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चिह्न \(\leq\) होने पर सीमा रेखा भी हल में आती है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा का प्रकार देखें। / For \(\leq\), the boundary line is included in the solution. In exams, first check the boundary line type.
गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(4\times3=12\) हैं। परीक्षा में “और” आने पर सामान्यतः गुणा करें। / By the multiplication principle total ways are \(4\times3=12\). In exams, “and” usually indicates multiplication.
इस असमानता की सीमा रेखा \(2x-y=4\) है। चूँकि चिह्न \(<\) सख्त असमानता दर्शाता है, इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल-समुच्चय में शामिल नहीं होते और रेखा टूटी हुई खींची जाती है। ठोस रेखा \(\leq\) या \(\geq\) जैसी असमानताओं के लिए प्रयुक्त होती है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी हुई, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस सीमा रेखा बनाइए। / The boundary equation for this inequality is \(2x-y=4\). Since the symbol \(<\) represents a strict inequality, points on the boundary are not included in the solution set, so the boundary is drawn as a dashed line. A solid line is used for inequalities such as \(\leq\) or \(\geq\). Exam tip: use a dashed line for < or > and a solid line for ≤ or ≥.
हर नाश्ते के साथ 4 में से कोई भी एक पेय चुना जा सकता है। इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(5 \times 4 = 20\) हैं। विकल्प 9 जोड़ने से मिलता है, जो स्वतंत्र चुनावों के लिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: जब एक के बाद एक स्वतंत्र चुनाव किए जाएँ, तो उनके तरीकों को गुणा करें। / For each of the 5 snacks, any one of the 4 drinks can be selected. By the multiplication principle, the total number of ways is \(5 \times 4 = 20\). The value 9 results from addition, which is not appropriate for two successive independent choices. Exam tip: multiply the numbers of choices for independent selections made together.
A. रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित/Above and including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\geq 3\) में \(y\) का मान 3 या उससे अधिक होना चाहिए। इसकी सीमा-रेखा \(y=3\) है और \(\geq\) के कारण यह रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित होगा। ध्यान रखें: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-रेखा को ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। / In \(y\geq 3\), the value of \(y\) must be 3 or greater. The boundary is the line \(y=3\), and because the inequality is \(\geq\), the boundary line is included in the solution. Hence, the region is above and including the line. Exam tip: use a solid boundary line for \(\geq\) or \(\leq\), and a dashed line for strict inequalities.
पेंसिल चुनने के 6 तरीके हैं और प्रत्येक पेंसिल के साथ कॉपी चुनने के 2 तरीके उपलब्ध हैं। इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(6\times2=12\) होंगे। 8 या 10 जोड़ के परिणाम हैं, जबकि यहाँ दोनों चुनाव साथ किए जा रहे हैं, इसलिए तरीकों का गुणा किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: स्वतंत्र क्रमिक चुनावों में कुल तरीकों को गुणा करें। / There are 6 ways to choose a pencil, and for each choice there are 2 ways to choose a notebook. By the multiplication principle, the total number of ways is \(6\times2=12\). The values 8 and 10 result from addition, but both choices are made together, so their possibilities must be multiplied. Exam tip: multiply the numbers of ways for independent successive choices.
असमानता \(y<-2\) में \(y\) का मान \(-2\) से कम होना चाहिए। सीमा रेखा \(y=-2\) एक क्षैतिज रेखा है, इसलिए इसके नीचे के सभी बिंदु हल देते हैं। चूँकि असमानता सख्त है, सीमा रेखा स्वयं शामिल नहीं होती और उसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) की तुलना स्थिर संख्या से हो तो क्षैतिज सीमा रेखा बनाकर ऊपर या नीचे का क्षेत्र चुनें। / In \(y<-2\), the value of \(y\) must be less than \(-2\). The boundary \(y=-2\) is a horizontal line, so all points below it satisfy the inequality. Because the inequality is strict, the boundary line itself is not included and is usually drawn dashed. Exam tip: when \(y\) is compared with a constant, draw a horizontal boundary and choose the region above or below it.
गुणन सिद्धांत के अनुसार, यदि पहला चयन 3 तरीकों से और दूसरा चयन 5 तरीकों से किया जा सकता है, तो कुल चयन \(3 \times 5 = 15\) होंगे। 8 प्राप्त करने के लिए संख्याओं को जोड़ना होगा, जबकि यहाँ दोनों चयन साथ किए जा रहे हैं। परीक्षा में “एक वस्तु और एक वस्तु” जैसे स्वतंत्र चरण दिखें, तो गुणा का नियम लागू करें। / By the multiplication principle, the subject can be chosen in 3 ways and the game in 5 ways, so the total number of selections is \(3 \times 5 = 15\). The answer 8 would result from adding the choices, but both selections are made together, so multiplication is required. In an exam, use the multiplication rule when independent choices are made successively.
सीमा रेखा \(x=5\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। \(x\leq 5\) का अर्थ है कि x-निर्देशांक 5 से कम या उसके बराबर होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के बाईं ओर होगा और सीमा रेखा भी इसमें शामिल होगी। दाईं ओर का क्षेत्र \(x>5\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=a\) में \(x\leq a\) के लिए बाईं ओर और \(x\geq a\) के लिए दाईं ओर छायांकन करें। / The boundary line \(x=5\) is vertical. The inequality \(x\leq 5\) requires the x-coordinate to be 5 or less, so the solution region lies to the left of the line and includes the boundary. The right side represents \(x>5\). Exam tip: for a vertical line \(x=a\), shade left for \(x\leq a\) and right for \(x\geq a\).
पहले स्थान के (5) और दूसरे के (10) विकल्प हैं इसलिए \(5\times10=50\)। हर स्थान के विकल्प अलग गिनें। / The first place has (5) choices and the second has (10), so \(5\times10=50\). Count choices for each position separately.
B. सीमा-रेखा के दाईं ओर/To the right of the boundary line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x>-1\) में \(x\) का मान \(-1\) से बड़ा होना चाहिए। इसलिए ऊर्ध्वाधर सीमा-रेखा \(x=-1\) के दाईं ओर के सभी बिंदु हल होंगे। क्योंकि असमानता सख्त है, \(x=-1\) वाली सीमा-रेखा स्वयं हल में शामिल नहीं होगी। परीक्षा-युक्ति: \(x>a\) के लिए संख्या-रेखा पर \(a\) के दाईं ओर का भाग चुना जाता है। / In \(x>-1\), the value of \(x\) must be greater than \(-1\). Therefore, all points to the right of the vertical boundary line \(x=-1\) satisfy the inequality. Since the inequality is strict, the boundary line itself is not included. Exam tip: For \(x>a\), select the region to the right of \(a\) on the number line.
यात्री या तो 4 बस मार्गों में से किसी एक को चुन सकता है या 3 रेल मार्गों में से किसी एक को। ये विकल्प परस्पर अलग हैं, इसलिए योग नियम के अनुसार कुल तरीके \(4+3=7\) होंगे। 12 प्राप्त करने के लिए गुणा करना गलत है, क्योंकि यात्री बस और रेल दोनों मार्ग एक साथ नहीं चुन रहा है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग ‘या’ वाले विकल्पों में जोड़ें, जबकि क्रमिक ‘और’ वाले विकल्पों में गुणा करें। / The traveller can choose one of the 4 bus routes or one of the 3 train routes. Since these choices are mutually exclusive, the addition principle gives \(4+3=7\) ways. Multiplying to get 12 would be incorrect because both a bus route and a train route are not being selected together. Exam tip: add mutually exclusive ‘or’ choices and multiply successive ‘and’ choices.
बिंदु \((0,0)\) के निर्देशांकों को असमानता में रखने पर \(0+0\leq 4\), अर्थात् \(0\leq 4\), प्राप्त होता है। यह सत्य है, इसलिए बिंदु असमानता को संतुष्ट करता है। यह बिंदु सीमा \(x+y=4\) पर नहीं, बल्कि उसके द्वारा निर्धारित क्षेत्र के भीतर है। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक सीधे असमानता में रखें। / Substituting the coordinates of \((0,0)\) gives \(0+0\leq 4\), or \(0\leq 4\), which is true. Therefore, the point satisfies the inequality. It is not on the boundary \(x+y=4\); it lies inside the solution region. In an exam, test a point by substituting its coordinates directly into the inequality.
एक परीक्षा में 6 लघु-उत्तरीय प्रश्न और 4 दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न दिए गए हैं। विद्यार्थी को इनमें से ठीक एक प्रश्न हल करना है। प्रश्न चुनने के उसके पास कितने तरीके हैं?
विद्यार्थी 6 लघु प्रश्नों में से कोई एक या 4 दीर्घ प्रश्नों में से कोई एक चुन सकता है। ये दो अलग-अलग और परस्पर अपवर्जी विकल्प हैं, इसलिए योग का नियम लागू होगा: 6 + 4 = 10। विकल्प 24 (= 6 × 4) तब होता जब एक लघु और एक दीर्घ, दोनों प्रश्न चुनने होते। परीक्षा-युक्ति: ‘या’ वाले परस्पर अलग विकल्पों में जोड़ते हैं, जबकि ‘और’ वाले स्वतंत्र चयन में गुणा करते हैं। / The student can choose one of the 6 short-answer questions or one of the 4 long-answer questions. These are mutually exclusive alternatives, so the addition rule applies: 6 + 4 = 10. The value 24 (= 6 × 4) would apply if the student had to choose both one short and one long question. Exam tip: add the counts for ‘or’ choices and multiply for combined ‘and’ choices.
बिंदु �(0,0)� के लिए �x+y=0+0=0� होता है। अतः जाँचने पर �0\geq 2� मिलता है, जो असत्य है। इसलिए यह बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में स्थित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर सत्य या असत्य निर्धारित करें। / For the point �(0,0)�, we get �x+y=0+0=0�. Thus the inequality becomes �0\geq 2�, which is false. Therefore, the point does not lie in the solution region. Exam tip: To test a point, substitute its coordinates into the inequality and check whether the resulting statement is true.
एक ही वक्ता चुनना है इसलिए कुल (7+5=12)। एक वस्तु समूहों से चुननी हो तो जोड़ें। / Only one speaker is to be chosen, so total ways are (7+5=12). Add when choosing one object from groups.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः \(x+y=5\) में \(y=0\) रखने पर \(x=5\) मिलता है। इसलिए अंतःखंड का \(x\)-coordinate 5 है और अंतःखंड-बिंदु \((5,0)\) है। परीक्षा में \(x\)-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the x-axis has \(y=0\). Substituting \(y=0\) in \(x+y=5\) gives \(x=5\). Therefore, the x-coordinate of the intercept is 5, and the intercept point is \((5,0)\). For exams, remember to set \(y=0\) when finding the x-intercept.
एक पुस्तक गणित या विज्ञान से चुनी जाएगी इसलिए (8+6=14)। “केवल एक” में जोड़ने का नियम देखें। / One book is chosen from mathematics or science, so (8+6=14). For “only one,” look for the addition rule.
यात्रा दो लगातार चरणों में है इसलिए \(3\times4=12\)। लगातार चरणों में गुणन सिद्धांत लगाएँ। / The journey has two consecutive stages, so \(3\times4=12\). Apply multiplication for consecutive stages.
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता चिह्न को बराबर में बदलते हैं। यही आलेख की पहली रेखा होती है। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. This is the first line drawn in the graph.
एक भोजन-थाली में रोटी के 2 विकल्प, सब्ज़ी के 3 विकल्प और मिठाई के 2 विकल्प हैं। प्रत्येक श्रेणी से एक-एक विकल्प चुनकर थाली बनाने के कुल कितने तरीके होंगे?
गुणन सिद्धांत के अनुसार स्वतंत्र चुनावों की कुल संख्या को गुणा किया जाता है: \(2\times3\times2=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 6 केवल 2 और 3 को गुणा करने पर मिलता है, जिसमें मिठाई के 2 विकल्पों को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: जब कई चरणों में प्रत्येक चरण से एक विकल्प चुनना हो, तो उपलब्ध विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / By the multiplication principle, the numbers of independent choices are multiplied: \(2\times3\times2=12\). Therefore, the correct answer is 12. The distractor 6 results from multiplying only 2 and 3 and ignoring the 2 dessert choices. Exam tip: When one choice is made from each of several independent categories, multiply the number of choices in all categories.
किसी असमानता की सीमा रेखा प्राप्त करने के लिए असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न में बदल दिया जाता है। इसलिए \(3x-y>6\) की सीमा रेखा \(3x-y=6\) है। विकल्प A और C क्षेत्र को दर्शाते हैं, रेखा को नहीं। परीक्षा में याद रखें: \(>\) या \(<\) वाली असमानताओं की सीमा रेखा सामान्यतः dashed होती है। / To obtain the boundary line of an inequality, replace the inequality sign with an equality sign. Thus, the boundary line of \(3x-y>6\) is \(3x-y=6\). Options A and C describe regions, not the boundary line itself. Exam tip: for strict inequalities such as \(>\) or \(<\), the boundary is generally drawn as a dashed line.
एक बैग में 3 अलग-अलग रंगों के पेन, 4 अलग-अलग रंगों के मार्कर और 2 अलग-अलग रंगों की पेंसिलें हैं। एक पेन, एक मार्कर और एक पेंसिल चुनने के कितने तरीके हैं?
पेन चुनने के 3, मार्कर चुनने के 4 और पेंसिल चुनने के 2 तरीके हैं। ये चुनाव स्वतंत्र हैं और तीनों वस्तुएँ चुननी हैं, इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(3\times4\times2=24\) होंगे। 12 लेने पर किसी एक चरण के विकल्पों को ठीक से शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा में याद रखें: ‘और’ से जुड़े स्वतंत्र चुनावों में गुणा किया जाता है। / There are 3 choices for the pen, 4 choices for the marker, and 2 choices for the pencil. Since these choices are independent and all three items must be selected, the multiplication principle gives \(3\times4\times2=24\) ways. The value 12 fails to account correctly for all three selection stages. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent choices are connected by ‘and’.
बिंदु \\(1,2\\) के निर्देशांक रखने पर \\(x+y\\leq 3\\) से \\(1+2\\leq 3\\), अर्थात \\(3\\leq 3\\) प्राप्त होता है। यह कथन सत्य है क्योंकि बराबरी भी \\(\\leq\\) में सम्मिलित होती है। इसलिए यह बिंदु सीमा रेखा \\(x+y=3\\) पर स्थित है। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर देखें कि कथन सत्य होता है या नहीं। / Substituting the coordinates of \\(1,2\\) into \\(x+y\\leq 3\\) gives \\(1+2\\leq 3\\), or \\(3\\leq 3\\). This is true because equality is included in the symbol \\(\\leq\\). Hence, the point lies on the boundary line \\(x+y=3\\). Exam tip: To test a point in an inequality, substitute its coordinates and check whether the resulting statement is true.
एक ऑनलाइन फॉर्म में कक्षा चुनने के लिए 4 विकल्प, सेक्शन चुनने के लिए 3 विकल्प और विषय चुनने के लिए 5 विकल्प हैं। एक कक्षा, एक सेक्शन और एक विषय का पूरा चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?
गुणन सिद्धांत के अनुसार, स्वतंत्र चरणों में किए गए चयन के कुल तरीके विकल्पों की संख्याओं के गुणनफल के बराबर होते हैं। इसलिए कुल तरीके \\(4 \\times 3 \\times 5 = 60\\) हैं। 45 केवल 3 और 5 को गुणा करने पर मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में अलग-अलग चरणों के विकल्प दिए हों और हर चरण में एक चयन करना हो, तो उनकी संख्याओं को गुणा करें। / By the multiplication principle, when choices are made in successive independent stages, the total number of selections is the product of the choices at each stage. Thus, the total is \\(4 \\times 3 \\times 5 = 60\\). The value 45 results from multiplying only 3 and 5, so it omits the class choice. In exams, multiply the numbers of choices for all successive selections.
बिंदु \((2,3)\) के लिए \(x+y=2+3=5\)। इसलिए असमानता \(5<5\) बनती है, जो असत्य है। चूँकि यह कठोर असमानता है, इसमें बराबरी की स्थिति स्वीकार नहीं होती; अतः बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा में \(<\) और \(\leq\) का अंतर अवश्य जाँचें। / For the point \((2,3)\), \(x+y=2+3=5\). Thus, the inequality becomes \(5<5\), which is false. Since this is a strict inequality, equality is not included, so the point does not satisfy it. In exams, carefully distinguish between \(<\) and \(\leq\).
तीनों विकल्प एक साथ चाहिए इसलिए \(5\times2\times3=30\)। पूर्ण व्यवस्था में सभी चरण गिनें। / All three choices are needed, so \(5\times2\times3=30\). Count every stage in a complete arrangement.
मूल-बिंदु \,\((0,0)\) को असमानता में रखने पर \(0+0\leq 7\), अर्थात् \(0\leq 7\), प्राप्त होता है और यह सत्य है। इसलिए समाधान क्षेत्र उस ओर होगा जिसमें मूल-बिंदु स्थित है। विकल्प B असमानता का चिह्न उलट देता है। परीक्षा-युक्ति: रेखीय असमानता के ग्राफ में किसी परीक्षण-बिंदु को सीमा-रेखा पर नहीं, बल्कि उसके किसी एक ओर चुनें। / Substituting the origin \,\((0,0)\) into the inequality gives \(0+0\leq 7\), or \(0\leq 7\), which is true. Therefore, the solution region lies on the side containing the origin. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Exam tip: In graphing a linear inequality, choose a test point that does not lie on the boundary line.
हर स्थान के (10) विकल्प हैं इसलिए \(10\times10\times10=1000\)। कोड में पहला (0) भी चल सकता है तो (10) विकल्प लें। / Each position has (10) choices, so \(10\times10\times10=1000\). In a code, if leading (0) is allowed, take (10) choices.
B. मूल बिंदु के विपरीत वाला अर्ध-समतल/The half-plane opposite the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0+0\ge 9\), अर्थात् \(0\ge 9\), असत्य प्राप्त होता है। इसलिए मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल असमानता को संतुष्ट नहीं करता और उसके विपरीत अर्ध-समतल को छायांकित किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) वाली असमानता में सीमा रेखा भी शामिल होती है, इसलिए उसे ठोस रेखा से दर्शाएँ। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0+0\ge 9\), or \(0\ge 9\), which is false. Therefore, the half-plane containing the origin does not satisfy the inequality, so the opposite half-plane is shaded. Exam tip: For an inequality with \(\ge\) or \(\le\), the boundary line is included and should be drawn as a solid line.
दोनों स्थानों के (9) विकल्प हैं इसलिए \(9\times9=81\)। पुनरावृत्ति हो तो विकल्प घटते नहीं हैं। / Both positions have (9) choices, so \(9\times9=81\). With repetition, choices do not decrease.
A. (y)-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र, जिसमें (y)-अक्ष भी शामिल है/The region to the right of the (y)-axis, including the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x \ge 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए यह \(y\)-अक्ष के दाईं ओर का पूरा क्षेत्र दर्शाती है और \(x=0\) होने के कारण \(y\)-अक्ष को भी शामिल करती है। इसके विपरीत, \(x \le 0\) \(y\)-अक्ष के बाईं ओर का क्षेत्र देता है। परीक्षा-युक्ति: \(x\) का चिह्न क्षेत्र की क्षैतिज दिशा और \(y\) का चिह्न ऊर्ध्वाधर दिशा निर्धारित करता है। / The inequality \(x \ge 0\) means that the \(x\)-coordinate of every point is zero or positive. Hence, it represents the entire region to the right of the \(y\)-axis and includes the \(y\)-axis because \(x=0\) is allowed. In contrast, \(x \le 0\) represents the region to the left of the \(y\)-axis. Exam tip: an inequality involving \(x\) determines the horizontal side, while one involving \(y\) determines the vertical side.
पहले स्थान के (4) और दूसरे के (3) विकल्प हैं इसलिए \(4\times3=12\)। बिना पुनरावृत्ति हर अगले स्थान पर विकल्प घटते हैं। / The first place has (4) choices and the second has (3), so \(4\times3=12\). Without repetition, choices decrease at the next place.
\(y\geq 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए इसमें x-अक्ष पर स्थित बिंदु और उसके ऊपर के सभी बिंदु शामिल होते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि वह \(y<0\) वाले क्षेत्र को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) का चिन्ह क्षेत्र की ऊँचाई बताता है—\(y\geq 0\) x-अक्ष पर या उसके ऊपर होता है। / The inequality \(y\geq 0\) means that the y-coordinate of every point is zero or positive. Therefore, it includes the points on the x-axis as well as all points above it. Option C represents the region where \(y<0\), so it is incorrect. Exam tip: The sign of y indicates vertical position—\(y\geq 0\) lies on or above the x-axis.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (4) विकल्प और इकाई पर (5) विकल्प हैं। कुल \(4\times5=20\) हैं। / The tens place cannot be (0), so it has (4) choices and the units place has (5). Total ways are \(4\times5=20\).
A. पहला चतुर्थांश, अक्षों सहित/First quadrant, including the axes
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) का अर्थ है कि बिंदु y-अक्ष के दाईं ओर या y-अक्ष पर होगा, जबकि \(y\geq 0\) का अर्थ है कि वह x-अक्ष के ऊपर या x-अक्ष पर होगा। इसलिए दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र पहला चतुर्थांश है, जिसमें दोनों अक्ष और मूलबिंदु भी शामिल हैं। परीक्षा में \(\geq\) देखकर सीमा-रेखाओं को शामिल करना न भूलें। / The inequality \(x\geq 0\) places a point on or to the right of the y-axis, while \(y\geq 0\) places it on or above the x-axis. Hence, the common region is the first quadrant, including both axes and the origin. Exam tip: the symbol \(\geq\) means that the boundary lines are included.
तीन स्थानों के विकल्प (5,4,3) हैं इसलिए \(5\times4\times3=60\)। स्थान भरते समय बचे हुए विकल्प देखें। / The choices for three places are (5,4,3), so \(5\times4\times3=60\). While filling positions, track remaining choices.
समीकरण (x=4) में प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 4 होता है, जबकि y का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर बनने वाली लंबवत रेखा है। क्षैतिज रेखा के लिए सामान्यतः (y=c) का रूप होता है। परीक्षा-युक्ति: (x=c) को लंबवत और (y=c) को क्षैतिज रेखा के रूप में याद रखें। / In the equation (x=4), the x-coordinate is fixed at 4, while y can take any value. Therefore, its graph is a vertical line parallel to the y-axis. A horizontal line generally has the form (y=c). Exam tip: remember that (x=c) represents a vertical line, whereas (y=c) represents a horizontal line.
सैकड़ा स्थान पर (0) नहीं होगा इसलिए (3) विकल्प हैं। फिर (3) और (2) विकल्प बचते हैं इसलिए \(3\times3\times2=18\)। / The hundreds place cannot be (0), so it has (3) choices. Then (3) and (2) choices remain, giving \(3\times3\times2=18\).
समीकरण \(y=-3\) में प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(-3\) समान रहता है, जबकि \(x\) का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होती है। लंबवत रेखा में \(x\)-निर्देशांक स्थिर रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का आलेख हमेशा क्षैतिज और \(x=c\) का आलेख हमेशा लंबवत रेखा होता है। / In the equation \(y=-3\), the \(y\)-coordinate remains fixed at \(-3\), while \(x\) can take any real value. Therefore, its graph is a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. A vertical line has a constant \(x\)-coordinate, so option A is incorrect. Exam tip: \(y=c\) represents a horizontal line, whereas \(x=c\) represents a vertical line.
हर स्थान के (4) विकल्प हैं इसलिए \(4\times4\times4=64\)। पुनरावृत्ति होने पर हर स्थान पर समान विकल्प रहते हैं। / Each place has (4) choices, so \(4\times4\times4=64\). With repetition, each place keeps the same choices.
B. रेखा के नीचे, सीमा रेखा सहित/Below the line, including the boundary line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\leq x+1\) का अर्थ है कि \(y\) का मान रेखा \(y=x+1\) के मान से कम या उसके बराबर है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के नीचे होता है और \(\leq\) के कारण सीमा रेखा भी इसमें शामिल होती है, जिसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा में \(\leq\) या \(\geq\) देखकर सीमा रेखा को शामिल करना याद रखें। / The inequality \(y\leq x+1\) means that the value of \(y\) is less than or equal to the corresponding value on the line \(y=x+1\). Therefore, the solution region lies below the line, and the boundary line is included because of \(\leq\); it is drawn as a solid line. In an exam, remember that \(\leq\) and \(\geq\) include the boundary.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प हैं और दहाई पर (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(3\times5=15\) हैं। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and (5) choices remain for the tens place. Total ways are \(3\times5=15\).
सीमा रेखा \(y=2x-1\) है। असमानता \(y>2x-1\) में \(y\) का मान सीमा रेखा के संगत मान से अधिक होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर होगा। चूँकि असमानता में \(>\) है, सीमा रेखा स्वयं हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होगी। परीक्षा में दिशा जाँचने के लिए किसी बिंदु, जैसे \((0,0)\), को असमानता में रखकर भी सत्यापन किया जा सकता है। / The boundary line is \(y=2x-1\). In \(y>2x-1\), the value of \(y\) must be greater than the corresponding value on the boundary line, so the solution region lies above the line. Since the inequality is strict (\(>\)), the boundary line itself is not included. As an exam tip, you can verify the shaded side by testing a point such as \((0,0)\) in the inequality.
इकाई स्थान पर (1,3,5) के (3) विकल्प हैं और दहाई पर (1) से (5) तक (5) विकल्प हैं। कुल \(5\times3=15\) हैं। / The units place has (3) choices (1,3,5), and the tens place has (5) choices from (1) to (5). Total ways are \(5\times3=15\).
बिंदु (4, 0) के लिए \(4+0=4\) और बिंदु (0, 4) के लिए \(0+4=4\), इसलिए दोनों बिंदु रेखा पर स्थित हैं। विकल्प B में (1, 1) के लिए योग 2 है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। रेखा बनाने की परीक्षा-युक्ति: समीकरण में \(x=0\) और \(y=0\) रखकर क्रमशः अक्ष-अंतःखंड प्राप्त करें। / For (4, 0), \(4+0=4\), and for (0, 4), \(0+4=4\); hence both points lie on the line. In option B, the point (1, 1) gives a sum of 2, so it does not lie on the line. Exam tip: Put \(x=0\) and \(y=0\) in the equation to obtain the two intercepts quickly.
हर स्थान पर (5) अक्षर आ सकते हैं इसलिए \(5\times5=25\)। कोड में पुनरावृत्ति हो तो प्रत्येक स्थान पर समान विकल्प रखें। / Each position can take (5) letters, so \(5\times5=25\). If repetition is allowed in a code, keep the same choices for each position.
x-अंतःखंड पर बिंदु x-अक्ष पर होता है, इसलिए वहाँ \(y=0\) रखते हैं। तब \(2x+0=6\), अर्थात् \(x=3\)। इसलिए x-अंतःखंड का x-निर्देशांक 3 है; पूरा अंतःखंड \((3,0)\) होगा। परीक्षा टिप: x-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At the x-intercept, the point lies on the x-axis, so \(y=0\). Substituting gives \(2x+0=6\), hence \(x=3\). Therefore, the x-coordinate is 3, and the complete intercept is \((3,0)\). Exam tip: To find an x-intercept, set \(y=0\).
तीन स्थानों के लिए (6,5,4) विकल्प हैं इसलिए \(6\times5\times4=120\)। बिना पुनरावृत्ति चुना हुआ अक्षर फिर उपलब्ध नहीं रहता। / For three positions, choices are (6,5,4), so \(6\times5\times4=120\). Without repetition, a chosen letter is no longer available.
एक वाहन नंबर में दो अक्षरों के बाद दो अंक लिखे जाते हैं। प्रत्येक अक्षर के लिए 4 विकल्प और प्रत्येक अंक के लिए 10 विकल्प उपलब्ध हैं। यदि अक्षरों और अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो कुल कितने अलग-अलग वाहन नंबर बनाए जा सकते हैं?
गुणन सिद्धांत के अनुसार चारों स्थानों के विकल्पों को गुणा किया जाता है। इसलिए कुल नंबर \\(4\times4\times10\times10=1600\\) होंगे। पुनरावृत्ति की अनुमति होने के कारण हर स्थान पर विकल्पों की संख्या समान रहती है। 400 जैसे उत्तर में सभी चार स्थानों के विकल्पों का सही गुणन नहीं किया गया है। परीक्षा में क्रमबद्ध स्वतंत्र स्थानों के लिए विकल्पों का गुणन करना याद रखें। / By the multiplication principle, the choices for all four positions are multiplied. Thus, the total number of vehicle numbers is \\(4\times4\times10\times10=1600\\). Since repetition is allowed, each letter and digit position retains its full set of choices. The answer 400 does not correctly multiply the choices for all four positions. Exam tip: multiply the number of choices available at each successive independent position.
