Level 37 • 50/50 questions • 40 seconds per question.
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If (f(x)=x+2) and (g(x)=3x), what is ((f+g)(x))?
A. (4x+2)
योग में समान (x) पद जोड़े जाते हैं, इसलिए ((f+g)(x)=x+2+3x=4x+2)। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलें। / In addition, like (x) terms are added, so ((f+g)(x)=x+2+3x=4x+2). In exams, open brackets first.
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If f(x)=5x-1 and g(x)=2x+4, what is the value of (f-g)(x)?
A. 3x-5
फलनों का अंतर (f-g)(x)=f(x)-g(x) होता है। इसलिए (5x-1)-(2x+4)=5x-1-2x-4=3x-5। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत है, क्योंकि दूसरे फलन को घटाते समय उसके सभी पदों के चिह्न बदलते हैं। परीक्षा टिप: पूरे g(x) को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / The difference of two functions is defined as (f-g)(x)=f(x)-g(x). Thus, (5x-1)-(2x+4)=5x-1-2x-4=3x-5. Option C has the wrong sign for the constant term because the signs of all terms of the second function change during subtraction. Exam tip: enclose the second function in brackets before subtracting.
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If \(f(x)=x+1\) and \(g(x)=x-1\), what is the value of \((fg)(x)\)?
A. \(x^2-1\)
दो वास्तविक फलनों के गुणन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। अतः \((fg)(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1\), जहाँ \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) की पहचान का उपयोग किया गया है। विकल्प C \(2x\) फलनों के योग से मिलता है, गुणन से नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों के गुणन और \((f\circ g)(x)\) को संयोजन समझकर अलग रखें। / For the product of two real functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1\), using the identity \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Option C, \(2x\), results from adding the functions, not multiplying them. In an exam, distinguish the product \((fg)(x)\) from the composition \((f\circ g)(x)\).
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If \(f(x)=2x+6\) and \(g(x)=2\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(x+3\)
दो फलनों के भागफल की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। इसलिए \(\frac{2x+6}{2}=x+3\)। विकल्प B में केवल स्थिर पद को 2 से भाग दिया गया है, जो सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन में पूरे अंश को हर फलन से भाग दें और जाँचें कि हर शून्य न हो; यहाँ \(g(x)=2\) होने से सभी वास्तविक \(x\) मान्य हैं। / By the definition of the quotient of two functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Hence, \(\frac{2x+6}{2}=x+3\). Option B results from dividing only the constant term by 2, which is incorrect. Exam tip: divide the entire numerator by the denominator and check that the denominator is non-zero; here \(g(x)=2\), so every real \(x\) is allowed.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=4\), what is the value of \((f+g)(2)\)?
A. 8
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(2)=f(2)+g(2)=2^2+4=4+4=8\)। विकल्प B केवल \(f(2)\) का मान दर्शाता है, उसमें \(g(2)\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: \((f+g)(a)\) में दोनों फलनों के \(a\) पर मान जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(2)=f(2)+g(2)=2^2+4=4+4=8\). Option B gives only \(f(2)\) and does not include \(g(2)\). Exam tip: For \((f+g)(a)\), find the values of both functions at \(a\) and add them.
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If \(f(x)=3x\) and \(g(x)=x+5\), find the value of \((f-g)(1)\).
A. -3
\((f-g)(1)=f(1)-g(1)\)। यहाँ \(f(1)=3\) और \(g(1)=1+5=6\), इसलिए \((f-g)(1)=3-6=-3\)। विकल्प B में घटाव का क्रम उलट जाता है। परीक्षा-युक्ति: \((f-g)(a)\) में हमेशा पहले फलन का मान दूसरे फलन के मान से घटाएँ। / \((f-g)(1)=f(1)-g(1)\). Here, \(f(1)=3\) and \(g(1)=1+5=6\), so \((f-g)(1)=3-6=-3\). Option B results from reversing the subtraction order. Exam tip: In \((f-g)(a)\), always subtract the value of the second function from that of the first.
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A. 12
(fg)(1)=f(1)×g(1)=(1+2)(1+3)=3×4=12। इसलिए सही उत्तर 12 है। 7, f(1)+g(1) निकालने पर मिलता है, जो यहाँ आवश्यक गुणनफल नहीं है। परीक्षा टिप: (fg)(x) को पहले f(x)g(x) के रूप में लिखकर फिर दिए गए मान पर गणना करें। / (fg)(1)=f(1)×g(1)=(1+2)(1+3)=3×4=12, so the correct answer is 12. The value 7 results from adding f(1) and g(1), but the question asks for their product. Exam tip: Rewrite (fg)(x) as f(x)g(x) before substituting the given value.
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If (f(x)=x-2-4) and (g(x)=x-2), what is the value of (\left\(\frac{f}{g}\right\)(3))?
A. (5)
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(3)=\frac{9-4}{3-2}=5)। भाग में हर का मान शून्य नहीं होना चाहिए। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(3)=\frac{9-4}{3-2}=5). In division, the denominator value must not be zero.
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If f(x) = x² + 1 and g(x) = 2x, then what is (f + g)(x) equal to?
A. x² + 2x + 1
दो फलनों का योग �(f + g)(x) = f(x) + g(x)� होता है। इसलिए �(f + g)(x) = (x² + 1) + 2x = x² + 2x + 1�। विकल्प B में 2x के स्थान पर −2x लिया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में समान इनपुट पर दोनों फलनों के मान जोड़े जाते हैं। / The sum of two functions is defined by �(f + g)(x) = f(x) + g(x)�. Hence, �(f + g)(x) = (x² + 1) + 2x = x² + 2x + 1�. Option B is incorrect because it uses −2x instead of +2x. Exam tip: For function addition, add the values of both functions at the same input x.
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If \(f(x)=4x+7\) and \(g(x)=x-3\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(3x+10\)
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=(4x+7)-(x-3)=4x+7-x+3=3x+10\)। विकल्प C में स्थिर पदों का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: किसी फलन को घटाते समय उसके पूरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined by \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(4x+7)-(x-3)=4x+7-x+3=3x+10\). In option C, the sign of the constant term has been handled incorrectly. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term inside its bracket.
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If f(x)=2x and g(x)=x-2, what is the value of (fg)(x)?
A. \(2x^3\)
दो फलनों के गुणनफल के लिए (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए (fg)(x)=(2x)\(x^2\)=2x-3। विकल्प B, 2x-2, f(g(x)) का मान है, जो फलनों का संयोजन है, गुणनफल नहीं। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f(g(x)) से अलग पहचानें। / For the product of two functions, (fg)(x)=f(x)g(x). Hence, (fg)(x)=(2x)\(x^2\)=2x-3. Option B, 2x-2, represents f(g(x)), the composition of the functions, not their product. Exam tip: distinguish (fg)(x) from f(g(x)).
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If (f(x)=6x-2) and (g(x)=3x), what is (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)), where \(x\neq0\)?
A. (2x)
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{6x-2}{3x}=2x), क्योंकि \(x\neq0\)। भाग में पहले शर्त जाँचें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{6x-2}{3x}=2x), because \(x\neq0\). In quotient questions, check the condition first.
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A. 2x+8
किसी फलन f का 2f से गुणन करने पर (2f)(x)=2f(x) होता है। इसलिए (2f)(x)=2(x+4)=2x+8। विकल्प C में केवल x का गुणांक 2 किया गया है, स्थिरांक 4 को नहीं। परीक्षा टिप: संख्यात्मक गुणक फलन के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। / Multiplying a function f by 2 gives (2f)(x)=2f(x). Hence, (2f)(x)=2(x+4)=2x+8. Option C is incorrect because it multiplies only the x-term, not the constant term 4. Exam tip: Distribute a scalar multiplier to every term of the function.
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If \(f(x)=3x-2\), what is \((-f)(x)\) equal to?
A. \(-3x+2\)
\((-f)(x)=-f(x)=-(3x-2)=-3x+2\)। ऋण चिह्न पूरे फलन के मान पर लागू होता है, इसलिए दोनों पदों के चिह्न बदल जाते हैं। विकल्प B में केवल स्थिर पद का चिह्न बदला गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के बाहर का ऋण चिह्न लगाते समय कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \((-f)(x)=-f(x)=-(3x-2)=-3x+2\). The negative sign applies to the entire function, so the signs of both terms change. Option B changes only the sign of the constant term and is therefore incorrect. Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, change the sign of every term inside it.
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If \\(f(x)=x^2\\), what is the value of \\((f+f)(x)\\)?
A. \\(2x^2\\)
दो फलनों का योग बिंदुवार निकाला जाता है: \\((f+f)(x)=f(x)+f(x)=x^2+x^2=2x^2\\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में पदों को गुणा करने जैसा भ्रम है, जबकि यहाँ जोड़ करना है। परीक्षा टिप: समान चर और समान घात वाले पदों को जोड़ते समय उनके गुणांक जोड़ें, घात नहीं। / The sum of two functions is found pointwise: \\((f+f)(x)=f(x)+f(x)=x^2+x^2=2x^2\\). Hence, option A is correct. Option B results from incorrectly multiplying the terms, but the operation here is addition. Exam tip: when adding like terms, add their coefficients and keep the common power unchanged.
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If \(f(x)=x+1\), what is \((ff)(x)\) when \(ff\) denotes the product of the functions?
A. \(x^2+2x+1\)
फलनों के गुणनफल के लिए \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)=(x+1)(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(f(x)+f(x)=2x+2\), फलनों के योग को दर्शाता है, गुणनफल को नहीं। परीक्षा में \(ff\) और \(f+f\) के बीच का अंतर ध्यान से देखें। / For the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)=(x+1)(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\). Hence, option A is correct. Option B, \(f(x)+f(x)=2x+2\), represents the sum of the functions, not their product. In exams, carefully distinguish between \(ff\) and \(f+f\).
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If (f(x)=x+5) and (g(x)=x+5), what is ((f-g)(x))?
A. (0)
दोनों फलन समान हैं, इसलिए ((f-g)(x)=(x+5)-(x+5)=0)। समान फलनों का अंतर शून्य होता है। / Both functions are equal, so ((f-g)(x)=(x+5)-(x+5)=0). The difference of equal functions is zero.
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If (f(x)=0) and (g(x)=x-2+3), what is ((f+g)(x))?
A. \(x^2+3\)
शून्य फलन जोड़ने से फलन नहीं बदलता, इसलिए ((f+g)(x)=x-2+3)। यह योग का पहचान गुण है। / Adding the zero function does not change the function, so ((f+g)(x)=x-2+3). This is the identity property of addition.
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If (f(x)=1) and (g(x)=x-2-2x), what is ((fg)(x))?
A. \(x^2-2x\)
एकक फलन (1) से गुणा करने पर ((fg)(x)=g(x)) रहता है। गुणन में (1) पहचान तत्व है। / Multiplying by the unit function (1) gives ((fg)(x)=g(x)). In multiplication, (1) is the identity element.
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If \(f(x)=x-2\) and \(g(x)=x+2\), what is the sum of the functions, \((f+g)(x)\)?
A. \(2x\)
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(x)=(x-2)+(x+2)=2x\), क्योंकि \(-2\) और \(+2\) एक-दूसरे को काट देते हैं। विकल्प B फलनों के गुणनफल \(f(x)g(x)\) से संबंधित है, जबकि विकल्प C केवल स्थिर पदों के योग को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(f+g\) में संबंधित फलनों को जोड़ा जाता है, गुणा नहीं किया जाता। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=(x-2)+(x+2)=2x\), because the constant terms \(-2\) and \(+2\) cancel each other. Option B corresponds to the product \(f(x)g(x)\), while option C considers only the constant terms. Exam tip: In \(f+g\), add the function values; do not multiply them.
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If f(x)=x-2+2x and g(x)=x-2-x, what is the value of (f-g)(x)?
A. 3x
दो फलनों का अंतर (f-g)(x)=f(x)-g(x) होता है। इसलिए (f-g)(x)=x-2+2x-\(x^2-x\)=x-2+2x-x-2+x=3x। विकल्प B में घटाने के बजाय पदों को जोड़ने जैसी गलती हुई है। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न होने पर दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined by (f-g)(x)=f(x)-g(x). Thus, (f-g)(x)=x-2+2x-\(x^2-x\)=x-2+2x-x-2+x=3x. Option B results from adding the functions instead of subtracting them. Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, change the sign of every term inside the bracket.
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If \(f(x)=x+2\) and \(g(x)=2x+1\), what is the value of \((fg)(0)\)?
A. 2
फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अतः \(f(0)=2\) और \(g(0)=1\), इसलिए \((fg)(0)=2\times1=2\)। विकल्प D केवल \(g(0)\) का मान है, जबकि विकल्प C दोनों फलनों के मानों का योग है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों का गुणनफल समझें, संयोजन नहीं। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \(f(0)=2\) and \(g(0)=1\), so \((fg)(0)=2\times1=2\). Option D is only \(g(0)\), while option C represents the sum of the two values. Exam tip: interpret \((fg)(x)\) as the product of functions, not their composition.
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If \(f(x)=x^2+3\) and \(g(x)=x^2-1\), what is the value of \((f-g)(2)\)?
A. 4
फलनों के अंतर के अनुसार \((f-g)(2)=f(2)-g(2)\)। यहाँ \(f(2)=2^2+3=7\) और \(g(2)=2^2-1=3\), इसलिए \((f-g)(2)=7-3=4\)। विकल्प 8 जोड़ करने से प्राप्त होता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: \((f-g)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान निकालकर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(2)=f(2)-g(2)\). Here, \(f(2)=2^2+3=7\) and \(g(2)=2^2-1=3\), so \((f-g)(2)=7-3=4\). The value 8 results from adding the two function values, so it is incorrect. Exam tip: For \((f-g)(a)\), evaluate both functions at \(a\) and then subtract.
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If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x-4), what is the value of ((f+g)(-1))?
A. (-8)
((f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=-1+(-5)=-6) नहीं, ध्यान दें (f(-1)=-1) और कुल (-6) है। सही विकल्प (-6) होना चाहिए। / ((f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=-1+(-5)=-6). Check signs carefully for negative input.
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If (f(x)=3x+2) and (g(x)=x+1), what is (\left\(\frac{f}{g}\right\)(1))?
A. \(\frac{5}{2}\)
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{5}{2})। हर का मान (2) है, इसलिए भाग संभव है। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{5}{2}). The denominator value is (2), so division is allowed.
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If \(f(x)=\sqrt{x}\) and \(g(x)=x+1\), what is the value of \((f+g)(4)\)?
A. 7
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(4)=\sqrt{4}+(4+1)=2+5=7\)। विकल्प B केवल \(g(4)\) का मान है, जबकि दोनों फलनों के मान जोड़ने आवश्यक हैं। परीक्षा-युक्ति: \((f+g)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान निकालकर जोड़ें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(4)=\sqrt{4}+(4+1)=2+5=7\). Option B is only the value of \(g(4)\), whereas the values of both functions must be added. Exam tip: For \((f+g)(a)\), find both \(f(a)\) and \(g(a)\), then add them.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=\sqrt{x}\), what is the value of \((fg)(9)\)? Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)\).
A. 243
गुणनफल फलन के अनुसार \((fg)(9)=f(9)g(9)=9^2\times\sqrt{9}=81\times3=243\)। इसलिए सही उत्तर 243 है। 81 वह मान है जो केवल \(f(9)=9^2\) लेने पर मिलता है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों के गुणनफल के रूप में पढ़ें, संयोजन के रूप में नहीं। / For the product of functions, \((fg)(9)=f(9)g(9)=9^2\times\sqrt{9}=81\times3=243\). Therefore, 243 is correct. The value 81 results from calculating only \(f(9)=9^2\) and ignoring \(g(9)\). In an exam, read \((fg)(x)\) as the product of the two functions, not their composition.
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If \(f(x)=\frac{1}{x}\) and \(g(x)=x\), what is the value of the product function \((fg)(2)\)?
A. 1
फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अतः \((fg)(2)=f(2)g(2)=\frac{1}{2}\times2=1\)। विकल्प C केवल \(f(2)\) का मान है, जबकि यहाँ दोनों फलनों का गुणन करना है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों के गुणनफल के रूप में पहचानें, संयोजन के रूप में नहीं। / For the product of functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)g(2)=\frac{1}{2}\times2=1\). Option C is only the value of \(f(2)\), whereas the product of both function values is required. In exams, identify \((fg)(x)\) as the product of functions, not their composition.
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If \(f(x)=x+6\) and \(g(x)=x+2\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)\)?
A. 3
भागफल फलन के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}\)। यहाँ \(f(0)=6\) और \(g(0)=2\), इसलिए \(\frac{6}{2}=3\)। हर शून्य नहीं है, इसलिए यह मान परिभाषित है। विकल्प B में केवल \(f(0)\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन में पहले दोनों फलनों के मान निकालकर फिर भाग दें। / For quotient functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}\). Here, \(f(0)=6\) and \(g(0)=2\), so \(\frac{6}{2}=3\). Since the denominator is non-zero, the value is defined. Option B gives only \(f(0)\) and ignores the division by \(g(0)\). Exam tip: evaluate both functions first, then divide.
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A. \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
यहाँ \((fg)(x)=(x-1)(x+1)\) है। यह \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) पहचान के रूप में है, जहाँ \(a=x\) और \(b=1\)। इसलिए \((fg)(x)=x^2-1\)। विकल्प B और D वर्ग के विस्तार से संबंधित हैं, जबकि विकल्प C घनों के योग के लिए है। परीक्षा में विपरीत चिह्न वाले दो द्विपदों का गुणनफल दिखे, तो अंतर के वर्ग की पहचान याद रखें। / Here, \((fg)(x)=(x-1)(x+1)\). This matches the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), with \(a=x\) and \(b=1\). Hence, \((fg)(x)=x^2-1\). Options B and D are identities for squaring a binomial, while option C is for the sum of two cubes. Exam tip: when two binomials have opposite signs and the same terms, use the difference-of-squares identity.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=2x+1\), what is the value of \((f+g)(3)\)?
A. 16
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(3)=f(3)+g(3)=3^2+(2\times3+1)=9+7=16\)। विकल्प B केवल \(f(3)+g(1)\) जैसी गलत गणना से आ सकता है; परीक्षा में दोनों फलनों में समान इनपुट रखने का ध्यान रखें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(3)=f(3)+g(3)=3^2+(2\times3+1)=9+7=16\). Option B can result from using an incorrect input in one function; in such questions, substitute the same input into both functions.
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If 8f(x)=2x-29 and 8g(x)=x-2+59, what is 8f-g98x9?
A. \(x^2-5\)
दो फलनों का अंतर 8f-g98x9=f8x9-g8x9 होता है। इसलिए 8f-g98x9=2x-2-8x-2+59=2x-2-x-2-5=x-2-5। विकल्प B में फलनों को घटाने के बजाय जोड़ने जैसा परिणाम आता है। परीक्षा में ऋण चिह्न वाले कोष्ठक को खोलते समय अंदर के दोनों पदों के चिह्न बदलना याद रखें। / The difference of two functions is defined by 8f-g98x9=f8x9-g8x9. Hence, 8f-g98x9=2x-2-8x-2+59=2x-2-x-2-5=x-2-5. Option B results from effectively adding the functions instead of subtracting them. In an exam, remember to change the signs of both terms inside a bracket preceded by a minus sign.
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If \(f(x)=x+3\) and \(g(x)=x\), what is the value of the product function \((fg)(x)=f(x)g(x)\)?
A. \(x^2+3x\)
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+3)x=x^2+3x\)। विकल्प B, \(2x+3\), वास्तव में \((f+g)(x)\) का मान है, गुणनफल का नहीं। परीक्षा-टिप: \(fg\) को \(f+g\) न समझें; पहले दोनों फलनों के मानों का गुणा करें। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+3)x=x^2+3x\). Option B, \(2x+3\), is the value of \((f+g)(x)\), not the product. Exam tip: Do not confuse \(fg\) with \(f+g\); multiply the two function values first.
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If \\(f(x)=2x-3\\) and \\(g(x)=x+4\\), what is \\((f+g)(x)\\)?
A. \\(3x+1\\)
दो फलनों का योग परिभाषित होता है: \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\\)। इसलिए \\((2x-3)+(x+4)=3x+1\\)। विकल्प B में \\(2x\\) पद छूट गया है, जबकि विकल्प D गुणनफल \\(f(x)g(x)\\) से प्राप्त होता है, योग से नहीं। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में समान घात वाले पदों को जोड़ें और अचर पदों का अलग से योग करें। / The sum of two functions is defined by \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\\). Hence, \\((2x-3)+(x+4)=3x+1\\). Option B omits the additional \\(2x\\) term, while option D results from multiplying the two functions, not adding them. Exam tip: combine like powers of \\(x\\) and then combine the constant terms separately.
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If \(f(x)=5\) and \(g(x)=x^2\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(5-x^2\)
दो फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=5-x^2\)। विकल्प B में घटाव का क्रम उलट दिया गया है, जबकि विकल्प C गुणन और विकल्प D योग दर्शाते हैं। परीक्षा में \((f-g)\) को हमेशा पहले फलन में से दूसरे फलन को घटाकर हल करें। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=5-x^2\). Option B reverses the order of subtraction, while options C and D represent multiplication and addition, respectively. In an exam, remember to subtract the second function from the first in \((f-g)\).
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A. (x-3)
(\frac{x-2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3), जहाँ \(x\neq-3\)। काटने से पहले शर्त लिखें। / (\frac{x-2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3), where \(x\neq-3\). Write the condition before cancellation.
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A. \(x+1\)
फलनों के भागफल की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। यहाँ \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), इसलिए \(\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1\), बशर्ते \(x\ne -1\)। विकल्प D \(1\) केवल एक \((x+1)\) काटने के बाद शेष हर को भी गलत तरीके से काटने पर प्राप्त होगा। परीक्षा-युक्ति: भाग देने से पहले हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / By the definition of the quotient of functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Since \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), we get \(\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1\), provided \(x\ne -1\). Option D, \(1\), results from incorrectly cancelling both factors. Exam tip: always exclude the value that makes the denominator zero.
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If \(f(x)=x+2\) and \(g(x)=x-5\), what is the value of \((f+g)(5)\)?
A. 7
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \(f(5)=5+2=7\) और \(g(5)=5-5=0\), अतः \((f+g)(5)=7+0=7\)। विकल्प 12 केवल \(f(5)\) और \(g(5)\) को गलत तरीके से जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान निकालें, फिर उनका योग करें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(5)=5+2=7\) and \(g(5)=5-5=0\), so \((f+g)(5)=7+0=7\). The value 12 results from an incorrect evaluation of the two functions. Exam tip: evaluate each function at the given input first, then add the results.
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If \(f(x)=4x\) and \(g(x)=x+2\), find the value of \((fg)(2)\).
A. 32
यहाँ \((fg)(x)=f(x)g(x)\) है, इसलिए \(f(2)=8\) और \(g(2)=4\)। अतः \((fg)(2)=8\times4=32\)। विकल्प 16, \(f(g(2))\) अर्थात संयोजन का मान है, गुणन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) और \((f\circ g)(x)\) को संयोजन समझें। / Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)\), so \(f(2)=8\) and \(g(2)=4\). Therefore, \((fg)(2)=8\times4=32\). The value 16 represents \(f(g(2))\), which is composition rather than multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)=f(x)g(x)\) from \((f\circ g)(x)\), which denotes composition.
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If \(f(x)=x^2-1\) and \(g(x)=x^2+1\), what is \((f+g)(x)\)?
A. \(2x^2\)
दो फलनों का योग प्रत्येक \(x\) के लिए उनके मानों का योग होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-1)+(x^2+1)=2x^2\)। यहाँ \(-1\) और \(+1\) आपस में कट जाते हैं। विकल्प C गुणनफल \(f(x)g(x)\) है, योग नहीं। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में समान \(x\) पर दोनों फलनों के मान जोड़ें। / The sum of two functions is obtained by adding their values at the same input: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-1)+(x^2+1)=2x^2\). The constant terms \(-1\) and \(+1\) cancel each other. Option C represents the product \(f(x)g(x)\), not the sum. Exam tip: For function addition, add the two expressions term by term.
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If \(f(x)=3x^2+1\) and \(g(x)=x^2-4\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(2x^2+5\)
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=(3x^2+1)-(x^2-4)=3x^2+1-x^2+4=2x^2+5\)। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले कोष्ठक को हटाते समय कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / By definition, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(3x^2+1)-(x^2-4)=3x^2+1-x^2+4=2x^2+5\). Option C results from keeping the constant term as \(-4\) instead of changing it to \(+4\). Exam tip: when removing a bracket preceded by a minus sign, change the sign of every term inside it.
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A. \(2x+2\)
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=(x+1)\cdot2=2x+2\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B जोड़ \(f(x)+g(x)\) से मिलता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में \(fg\) को गुणनफल और \(f\circ g\) को संयोजन फलन के रूप में अलग-अलग पहचानें। / By the definition of the product of functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+1)\cdot2=2x+2\), so option A is correct. Option B represents the sum \(f(x)+g(x)\), not the product. In exams, distinguish \(fg\), which denotes a product here, from \(f\circ g\), which denotes composition.
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If \(f(x)=8x+4\) and \(g(x)=4\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(2x+1\)
भागफल फलन की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। इसलिए \(\frac{8x+4}{4}=\frac{8x}{4}+\frac{4}{4}=2x+1\)। विकल्प B में \(8x\) को 4 से सही तरह विभाजित नहीं किया गया है, जबकि विकल्प C में स्थिर पद गलत है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन के प्रत्येक पद को स्थिर हर से अलग-अलग भाग दें। / By the definition of the quotient of two functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Thus, \(\frac{8x+4}{4}=\frac{8x}{4}+\frac{4}{4}=2x+1\). In option B, the term \(8x\) has not been divided correctly by 4, while option C has an incorrect constant term. Exam tip: when dividing a polynomial by a nonzero constant, divide every term by that constant.
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If \(f(x)=x-7\) and \(g(x)=7-x\), what is the value of \((f+g)(x)\)?
A. 0
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(x)=(x-7)+(7-x)=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि विपरीत पदों का योग शून्य होता है; \(x^2-49\) गुणन से प्राप्त होता, योग से नहीं। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=(x-7)+(7-x)=0\), so option A is correct. Remember that opposite terms cancel in addition; \(x^2-49\) would arise from multiplication, not addition.
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If f(x)=2x+5 and g(x)=2x−5, what is the value of (f−g)(x)?
A. 10
दो फलनों का अंतर (f−g)(x)=f(x)−g(x) होता है। इसलिए (f−g)(x)=(2x+5)−(2x−5)=2x+5−2x+5=10। x वाले पद आपस में कट जाते हैं। विकल्प B में घटाने के बजाय पदों को जोड़ने जैसा प्रभाव आता है। परीक्षा में ऋण चिह्न के बाद कोष्ठक खोलते समय सभी चिह्न बदलने का ध्यान रखें। / The difference of two functions is defined as (f−g)(x)=f(x)−g(x). Hence, (f−g)(x)=(2x+5)−(2x−5)=2x+5−2x+5=10. The terms containing x cancel each other. Option B results from effectively adding the functions instead of subtracting them. In an exam, remember to change the signs of every term when removing the parentheses after a minus sign.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=x^3\), what is the value of the product function \((fg)(x)\)?
A. \(x^5\)
गुणनफल फलन की परिभाषा के अनुसार \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5\)। विकल्प B \(x^6\) फलनों की रचना \(f(g(x))\) से प्राप्त होता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें। / By definition of the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5\). Option B, \(x^6\), would result from the composition \(f(g(x))\), not from multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\) from \(f(g(x))\).
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If (f(x)=x-4) and (g(x)=x-2), what is (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)), where \(x\neq0\)?
A. \(x^2\)
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-4}{x-2}=x-2), जहाँ \(x\neq0\)। समान आधार में भाग करते समय घातें घटती हैं। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-4}{x-2}=x-2), where \(x\neq0\). In division with the same base, powers are subtracted.
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If (f(x)=x+1) and (g(x)=x+2), what is the domain of ((f+g)(x)), if both have domain \(\mathbb{R}\)?
A. \(\mathbb{R}\)
दोनों रैखिक फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित हैं, इसलिए योग का डोमेन भी \(\mathbb{R}\) है। डोमेन में साझा मान देखें। / Both linear functions are defined on all \(\mathbb{R}\), so the domain of the sum is also \(\mathbb{R}\). Check common allowed values for domain.
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If (f(x)=\frac{1}{x}) and (g(x)=x+1), what is the domain of ((f+g)(x))?
A. \(\mathbb{R}-{0}\)
\(\frac{1}{x}\) में (x=0) मान्य नहीं है, इसलिए योग का डोमेन \(\mathbb{R}-{0}\) है। साझा डोमेन लें। / In \(\frac{1}{x}\), (x=0) is not allowed, so the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{0}\). Take the common domain.
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If (f(x)=x+1) and (g(x)=x-3), what will be the domain of (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x))?
A. \(\mathbb{R}-{3}\)
भाग में हर (g(x)=x-3) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\neq3\)। अतः डोमेन \(\mathbb{R}-{3}\) है। / In division, the denominator (g(x)=x-3) must not be zero, so \(x\neq3\). Hence the domain is \(\mathbb{R}-{3}\).
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