\) मिलता है। / The denominator must not be zero, so \(|x|-2\ne 0\). This gives \(x\ne -2\) and \(x\ne 2\).
\(|x|\ge 0\) होने से न्यूनतम (0) है। मान (1) के पास जाता है पर बराबर नहीं होता। / Since \(|x|\ge 0\), the minimum is (0). The value approaches (1) but never equals it.
धनात्मक (x) पर मान कम से कम (2) और ऋणात्मक (x) पर अधिक से अधिक (-2) होता है। दोनों स्थितियों को अलग जांचें। / For positive (x), the value is at least (2), and for negative (x), it is at most (-2). Check both cases separately.
(\sqrt{x-2-4x+4}=\sqrt{(x-2)2}=|x-2|)। इसका न्यूनतम (0) है और यह सभी अनऋणात्मक मान लेता है। / (\sqrt{x-2-4x+4}=\sqrt{(x-2)2}=|x-2|). Its minimum is (0), and it takes all non-negative values.
\(\sqrt{16-x^2}\) का अधिकतम (4) है, इसलिए भिन्न का न्यूनतम \(\frac{1}{4}\) है। किनारों के पास हर (0) की ओर जाता है। / The maximum of \(\sqrt{16-x^2}\) is (4), so the minimum fraction is \(\frac{1}{4}\). Near the endpoints, the denominator tends to (0).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से बड़ा नहीं सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। (4) शामिल नहीं है, इसलिए मान (4) नहीं आएगा। / The greatest integer function gives the largest integer not greater than (x). Since (4) is not included, the value (4) will not occur.
भिन्नांश भाग हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और (1) से छोटा होता है। पूर्णांक (x) पर मान (0) मिलता है। / The fractional part is always at least (0) and less than (1). At integer (x), the value is (0).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<-2) या \(x\ge 1\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign chart gives (x<-2) or \(x\ge 1\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+3}{5-x}\ge 0\) और \(x\ne 5\) चाहिए। संकेत जांच से ([-3,5)) मिलता है। / The square root needs \(\frac{x+3}{5-x}\ge 0\) and \(x\ne 5\). Sign checking gives ([-3,5)).
\(\sqrt{x-a}\) के लिए \(x-a\ge 0\), यानी \(x\ge a\)। दिए गए प्रांत से (a=7) है। / For \(\sqrt{x-a}\), \(x-a\ge 0\), so \(x\ge a\). Comparing with the given domain gives (a=7).
हर शून्य होने पर (x=a) हटता है। दिए गए हटे हुए मान से (a=5) है। / The denominator becomes zero at (x=a), so that value is removed. The removed value is (5), hence (a=5).
ऊपर खुलने वाला परवलय तभी \([4,\infty\)) देता है जब (a>0)। (a=0) पर परिसर केवल ({4}) होगा। / An upward-opening parabola gives \([4,\infty\)) only when (a>0). If (a=0), the range is only ({4}).
मान (t=(x+1)2\ge 0) रखें, तो \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। इसलिए मान (1) से बड़े और (4) तक हैं। / Put (t=(x+1)2\ge 0), then \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). Hence the values are greater than (1) and up to (4).
(2x-x-2=1-(x-1)2), जिसका मान (0) से (1) तक है। वर्गमूल के बाद (3) जोड़ने से परिसर ([3,4]) है। / Since (2x-x-2=1-(x-1)2), its value lies from (0) to (1). After square root and adding (3), the range is ([3,4]).
हर (x-2-6x+10=(x-3)2+1) का न्यूनतम (1) है। इसलिए भिन्न का अधिकतम (1) होगा। / The denominator (x-2-6x+10=(x-3)2+1) has minimum (1). Therefore the maximum fraction is (1).
सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और (x=0) पर अधिकतम (4) है। सममिति वाले वर्गमूल फलनों में मध्य बिंदु भी जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at (x=0) the maximum is (4). For symmetric radical functions, also check the midpoint.
दोनों लघुगणकों के अंदर धनात्मक होना चाहिए। इसलिए (x>1) और (x<5), अर्थात (1<x<5)। / Both logarithm inputs must be positive. Hence (x>1) and (x<5), so (1<x<5).
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_{2}x\ne 0\) चाहिए। \(\log_{2}x=0\) पर (x=1) हटेगा। / The logarithm needs (x>0), and the denominator needs \(\log_{2}x\ne 0\). Since \(\log_{2}x=0\) at (x=1), remove (1).
\(|2x-1|\ge 0\), इसलिए सबसे छोटा मान (3) है। यह \(x=\frac{1}{2}\) पर मिलता है। / Since \(|2x-1|\ge 0\), the least value is (3). It occurs at \(x=\frac{1}{2}\).
\(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), इसलिए \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\)। (x) बड़ा होने पर मान असीम रूप से घटता है। / Since \(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\). As (x) grows, the value decreases without bound.
A. प्रांत \( \mathbb{R}\setminus{0} \), परिसर ( {-1,1} )/domain \( \mathbb{R}\setminus{0} \), range ( {-1,1} )
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर हर (0) हो जाता है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) है। / At (x=0), the denominator becomes (0). For positive (x), the value is (1), and for negative (x), it is (-1).
वर्गमूल के लिए \(x^2-1\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(|x|\ge 1\), यानी \(x\le -1\) या \(x\ge 1\)। / The square root needs \(x^2-1\ge 0\). Thus \(|x|\ge 1\), so \(x\le -1\) or \(x\ge 1\).
प्रांत में \(x^2-1\) का न्यूनतम (0) है। (x) बड़ा होने पर वर्गमूल सभी बड़े अनऋणात्मक मान लेता है। / On the domain, the minimum of \(x^2-1\) is (0). As (x) grows, the square root takes all larger non-negative values.
\(|4x|\le x^2+4\) क्योंकि ((x-2)2\ge 0) और ((x+2)2\ge 0)। इसलिए मान (-1) से (1) तक हैं और दोनों मिलते हैं। / \(|4x|\le x^2+4\) because ((x-2)2\ge 0) and ((x+2)2\ge 0). Hence values lie from (-1) to (1), and both endpoints occur.
वर्गमूल के लिए ((x-2)(6-x)\ge 0), इसलिए \(x\in[2,6]\) है। हर के कारण (x=4) हटेगा। / For the square root, ((x-2)(6-x)\ge 0), so \(x\in[2,6]\). Because of the denominator, (x=4) is removed.
मान \(t=x^2\ge 0\) रखें और \(t\ne 4\)। तब \(f=\frac{t}{t-4}\), जिससे \(t\in[0,4\)) पर (\(-\infty,0]\) और (t>4) पर (\(1,\infty\)) मिलता है। / Put \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 4\). Then \(f=\frac{t}{t-4}\), giving (\(-\infty,0]\) for \(t\in[0,4\)) and (\(1,\infty\)) for (t>4).
लघुगणक के अंदर \(\frac{x-2}{7-x}>0\) होना चाहिए। संकेत जांच से केवल (2<x<7) मिलता है। / The logarithm input must satisfy \(\frac{x-2}{7-x}>0\). A sign check gives only (2<x<7).
\(t=\sqrt{x+1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+2}\)। (t=0) पर मान (0) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / Put \(t=\sqrt{x+1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+2}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) but never equals (1).
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1) है। इसलिए (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), अतः परिसर ((3,4]) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1). So (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), hence the range is ((3,4]).
