C. \(C={x:x\) एक प्राकृतिक संख्या है और (x<1})/\(C={x:x\) is a natural number and (x<1})
Step 1
Concept
Natural numbers usually start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is less than (1) so the set has no element.
Step 3
Exam Tip
In exams first check whether any element satisfies the condition. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्यतः (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (x<1) होने पर कोई प्राकृतिक संख्या नहीं मिलती इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। चरण 3: परीक्षा में पहले देखिए कि शर्त पूरी करने वाला कोई तत्व सच में है या नहीं।
If the number of elements is fixed then the set is finite. चरण 1: इस समुच्चय में तत्वों को गिना जा सकता है। चरण 2: इसमें कुल (4) तत्व हैं इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: यदि तत्वों की संख्या निश्चित हो तो उसे परिमित मानिए।
Changing the order does not change a set so (A=B).
Step 3
Exam Tip
In sets ignore order and compare elements. चरण 1: समान समुच्चयों में वही सभी तत्व होते हैं। चरण 2: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता इसलिए (A=B) है। चरण 3: समुच्चय में क्रम को महत्व न दें केवल तत्व देखें।
The dots \( \ldots \) show that the list continues.
Step 2
Why this answer is correct
Natural numbers do not end so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
A never-ending collection is an infinite set. चरण 1: बिंदु \( \ldots \) दिखाते हैं कि गिनती आगे चलती रहती है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं का अंत नहीं है इसलिए यह अपरिमित समुच्चय है। चरण 3: अनंत तक चलने वाले तत्वों को अपरिमित पहचानिए।
So the set has no element and its number of elements is (0).
Step 3
Exam Tip
When a question says between do not include endpoints unless stated. चरण 1: (5) और (6) के बीच कोई पूर्णांक नहीं आता। चरण 2: इसलिए समुच्चय में कोई तत्व नहीं है और तत्वों की संख्या (0) है। चरण 3: बीच में लिखा हो तो किनारों को शामिल मानने की जल्दी न करें।
\(B=\{0\}\) contains one element (0) so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
Always distinguish ({0}) from \(\varnothing\). चरण 1: एकल समुच्चय में केवल एक तत्व होता है। चरण 2: \(B=\{0\}\) में (0) एक तत्व है इसलिए यह रिक्त नहीं है। चरण 3: ({0}) और \(\varnothing\) को अलग पहचानना बहुत जरूरी है।
Both sets have the same distinct elements (a,b,c) so (A=B).
Step 3
Exam Tip
Do not count repeated entries as new elements. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व को एक ही बार गिना जाता है। चरण 2: दोनों समुच्चयों के अलग-अलग तत्व (a,b,c) ही हैं इसलिए (A=B) है। चरण 3: दोहराव देखकर तत्वों की संख्या गलत न गिनें।
Positive even numbers less than (10) are (2,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
These can be counted so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
A set with a fixed boundary is often finite. चरण 1: (10) से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 2: इनके तत्व गिने जा सकते हैं इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: सीमा दी हो तो अक्सर समुच्चय परिमित होता है।
(0) is a number but having no element is different.
Step 3
Exam Tip
Never confuse \(\varnothing\) with ({0}). चरण 1: रिक्त समुच्चय का अर्थ है ऐसा समुच्चय जिसमें कोई तत्व न हो। चरण 2: (0) एक संख्या है जबकि कोई तत्व न होना अलग बात है। चरण 3: \(\varnothing\) को ({0}) से कभी न मिलाएँ।
The positive condition leaves only (2) so \(A=\{2\}\).
Step 3
Exam Tip
Always apply the condition after solving the equation. चरण 1: \(x^2=4\) के हल (2) और (-2) हैं। चरण 2: धनात्मक शर्त से केवल (2) बचता है इसलिए \(A=\{2\}\) है। चरण 3: समीकरण के बाद दी गई शर्त को जरूर लगाएँ।
A. हाँ क्योंकि दोनों में वही स्वर हैं/Yes because both contain the same vowels
Step 1
Concept
To check equality compare the elements of both sets.
Step 2
Why this answer is correct
(A) contains the same five vowels listed in (B) so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Description form and roster form can represent the same set. चरण 1: समानता के लिए दोनों समुच्चयों के तत्वों की तुलना करें। चरण 2: (A) में वही पाँच स्वर हैं जो (B) में लिखे हैं इसलिए दोनों समान हैं। चरण 3: वर्णन रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दिखा सकते हैं।
Do not count (1) as a prime number. चरण 1: (12) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7,11) हैं। चरण 2: कुल (5) तत्व हैं इसलिए उत्तर (5) है। चरण 3: (1) को अभाज्य न मानें।
C. \(C={x:x\) (3) से छोटी प्राकृतिक संख्या है(})/\(C={x:x\) is a natural number less than (3})
Step 1
Concept
Natural numbers less than (3) are (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
So (C) has elements and is not empty.
Step 3
Exam Tip
For each option try to find at least one example satisfying the condition. चरण 1: (3) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) और (2) हैं। चरण 2: इसलिए (C) में तत्व हैं और यह रिक्त नहीं है। चरण 3: हर विकल्प में शर्त पूरी करने वाला उदाहरण खोजें।
Even one extra element breaks equality. चरण 1: समान समुच्चयों में हर तत्व बिल्कुल समान होना चाहिए। चरण 2: (7) केवल (B) में है इसलिए (A) और (B) समान नहीं हैं। चरण 3: एक अतिरिक्त तत्व भी समानता को तोड़ देता है।
Positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15).
Step 2
Why this answer is correct
(20) is not included because the condition says less than (20).
Step 3
Exam Tip
Note the difference between less than and less than or equal to. चरण 1: (20) से छोटी धनात्मक (5) की गुणज संख्याएँ (5,10,15) हैं। चरण 2: (20) शामिल नहीं होगा क्योंकि शर्त (20) से छोटी है। चरण 3: छोटी और छोटी या बराबर में अंतर ध्यान रखें।
B. \(A=\{p,q\}\) और \(B=\{q,p\}\)/\(A=\{p,q\}\) and \(B=\{q,p\}\)
Step 1
Concept
Equal sets have the same elements even if the order changes.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets contain (p) and (q) so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a change of order as inequality. चरण 1: समान समुच्चयों में तत्व समान होते हैं चाहे क्रम बदला हो। चरण 2: (p) और (q) दोनों समुच्चयों में हैं इसलिए वे समान हैं। चरण 3: क्रम बदलने को असमानता का कारण न मानें।
When dots show continuation check for an infinite set. चरण 1: सम प्राकृतिक संख्याएँ \(2,4,6,8,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची कभी समाप्त नहीं होती इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: बिंदुओं से जारी क्रम दिखे तो अपरिमित होने की संभावना जाँचें।
In strict inequalities endpoints are not included. चरण 1: (2) और (3) के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। चरण 2: कोई तत्व न मिलने पर समुच्चय रिक्त होता है। चरण 3: खुली असमानता में किनारे शामिल नहीं होते।
In \(A={\varnothing}\) the empty set itself is placed as one element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore it has one element and is not empty.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between \(\varnothing\) and \({\varnothing}\). चरण 1: \(A={\varnothing}\) में रिक्त समुच्चय स्वयं एक तत्व के रूप में रखा गया है। चरण 2: इसलिए इसमें एक तत्व है और यह रिक्त समुच्चय नहीं है। चरण 3: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) में अंतर याद रखें।
Check both the equation and the extra condition together. चरण 1: \(x^2=9\) के हल (3) और (-3) हैं। चरण 2: इनमें से कोई भी सम संख्या नहीं है इसलिए कोई तत्व नहीं बचता। चरण 3: समीकरण और अतिरिक्त शर्त दोनों को साथ में जाँचें।
Fixed real-life collections are usually finite sets. चरण 1: सप्ताह में (7) दिन होते हैं। चरण 2: (7) एक निश्चित संख्या है इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: दैनिक जीवन के निश्चित समूहों को परिमित समुच्चय के उदाहरण मान सकते हैं।
Convert set-builder form to roster form for easy comparison. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 2: यही सभी तत्व (A) में हैं इसलिए (A=B) है। चरण 3: वर्णन रूप को सूची रूप में बदलकर तुलना करना आसान होता है।
Natural numbers are usually taken to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
One-digit natural numbers are (1) to (9).
Step 3
Exam Tip
Be careful before including (0) when natural numbers are mentioned. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: एक अंक वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक हैं। चरण 3: प्रश्न में प्राकृतिक संख्या हो तो (0) को शामिल करने से पहले सावधान रहें।
Natural numbers greater than (7) are \(8,9,10,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This sequence does not end so (A) is infinite.
Step 3
Exam Tip
If there is only a lower bound and no upper bound check for infinity. चरण 1: (7) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(8,9,10,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम समाप्त नहीं होता इसलिए (A) अपरिमित है। चरण 3: केवल निचली सीमा हो और ऊपर सीमा न हो तो अपरिमितता जाँचें।
B. यह एकल और परिमित समुच्चय है/It is a singleton and finite set
Step 1
Concept
\(A=\{0\}\) contains one element (0).
Step 2
Why this answer is correct
Having exactly one element makes it singleton and finite.
Step 3
Exam Tip
Treat zero as an element and emptiness as no element. चरण 1: \(A=\{0\}\) में (0) एक तत्व है। चरण 2: केवल एक तत्व होने से यह एकल और परिमित समुच्चय है। चरण 3: शून्य को तत्व और खालीपन को अलग समझें।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements are (1,2,3) so (n(A)=3).
Step 3
Exam Tip
Remove repetitions before finding the number of elements. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व अलग से नहीं गिने जाते। चरण 2: अलग तत्व (1,2,3) हैं इसलिए (n(A)=3)। चरण 3: तत्वों की संख्या निकालते समय पहले दोहराव हटाएँ।
These are (5) fixed elements so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
When both start and end are given count the elements. चरण 1: (1) से (5) तक संख्याएँ (1,2,3,4,5) हैं। चरण 2: ये (5) निश्चित तत्व हैं इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: आरंभ और अंत दोनों दिए हों तो संख्या गिन लें।
The empty set is denoted by \(\varnothing\) or ({}).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is a number and ({0}) has one element.
Step 3
Exam Tip
Remember the symbol because such direct questions are common in exams. चरण 1: रिक्त समुच्चय को \(\varnothing\) या ({}) से दिखाया जाता है। चरण 2: (0) एक संख्या है और ({0}) में एक तत्व है। चरण 3: प्रतीक याद रखें क्योंकि ऐसे प्रश्न सीधे परीक्षा में पूछे जाते हैं।
The number of elements is fixed so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
Fixed calendar-based collections are easy examples of finite sets. चरण 1: एक वर्ष में महीनों की संख्या (12) होती है। चरण 2: तत्वों की संख्या निश्चित है इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: कैलेंडर जैसे निश्चित समूहों में परिमितता जल्दी पहचानी जा सकती है।
Convert algebraic form into roster form to check equality. चरण 1: (x=1,2,3) रखने पर \(x^2\) के मान (1,4,9) मिलते हैं। चरण 2: ये (A) के सभी तत्वों के समान हैं इसलिए (A=B)। चरण 3: बीजगणितीय रूप को सूची में बदलकर समानता जाँचें।
C. ({x:x) एक प्राकृतिक संख्या है और (x<0})/({x:x) is a natural number and (x<0})
Step 1
Concept
\(\varnothing\) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is less than (0) so option (C) has no element.
Step 3
Exam Tip
To identify emptiness try to find an example satisfying the condition. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: कोई प्राकृतिक संख्या (0) से छोटी नहीं होती इसलिए विकल्प (C) में कोई तत्व नहीं है। चरण 3: रिक्तता पहचानने के लिए शर्त का उदाहरण खोजें।
Positive multiples of (3) less than (15) are (3,6,9,12).
Step 2
Why this answer is correct
There are (4) elements.
Step 3
Exam Tip
Include the boundary number only if the condition allows it. चरण 1: (15) से छोटी धनात्मक (3) की गुणज संख्याएँ (3,6,9,12) हैं। चरण 2: कुल (4) तत्व हैं। चरण 3: सीमा में दी गई संख्या को तभी शामिल करें जब शर्त अनुमति दे।
B. उनमें बिल्कुल वही तत्व होते हैं/They contain exactly the same elements
Step 1
Concept
Equality of sets is based on equality of elements.
Step 2
Why this answer is correct
Order or writing style may change but the elements must be the same.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions focus on the key words. चरण 1: समान समुच्चय का आधार तत्वों की समानता है। चरण 2: क्रम या लिखने का तरीका बदल सकता है पर तत्व वही होने चाहिए। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में मुख्य शब्दों पर ध्यान दें।
Remember the special role of (2) among prime numbers. चरण 1: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 2: इसलिए \(A=\{2\}\) और यह एकल समुच्चय है। चरण 3: अभाज्य संख्याओं में (2) की विशेष भूमिका याद रखें।
Natural numbers greater than (50) are \(51,52,53,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The sequence continues forever so the number of elements is infinite.
Step 3
Exam Tip
If only a starting point is given and no end is given the list may be infinite. चरण 1: (50) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(51,52,53,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम आगे चलता रहता है इसलिए तत्व अपरिमित हैं। चरण 3: केवल आरंभ दिया हो और अंत न दिया हो तो अनंत सूची बन सकती है।
Option (C) has an extra element (4) so it is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
Repetition and order do not change equality but an extra element does. चरण 1: पहले हर विकल्प के अलग तत्व देखें। चरण 2: विकल्प (C) में (4) अतिरिक्त तत्व है इसलिए वह (A) के समान नहीं है। चरण 3: दोहराव और क्रम समानता को नहीं बदलते पर अतिरिक्त तत्व बदल देता है।
If natural numbers start from (1), then (0) is not natural so there is no element.
Step 3
Exam Tip
Check the number-system condition before finalizing the set. चरण 1: (x+1=1) से (x=0) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्या (1) से शुरू मानी जाए तो (0) प्राकृतिक नहीं है इसलिए कोई तत्व नहीं है। चरण 3: उत्तर लिखने से पहले संख्या-समूह की शर्त जाँचें।
(0) is a fixed number so the empty set is considered finite.
Step 3
Exam Tip
Do not mistake the empty set for an infinite set. चरण 1: रिक्त समुच्चय में (0) तत्व होते हैं। चरण 2: (0) एक निश्चित संख्या है इसलिए रिक्त समुच्चय परिमित माना जाता है। चरण 3: रिक्त समुच्चय को अपरिमित समझने की गलती न करें।
The positive numbers that divide (6) exactly are (1,2,3,6).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{1,2,3,6\}\).
Step 3
Exam Tip
Include (1) and the number itself when listing divisors. चरण 1: (6) को पूरा भाग देने वाली धनात्मक संख्याएँ (1,2,3,6) हैं। चरण 2: इसलिए \(A=\{1,2,3,6\}\) है। चरण 3: भाजक में (1) और संख्या स्वयं को भी शामिल करें।
C. (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ/Natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
Natural numbers less than (10) are limited from (1) to (9).
Step 2
Why this answer is correct
They have only (9) elements so this set is not infinite.
Step 3
Exam Tip
Use boundaries to distinguish finite and infinite sets. चरण 1: (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक सीमित हैं। चरण 2: इनके केवल (9) तत्व हैं इसलिए यह अपरिमित नहीं है। चरण 3: सीमा देखकर परिमित और अपरिमित में अंतर करें।
This matches the list in (A) exactly so the sets are equal.
Step 3
Exam Tip
To check equality write the list formed by the condition. चरण 1: (8) से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ (2,4,6) हैं। चरण 2: यह (A) की सूची से पूरी तरह मिलती है इसलिए दोनों समान हैं। चरण 3: समानता जाँचने के लिए शर्त से बनी सूची लिखें।
A triangle with four sides is impossible so the set has no element.
Step 3
Exam Tip
Basic geometry definitions can help identify an empty set. चरण 1: त्रिभुज की ठीक (3) भुजाएँ होती हैं। चरण 2: चार भुजाओं वाला त्रिभुज संभव नहीं है इसलिए कोई तत्व नहीं है। चरण 3: ज्यामिति की मूल परिभाषा से रिक्त समुच्चय पहचाना जा सकता है।
Only (1) is a perfect square among them so \(A=\{1\}\).
Step 3
Exam Tip
(4) is not included because the condition says less than (4). चरण 1: (4) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग केवल (1) है इसलिए \(A=\{1\}\)। चरण 3: सीमा में (4) नहीं आएगा क्योंकि शर्त (4) से छोटी है।
Count only distinct elements when finding cardinality. चरण 1: (n(A)) समुच्चय के तत्वों की संख्या बताता है। चरण 2: \(A=\{5,7\}\) में दो तत्व हैं इसलिए (n(A)=2)। चरण 3: तत्वों की संख्या गिनते समय केवल अलग तत्व गिनें।
In the weekly order Monday comes immediately after Sunday.
Step 2
Why this answer is correct
No day comes between them so the set is empty.
Step 3
Exam Tip
In order-based questions check the between condition carefully. चरण 1: सप्ताह के क्रम में रविवार के तुरंत बाद सोमवार आता है। चरण 2: इनके बीच कोई दिन नहीं आता इसलिए समुच्चय रिक्त है। चरण 3: क्रम आधारित प्रश्नों में बीच की स्थिति ध्यान से जाँचें।
Odd natural numbers from (1) to (10) are (1,3,5,7,9).
Step 2
Why this answer is correct
So the roster form is \(A=\{1,3,5,7,9\}\).
Step 3
Exam Tip
Do not include a number outside the given range. चरण 1: (1) से (10) तक विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5,7,9) हैं। चरण 2: इसलिए सूची रूप \(A=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। चरण 3: दी गई सीमा से बाहर की संख्या शामिल न करें।
Writing (a) twice in a set does not create a new element.
Step 2
Why this answer is correct
Both have the distinct elements (a) and (b) so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Remove repetitions before comparing sets. चरण 1: समुच्चय में (a) को दो बार लिखने से नया तत्व नहीं बनता। चरण 2: दोनों में अलग-अलग तत्व (a) और (b) हैं इसलिए वे समान हैं। चरण 3: दोहराव को हटाकर तुलना करें।
Natural numbers less than (100) are from (1) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
The total number of elements is fixed so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
When an upper bound is given the list has an end. चरण 1: (100) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (99) तक हैं। चरण 2: कुल तत्वों की संख्या निश्चित है इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: ऊपर की सीमा दी हो तो सूची अंत तक पहुँचती है।
