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ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। यह माध्यम स्तर की सबसे सामान्य गलती है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. This is the most common medium-level mistake.
पहले (5) घटाएँ फिर (2) से भाग दें इसलिए (x<4) मिलता है। चिन्ह तभी उलटेगा जब भाग ऋणात्मक संख्या से हो। / Subtract (5) first and then divide by (2) so (x<4). The sign reverses only when division is by a negative number.
(7) घटाने पर \(-4x\le 12\) और (-4) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(x\ge -3\) होगा। ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / After subtracting (7) we get \(-4x\le 12\) and dividing by (-4) reverses the sign to \(x\ge -3\). Pay special attention to negative coefficients.
(x=2) रखने पर (5-2=3) और \(3\ge 3\) सत्य है। विकल्प जाँचते समय बराबरी वाले चिन्ह को न भूलें। / Putting (x=2) gives (5-2=3) and \(3\ge 3\) is true. While checking options do not ignore equality signs.
A. (5) पर भरा बिंदु और बाईं ओर छाया/closed dot at (5) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए (5) पर भरा बिंदु बनेगा। छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। / The symbol \(\le\) includes equality so a closed dot is placed at (5). Smaller numbers lie to the left.
(3) शामिल है इसलिए ([ \ ) लगेगा और (8) शामिल नहीं है इसलिए (\ )) लगेगा। सीमा बिंदुओं पर बराबरी जाँचें। / The value (3) is included so use ([ \ ) and (8) is not included so use (\ )). Check equality at endpoints.
(4>-2) और \(4\le 4\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त असमानता में हर शर्त अलग से जाँचें। / Both (4>-2) and \(4\le 4\) are true. In a compound inequality check every condition separately.
दोनों पक्षों से (3) घटाने पर \(x\ge 7\) मिलता है। समान संख्या घटाने से चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (3) from both sides gives \(x\ge 7\). Subtracting the same number does not change the sign.
(2) जोड़ने पर \(\frac{x}{3}>3\) और (3) से गुणा करने पर (x>9) मिलता है। धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिन्ह वही रहता है। / Adding (2) gives \(\frac{x}{3}>3\) and multiplying by (3) gives (x>9). Multiplication by a positive number keeps the sign unchanged.
दोनों पक्षों से समान संख्या घटाने पर असमानता का प्रकार वही रहता है। \(\le\) में बराबरी की संभावना बनी रहती है। / Subtracting the same number from both sides keeps the inequality type unchanged. The symbol \(\le\) still allows equality.
(x+4<10) से (x<6) मिलता है। बाकी विकल्प (x>6) देते हैं या अलग दिशा देते हैं। / From (x+4<10) we get (x<6). The other options give (x>6) or a different direction.
हल \(2x\ge 8\) यानी \(x\ge 4\) है इसलिए न्यूनतम पूर्णांक (4) है। पहले वास्तविक हल निकालें फिर पूर्णांक चुनें। / The solution is \(2x\ge 8\) so \(x\ge 4\) and the least integer is (4). First find the real solution and then choose the integer.
(7-2x>1) से (-2x>-6) मिलता है और (-2) से भाग देने पर (x<3) होगा। ऋणात्मक भाग में चिन्ह पलटता है। / From (7-2x>1) we get (-2x>-6) and dividing by (-2) gives (x<3). The sign reverses during negative division.
\(x\ge -1\) में (-1) शामिल है और उससे बड़ी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए अंतराल \([-1,\infty\)) है। / In \(x\ge -1\), the value (-1) and all greater numbers are included. Therefore the interval is \([-1,\infty\)).
(5) धनात्मक है इसलिए (5) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता और \(x\le 4\) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह बनाए रखें। / Since (5) is positive, dividing by (5) does not change the sign and gives \(x\le 4\). Keep the equality part of the sign.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। इसलिए (ac>bc) सही है। / Multiplying by a positive number does not change the direction of inequality. Therefore (ac>bc) is correct.
(2x) घटाने और (3) जोड़ने पर (2x<12) मिलता है इसलिए (x<6)। समान पदों को पहले एक तरफ लाएँ। / Subtracting (2x) and adding (3) gives (2x<12) so (x<6). Bring like terms to one side first.
(x) घटाने और (2) घटाने पर \(2x\ge 8\) इसलिए \(x\ge 4\) है। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (x) and (2) gives \(2x\ge 8\) so \(x\ge 4\). Dividing by positive (2) does not change the sign.
सभी भागों से (1) घटाने पर \(-6\le 2x<8\) और (2) से भाग देने पर \(-3\le x<4\) मिलता है। संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-6\le 2x<8\), and dividing by (2) gives \(-3\le x<4\). Change both bounds together in a compound inequality.
A. (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/open dot at (2) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
(x<2) में (2) शामिल नहीं होता और (2) से छोटी संख्याएँ बाईं तरफ होती हैं। इसलिए खुला बिंदु और बाईं छाया सही है। / In (x<2), the value (2) is not included and numbers smaller than (2) lie to the left. Hence an open dot with left shading is correct.
कथन में जोड़ने और कम होने की बात है इसलिए (x+8<20) बनेगा। शब्दों को प्रतीकों में बदलते समय क्रिया पहचानें। / The statement says add and less than, so it becomes (x+8<20). While translating words to symbols, identify the operation carefully.
अधिक नहीं का अर्थ \(\le\) होता है इसलिए \(3y\le 15\)। भाषा आधारित प्रश्नों में ऐसे वाक्यांश याद रखें। / Not more than means \(\le\), so \(3y\le 15\). Remember such phrases in language-based questions.
(6) घटाने पर \(-3x\le 6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge -2\) मिलता है। ऋणात्मक विभाजन में चिन्ह उलटें। / Subtracting (6) gives \(-3x\le 6\), and dividing by (-3) gives \(x\ge -2\). Reverse the sign in negative division.
(x=0) रखने पर (-0+2=2) और \(2\ge 2\) सत्य है। बराबरी वाली असमानता में समान मान भी मान्य है। / Putting (x=0) gives (-0+2=2) and \(2\ge 2\) is true. Equality is allowed in inequalities with equality signs.
असमानता से (2x<8) यानी (x<4) मिलता है इसलिए (x=3) हल है। लेकिन (x=4) चाहिए था इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं? / The inequality gives (2x<8), so (x<4). Among the given values (0,2,3,-1), all satisfy it, so no listed value is not a solution.
(3) से गुणा करने पर \(2x-1\le 15\) और फिर \(2x\le 16\) इसलिए \(x\le 8\)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives \(2x-1\le 15\), then \(2x\le 16\), so \(x\le 8\). Multiplication by a positive denominator does not change the sign.
(2) से गुणा करने पर (5-x>6) और फिर (-x>1) मिलता है। (-1) से गुणा करने पर (x<-1) होगा। / Multiplying by (2) gives (5-x>6), then (-x>1). Multiplying by (-1) gives (x<-1).
\(x\ge 1\) में (2) जोड़ने पर \(x+2\ge 3\) मिलता है। समान संख्या जोड़ना सुरक्षित रूपांतरण है। / Adding (2) to \(x\ge 1\) gives \(x+2\ge 3\). Adding the same number is a safe transformation.
D. (x) (12) से अधिक या बराबर है/(x) is greater than or equal to (12)
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) का अर्थ अधिक या बराबर होता है। प्रतीक पढ़ने की शुद्धता शब्द आधारित प्रश्नों में जरूरी है। / The symbol \(\ge\) means greater than or equal to. Accurate reading of symbols is essential in word-based questions.
दोनों पक्षों में (4) जोड़ने से क्रम नहीं बदलता। इसलिए (x+4<y+4) रहेगा। / Adding (4) to both sides does not change the order. Hence (x+4<y+4) remains true.
(2) से भाग देने पर (x-3>4) और फिर (x>7) मिलता है। कोष्ठक वाले प्रश्न में पहले सरल रूप बनाएँ। / Dividing by (2) gives (x-3>4), then (x>7). In bracket questions simplify first.
सरलीकरण से \(3x+6\le 2x+11\) और \(x\le 5\) मिलता है। समान पदों को ठीक से मिलाएँ। / Simplifying gives \(3x+6\le 2x+11\), hence \(x\le 5\). Combine like terms carefully.
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता इसलिए \(x^2\ge 0\) हमेशा सत्य है। यह असमानता का मूल विचार समझाता है। / The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge 0\) is always true. This shows a basic idea of inequalities.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए (x=5) मान्य है। सख्त चिन्हों (<) और (>) में सीमा शामिल नहीं होती। / The symbol \(\le\) includes equality, so (x=5) is allowed. Strict signs (<) and (>) do not include the boundary.
दोनों पक्षों में (7) जोड़ने पर \(x\ge 5\) मिलता है। जोड़ से असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Adding (7) to both sides gives \(x\ge 5\). Addition does not change the direction of inequality.
(10) घटाने पर (-2x<-6) और (-2) से भाग देने पर (x>3) होता है। ऋणात्मक भाग चिन्ह पलट देता है। / Subtracting (10) gives (-2x<-6), and dividing by (-2) gives (x>3). Negative division reverses the sign.
(1<x) में (1) शामिल नहीं है जबकि (6) शामिल है। इसलिए (x=1) संभव नहीं है। / In (1<x), the value (1) is not included, while (6) is included. Therefore (x=1) is not possible.
(\(- \infty,2]\) में (2) शामिल है और उससे छोटी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए \(x\le 2\) सही है। / The interval (\(- \infty,2]\) includes (2) and all smaller numbers. Hence \(x\le 2\) is correct.
(-2) से भाग देने पर असमानता उलटती है इसलिए \(x\le -5\)। नकारात्मक गुणांक वाले प्रश्न में चिन्ह बदलना अनिवार्य है। / Dividing by (-2) reverses the inequality, so \(x\le -5\). In questions with a negative coefficient, changing the sign is essential.
यह असमानता का संचरण गुण है इसलिए \(a\le c\) निष्कर्ष निकलेगा। श्रृंखला असमानताओं में क्रम को ध्यान से पढ़ें। / This is the transitive property of inequalities, so \(a\le c\) follows. Read the order carefully in chain inequalities.
कम से कम का अर्थ (9) या उससे अधिक होता है इसलिए \(x\ge 9\) है। शब्दों वाले प्रश्नों में कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least means (9) or more, so the inequality is \(x\ge 9\). In word problems connect at least with \(\ge\).
(4) घटाने पर \(-5x\ge -15\) मिलता है और (-5) से भाग देने पर \(x\le 3\) होगा। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह उलटें। / Subtracting (4) gives \(-5x\ge -15\), and dividing by (-5) gives \(x\le 3\). Reverse the sign when dividing by a negative number.
संभव मान (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) पूर्णांक हैं। बंद और खुली सीमा को अलग-अलग जाँचें। / The possible values are (2,3,4,5,6), so there are (5) integers. Check closed and open endpoints separately.
(-4) शामिल नहीं है इसलिए खुला ब्रैकेट और (1) शामिल है इसलिए बंद ब्रैकेट लगेगा। अंतराल लिखते समय सीमा चिन्ह ध्यान से पढ़ें। / The value (-4) is not included so use an open bracket, and (1) is included so use a closed bracket. Read endpoint symbols carefully while writing intervals.
(2x) घटाने और (4) घटाने पर (3x>-12) मिलता है इसलिए (x>-4)। चर वाले पदों को पहले एक तरफ लाएँ। / Subtracting (2x) and (4) gives (3x>-12), so (x>-4). Bring variable terms to one side first.
वाक्य में (t) से (6) घटाने और \(\le\) की बात है इसलिए \(t-6\le 14\) बनेगा। शब्दों को प्रतीकों में बदलते समय क्रम न बदलें। / The statement says subtract (6) from (t) and use \(\le\), so it becomes \(t-6\le 14\). Do not change the order while translating words into symbols.
सभी भागों को धनात्मक (3) से भाग देने पर \(-2\le x<4\) मिलता है। धनात्मक भाग में असमानता के चिन्ह नहीं बदलते। / Dividing all parts by positive (3) gives \(-2\le x<4\). Inequality signs do not change when dividing by a positive number.
(r<s) को (-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर (-2r>-2s) होता है फिर (7) जोड़ने से दिशा वही रहती है। मिश्रित रूपांतरण में हर चरण का चिन्ह जाँचें। / Multiplying (r<s) by (-2) reverses the sign to (-2r>-2s), and adding (7) keeps the direction. Check the sign at every step in mixed transformations.
(4) से गुणा करने पर \(x+5\ge 8\) और फिर \(x\ge 3\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (4) gives \(x+5\ge 8\), then \(x\ge 3\). Removing a positive denominator does not change the sign.
हल \(3-4x<-9\Rightarrow -4x<-12\Rightarrow x>3\) नहीं बल्कि (x>3) में (x=3) शामिल नहीं होता। सही जाँच में कोई दिया मान हल नहीं है। / The solution is \(3-4x<-9\Rightarrow -4x<-12\Rightarrow x>3\), so (x=3) is not included. None of the listed values satisfies the inequality.
(3x>9) से (x>3) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना सुरक्षित रहता है। / From (3x>9), we get (x>3). In exams, subtracting the same number from both sides keeps the sign unchanged.
\(2x\leq 16\) इसलिए \(x\leq 8\) है। \(\leq\) में सीमा भी हल में शामिल होती है। / Since \(2x\leq 16\), \(x\leq 8\). In \(\leq\), the boundary value is included.
ऋणात्मक संख्या (-4) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। इसलिए (x>-5) सही है। / Dividing by the negative number (-4) reverses the inequality sign. Hence (x>-5) is correct.
((2,7]) में (2) शामिल नहीं और (7) शामिल है। खुले और बंद कोष्ठक को ध्यान से पहचानें। / In ((2,7]), (2) is not included and (7) is included. Identify open and closed brackets carefully.
\(x\geq 10\) मिलता है, इसलिए अंतराल \([10,\infty\)) है। \(\geq\) होने पर (10) शामिल रहेगा। / We get \(x\geq 10\), so the interval is \([10,\infty\)). With \(\geq\), (10) is included.
\(-2x\geq -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\leq 2\) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में चिन्ह पलटना सबसे महत्वपूर्ण है। / \(-2x\geq -4\), and dividing by a negative gives \(x\leq 2\). Reversing the sign is the key step here.
असमानता से (x<4) मिलता है, इसलिए (x=4) शामिल नहीं है। कठोर असमानता में सीमा मान हल नहीं होता। / The inequality gives (x<4), so (x=4) is not included. In a strict inequality, the boundary value is not a solution.
\(\mathbb{N}\) में सामान्यतः \(1,2,3,\ldots\) लिए जाते हैं। इसलिए (5) से छोटे प्राकृतिक मान ({1,2,3,4}) हैं। / Usually, \(\mathbb{N}\) means \(1,2,3,\ldots\). Thus the natural numbers less than (5) are ({1,2,3,4}).
\(4x\geq 12\) से \(x\geq 3\) मिलता है। चर वाले पदों को एक तरफ लाना सरल तरीका है। / From \(4x\geq 12\), we get \(x\geq 3\). Bringing variable terms to one side is a simple method.
\(\frac{x-1}{2}\geq 4\) से \(x\geq 9\) मिलता है। इसलिए न्यूनतम पूर्णांक (9) है। / From \(\frac{x-1}{2}\geq 4\), we get \(x\geq 9\). Hence the least integer is (9).
(\(-\infty,6\)) का अर्थ (6) से छोटे सभी वास्तविक मान हैं। (6) शामिल नहीं है, इसलिए (x<6) सही है। / (\(-\infty,6\)) means all real values less than (6). Since (6) is not included, (x<6) is correct.
सभी भागों से (3) घटाने पर \(-2<2x\leq 8\), इसलिए \(-1<x\leq 4\)। संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएं साथ संभालें। / Subtracting (3) from all parts gives \(-2<2x\leq 8\), so \(-1<x\leq 4\). Handle both bounds together in compound inequalities.
सभी भागों से (2) घटाने पर \(-5\leq x<6\) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह उसी तरफ बना रहता है। / Subtracting (2) from all parts gives \(-5\leq x<6\). The equality sign remains on the same boundary.
\(x\geq -2\) में (-2) शामिल है और मान दाईं ओर जाते हैं। इसलिए \([-2,\infty\)) सही है। / In \(x\geq -2\), (-2) is included and values go to the right. So \([-2,\infty\)) is correct.
(2x<12) से (x<6) मिलता है। समान पदों को मिलाकर सरल रैखिक असमानता बनाएं। / From (2x<12), we get (x<6). Combine like terms to form a simple linear inequality.
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। यह मूलभूत असमानता अवधारणा है। / The square of any real number is never negative. This is a basic inequality concept.
(<) और (>) कठोर असमानताएं हैं क्योंकि बराबरी शामिल नहीं होती। \(\leq\) और \(\geq\) में बराबरी शामिल होती है। / (<) and (>) are strict inequalities because equality is not included. \(\leq\) and \(\geq\) include equality.
\(4x\leq 16\) से \(x\leq 4\) मिलता है। इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक हल (4) है। / From \(4x\leq 16\), we get \(x\leq 4\). Hence the greatest integer solution is (4).
(x-2>4) से (x>6) मिलता है। पहले कोष्ठक खोलना या धनात्मक (3) से भाग देना दोनों सही हैं। / From (x-2>4), we get (x>6). Expanding brackets or dividing by positive (3) both work.
\(6x+2\geq 4x+10\) से \(2x\geq 8\), इसलिए \(x\geq 4\)। कोष्ठक खोलते समय हर पद पर गुणा करें। / \(6x+2\geq 4x+10\) gives \(2x\geq 8\), so \(x\geq 4\). Multiply every term while opening brackets.
A. दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर/When both sides are multiplied by a negative number
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता की दिशा बदलती है। यह रैखिक असमानताओं में सबसे सामान्य गलती है। / Multiplying or dividing by a negative number reverses the inequality direction. This is the most common mistake in linear inequalities.
ऋणात्मक (c) से गुणा करने पर (>) बदलकर (<) हो जाता है। इसलिए (ac<bc) सही है। / Multiplying by negative (c) changes (>) to (<). Therefore (ac<bc) is correct.
(-3x<-9) और (-3) से भाग देने पर (x>3) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह जरूर उलटें। / (-3x<-9), and dividing by (-3) gives (x>3). Always reverse the sign when dividing by a negative.
(x<-1) में (-1) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं। इसलिए खुला कोष्ठक सही है। / In (x<-1), (-1) is not included and all smaller values are included. Hence the open bracket is correct.
कम या बराबर के लिए \(\leq\) चिह्न प्रयोग होता है। शब्दों को गणितीय चिह्नों में बदलना परीक्षा में जरूरी कौशल है। / The symbol \(\leq\) is used for less than or equal to. Translating words into mathematical symbols is an important exam skill.
A. (2) पर खुला वृत्त और दाईं ओर छाया/Open circle at (2) and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
(x>2) में (2) शामिल नहीं है और उससे बड़े मान चाहिए। इसलिए खुला वृत्त और दाईं ओर छाया सही है। / In (x>2), (2) is not included and greater values are needed. So an open circle and right-side shading are correct.
\(4\leq 2x\) से \(2\leq x\), अर्थात \(x\geq 2\)। असमानता को पढ़ते समय दिशा का ध्यान रखें। / From \(4\leq 2x\), we get \(2\leq x\), that is \(x\geq 2\). Pay attention to direction while reading inequalities.
धनात्मक (5) से गुणा करने पर \(2x+1\leq 15\), इसलिए \(x\leq 7\)। धनात्मक हर होने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (5) gives \(2x+1\leq 15\), so \(x\leq 7\). A positive denominator does not reverse the sign.
(-1) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (4) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा। अंतराल लिखते समय दोनों सिरों को अलग जांचें। / (-1) is included, so use a square bracket; (4) is not included, so use a round bracket. Check both endpoints separately while writing intervals.
\(x\leq 0\) में शून्य या उससे छोटे मान आते हैं। (x=-3) ऐसे मानों में से एक है। / \(x\leq 0\) includes zero and all smaller values. (x=-3) is one such value.
(9<3x) से (3<x), यानी (x>3) मिलता है। (3<x) और (x>3) समान अर्थ रखते हैं। / From (9<3x), we get (3<x), meaning (x>3). (3<x) and (x>3) mean the same thing.
A. (5) हल में शामिल है/(5) is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) का अर्थ बड़ा या बराबर होता है, इसलिए (5) शामिल है। संख्या रेखा पर (5) पर बंद वृत्त बनेगा। / \(\geq\) means greater than or equal to, so (5) is included. On the number line, use a closed circle at (5).
ऋणात्मक संख्या का विपरीत धनात्मक होता है। इसलिए (x<0) होने पर (-x>0) है। / The opposite of a negative number is positive. Therefore, if (x<0), then (-x>0).
सीमा मान बराबरी लगाकर मिलता है: (2x+5=x+9), इसलिए (x=4)। सीमा मान से खुला या बंद सिरा तय होता है। / The boundary value is found by using equality: (2x+5=x+9), so (x=4). The boundary value decides the open or closed endpoint.
\(x+3\leq 0\) से \(x\leq -3\) मिलता है। विकल्पों को हल करके मिलान करना तेज तरीका है। / \(x+3\leq 0\) gives \(x\leq -3\). Solving each option and matching is a quick method.
धनात्मक (5) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। इसलिए \(x\leq -4\) सही है। / Dividing by positive (5) does not change the sign. Hence \(x\leq -4\) is correct.
(-5) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलटता है। इसलिए \(x\leq -3\) मिलता है। / Dividing by (-5) reverses the inequality sign. Therefore \(x\leq -3\) is obtained.
(x>1) में (1) शामिल नहीं है और दाईं ओर के मान आते हैं। इसलिए (\(1,\infty\)) सही है। / In (x>1), (1) is not included and values to the right are taken. Hence (\(1,\infty\)) is correct.
दोनों सीमाओं में बराबरी है, इसलिए (2) और (6) शामिल हैं। दिए गए विकल्पों में (x=6) सही है। / Both boundaries include equality, so (2) and (6) are included. Among the options, (x=6) is correct.
\(-\frac{x}{2}>-3\) और ऋणात्मक गुणक हटाने पर (x<6) मिलता है। चिन्ह बदलने की स्थिति पहचानें। / \(-\frac{x}{2}>-3\), and removing the negative factor gives (x<6). Identify when the sign must be reversed.
वाक्य में (3) जोड़ना (x+3) और बड़ा है (>) को दर्शाता है। शब्द आधारित प्रश्नों में पहले चर तय करें। / Increasing by (3) means (x+3), and greater than means (>). In word problems, define the variable first.
सभी भागों से (4) घटाने पर \(3\leq x<8\) मिलता है। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Subtracting (4) from all parts gives \(3\leq x<8\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
\(x\geq 0\) में (0) और सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएं शामिल हैं। इसलिए \([0,\infty\)) सही है। / \(x\geq 0\) includes (0) and all positive real numbers. Therefore \([0,\infty\)) is correct.
एक विद्यार्थी को परीक्षा पास करने के लिए कम से कम (40) अंक चाहिए। यदि उसे पहले से (27) अंक मिल चुके हैं, तो अतिरिक्त अंकों (m) के लिए सही असमानता क्या है?
कम से कम का अर्थ \(\geq\) होता है, इसलिए \(27+m\geq 40\) सही है। शब्द प्रश्नों में पहले मुख्य शब्द का गणितीय चिह्न पहचानें। / At least means \(\geq\), so \(27+m\geq 40\) is correct. In word problems, first identify the mathematical symbol for the key phrase.
अधिक नहीं है का अर्थ \(\leq\) होता है, इसलिए \(2x+5\leq 19\) से \(x\leq 7\) मिलता है। शब्द प्रश्नों में वाक्य को पहले असमानता में बदलें। / Not more than means \(\leq\), so \(2x+5\leq 19\) gives \(x\leq 7\). In word problems, first convert the sentence into an inequality.
(4x>16) से (x>4) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / From (4x>16), we get (x>4). Dividing by a positive number does not change the inequality sign.
\(5x\leq 20\) इसलिए \(x\leq 4\) है। \(\leq\) में सीमा मान भी शामिल होता है। / Since \(5x\leq 20\), \(x\leq 4\). In \(\leq\), the boundary value is also included.
ऋणात्मक (-6) से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। इसलिए (x<-3) सही हल है। / Dividing by negative (-6) reverses the sign. Therefore (x<-3) is the correct solution.
दोनों पक्षों से समान संख्या घटाने पर दिशा नहीं बदलती। ऋणात्मक गुणा और वर्ग के मामलों में विशेष सावधानी चाहिए। / Subtracting the same number from both sides does not change the direction. Negative multiplication and squares need extra care.
([-4,3)) में (-4) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। कोष्ठक देखकर सही असमानता लिखें। / In ([-4,3)), (-4) is included and (3) is not included. Write the inequality by checking the brackets.
\(x\geq -7\) मिलता है इसलिए अंतराल \([-7,\infty\)) होगा। बराबरी होने पर बायां सिरा बंद रहेगा। / We get \(x\geq -7\), so the interval is \([-7,\infty\)). With equality, the left endpoint is closed.
\(-4x\leq -12\) और (-4) से भाग देने पर \(x\geq 3\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह पलटना न भूलें। / \(-4x\leq -12\), and dividing by (-4) gives \(x\geq 3\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
असमानता से (x<5) मिलता है। कठोर असमानता में (x=5) हल में शामिल नहीं होता। / The inequality gives (x<5). In a strict inequality, (x=5) is not included in the solution.
\(\mathbb{W}\) में (0) भी शामिल होता है। इसलिए (4) तक की पूर्ण संख्याएं ({0,1,2,3,4}) हैं। / \(\mathbb{W}\) includes (0). Therefore the whole numbers up to (4) are ({0,1,2,3,4}).
\(3x\geq 21\) से \(x\geq 7\) मिलता है। चर पदों और स्थिर पदों को अलग तरफ रखें। / From \(3x\geq 21\), we get \(x\geq 7\). Keep variable terms and constant terms on separate sides.
\(\frac{x}{4}>3\) इसलिए (x>12) है। धनात्मक (4) से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / \(\frac{x}{4}>3\), so (x>12). Multiplying by positive (4) does not change the sign.
\(\frac{x+3}{2}>6\) से (x>9) मिलता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल (10) है। / From \(\frac{x+3}{2}>6\), we get (x>9). Hence the least integer solution is (10).
(\(-\infty,2]\) का अर्थ (2) तक के सभी मान हैं। (2) शामिल है इसलिए \(\leq\) प्रयोग होगा। / (\(-\infty,2]\) means all values up to (2). Since (2) is included, \(\leq\) is used.
सभी भागों में (1) जोड़ने पर \(3\leq 3x<15\), इसलिए \(1\leq x<5\)। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Adding (1) to all parts gives \(3\leq 3x<15\), so \(1\leq x<5\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
सभी भागों से (4) घटाकर (2) से भाग देने पर \(-6<x\leq 4\) मिलता है। खुली और बंद सीमा अलग पहचानें। / Subtracting (4) from all parts and dividing by (2) gives \(-6<x\leq 4\). Identify open and closed boundaries separately.
(x>-5) में (-5) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर जाते हैं। इसलिए खुला कोष्ठक लगेगा। / In (x>-5), (-5) is not included and values go to the right. So an open bracket is used.
(2x<14) से (x<7) मिलता है। दोनों पक्षों के समान पद घटाकर असमानता सरल करें। / From (2x<14), we get (x<7). Simplify the inequality by subtracting like terms from both sides.
\(x^2\geq 0\) होता है इसलिए \(x^2+1>0\) हमेशा सत्य है। ऐसे प्रश्नों में मूल गुण याद रखें। / Since \(x^2\geq 0\), \(x^2+1>0\) is always true. Remember basic properties in such questions.
\(\geq\) का अर्थ बड़ा या बराबर होता है। इसलिए इसमें सीमा मान भी शामिल होता है। / \(\geq\) means greater than or equal to. Therefore it includes the boundary value.
\(4x\leq 24\) से \(x\leq 6\) मिलता है। इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक हल (6) है। / From \(4x\leq 24\), we get \(x\leq 6\). Hence the greatest integer solution is (6).
(x+1>7) से (x>6) मिलता है। धनात्मक गुणक हटाने पर दिशा वही रहती है। / From (x+1>7), we get (x>6). Removing a positive multiplier keeps the direction unchanged.
\(6x-15\geq x+10\) से \(5x\geq 25\) इसलिए \(x\geq 5\)। कोष्ठक खोलते समय हर पद पर गुणा करें। / \(6x-15\geq x+10\) gives \(5x\geq 25\), so \(x\geq 5\). Multiply every term while opening brackets.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। इसलिए (<) बदलकर (>) होगा। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. Hence (<) changes to (>).
(-3) शामिल है क्योंकि \(\leq\) दिया है। (2) शामिल नहीं है क्योंकि (<) दिया है। / (-3) is included because \(\leq\) is given. (2) is not included because (<) is given.
(-5x<-15) और (-5) से भाग देने पर (x>3) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह अवश्य बदलता है। / (-5x<-15), and dividing by (-5) gives (x>3). The sign must change when dividing by a negative.
\(x\leq -4\) में (-4) शामिल है और सभी छोटे मान शामिल हैं। इसलिए (\(-\infty,-4]\) सही है। / In \(x\leq -4\), (-4) is included and all smaller values are included. Hence (\(-\infty,-4]\) is correct.
असमानता से (x>4) मिलता है। पूर्णांकों में इससे बड़ा सबसे छोटा मान (5) है। / The inequality gives (x>4). Among integers, the smallest value greater than this is (5).
से बड़ा का अर्थ (>) होता है। वाक्य आधारित प्रश्न में सही असमानता चिह्न पहचानना पहला कदम है। / Greater than means (>). In a word-based question, identifying the correct inequality sign is the first step.
A. (1) पर बंद वृत्त और बाईं ओर छाया/Closed circle at (1) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 1\) में (1) शामिल है और छोटे मान चाहिए। इसलिए बंद वृत्त और बाईं ओर छाया सही है। / In \(x\leq 1\), (1) is included and smaller values are needed. So a closed circle and left-side shading are correct.
\(9\geq 3x\) से \(3\geq x\), यानी \(x\leq 3\) मिलता है। दिशा को ठीक से पढ़ना जरूरी है। / From \(9\geq 3x\), we get \(3\geq x\), that is \(x\leq 3\). Reading the direction correctly is important.
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(3x-2\geq 16\), इसलिए \(x\geq 6\)। धनात्मक हर से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (4) gives \(3x-2\geq 16\), so \(x\geq 6\). A positive denominator does not reverse the sign.
(-2) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक और (5) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक लगेगा। दोनों सीमाओं को अलग जांचें। / (-2) is not included, so use a round bracket, and (5) is included, so use a square bracket. Check both boundaries separately.
A. (-2) हल में शामिल नहीं है/(-2) is not included in the solution
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमानता (<) सीमा मान को शामिल नहीं करती। संख्या रेखा पर (-2) पर खुला वृत्त बनेगा। / The strict inequality (<) does not include the boundary value. On the number line, an open circle is drawn at (-2).
(3x>15) से (x>5) मिलता है। बराबरी नहीं है इसलिए (5) शामिल नहीं होगा। / From (3x>15), we get (x>5). Since equality is not present, (5) will not be included.
धनात्मक (x) को ऋणात्मक (-2) से गुणा करने पर परिणाम ऋणात्मक होता है। इसलिए (-2x<0) सही है। / Multiplying positive (x) by negative (-2) gives a negative result. Therefore (-2x<0) is correct.
सीमा मान बराबरी लगाकर मिलता है: (3x+7=x+19), इसलिए (x=6)। सीमा मान से अंतिम अंतराल तय होता है। / The boundary value is found by using equality: (3x+7=x+19), so (x=6). The boundary value decides the final interval.
\(x+1\geq 0\) से \(x\geq -1\) मिलता है। विकल्पों को हल करके मिलान करना उपयोगी तरीका है। / \(x+1\geq 0\) gives \(x\geq -1\). Solving and matching the options is a useful method.
धनात्मक (7) से भाग देने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। इसलिए \(x\geq -3\) है। / Dividing by positive (7) does not change the direction of the inequality. Therefore \(x\geq -3\).
(-7) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(\geq\) हो जाता है। इसलिए \(x\geq -4\) मिलता है। / Dividing by (-7) reverses the sign to \(\geq\). Therefore \(x\geq -4\) is obtained.
\(x\leq 8\) में (8) शामिल है और उससे छोटे सभी मान आते हैं। इसलिए (\(-\infty,8]\) सही है। / In \(x\leq 8\), (8) is included and all smaller values are taken. Hence (\(-\infty,8]\) is correct.
(0) शामिल नहीं है लेकिन (4) शामिल है। इसलिए दिए गए विकल्पों में (x=4) सही है। / (0) is not included, but (4) is included. Therefore (x=4) is correct among the given options.
\(-\frac{x}{3}\geq -4\) से ऋणात्मक गुणक हटाने पर \(x\leq 12\) मिलता है। चिन्ह बदलने की स्थिति पहचानें। / \(-\frac{x}{3}\geq -4\), and removing the negative factor gives \(x\leq 12\). Identify when the sign must be reversed.
संख्या में (8) जोड़ना (x+8) है और से कम का अर्थ (<) होता है। शब्द प्रश्नों में मुख्य क्रिया पहचानें। / Increasing a number by (8) is (x+8), and less than means (<). Identify the main operation in word problems.
A. \(x\geq 9\) में (9) शामिल है/\(x\geq 9\) includes (9)
Explanation
Simple Explanation
(>) सीमा को शामिल नहीं करता लेकिन \(\geq\) सीमा को शामिल करता है। इसी से खुला या बंद वृत्त तय होता है। / (>) does not include the boundary, but \(\geq\) includes it. This decides the open or closed circle.
सभी भागों से (2) घटाने पर \(3\leq x<9\) मिलता है। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Subtracting (2) from all parts gives \(3\leq x<9\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
एक कोचिंग योजना में प्रवेश शुल्क (150) रुपये और मासिक शुल्क (80m) रुपये है। यदि कुल खर्च (550) रुपये से अधिक नहीं होना चाहिए, तो (m) के लिए सही हल क्या है?
खर्च की असमानता \(150+80m\leq 550\) होगी, जिससे \(m\leq 5\) मिलता है। अधिक नहीं का अर्थ \(\leq\) याद रखें। / The cost inequality is \(150+80m\leq 550\), which gives \(m\leq 5\). Remember that not exceed means \(\leq\).
धनात्मक (3) से गुणा करने के बाद \(-6<5-x\leq 12\) मिलता है, फिर ऋणात्मक भाग के कारण दिशा बदलती है। सही हल \(-7\leq x<11\) है। / After multiplying by positive (3), we get \(-6<5-x\leq 12\), then the direction changes because of the negative part. The correct solution is \(-7\leq x<11\).
