Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है।
A. (x=3) पर स्पर्श और (x=-4) पर कटान/Touches at (x=3) and crosses at (x=-4)
Step 1
Concept
The even-power factor ((x-3)2) gives touching and the single factor (x+4) gives crossing. Tip: identify behavior from factor power.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=3) पर स्पर्श और (x=-4) पर कटान / Touches at (x=3) and crosses at (x=-4). The even-power factor ((x-3)2) gives touching and the single factor (x+4) gives crossing. Tip: identify behavior from factor power.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाला कारक ((x-3)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x+4) कटान देता है। टिप: गुणनखंड की घात से व्यवहार पहचानें।
(x=-3) lies between the two zeroes, and an upward parabola is below the axis there. Tip: check the sign between zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x)-अक्ष के नीचे / Below the (x)-axis. (x=-3) lies between the two zeroes, and an upward parabola is below the axis there. Tip: check the sign between zeroes.
Step 3
Exam Tip
(x=-3) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाले परवलय में बीच का भाग नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत देखें।
In this interval the first factor is positive and the second is negative, and the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर / Above. In this interval the first factor is positive and the second is negative, and the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहला कारक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है, बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक करता है। टिप: हर कारक का चिह्न अलग देखें।
The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-5). The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें।
B. दोनों शून्यकों पर स्पर्श करेगा/It will touch at both zeroes
Step 1
Concept
Both factors have even powers, so the graph touches at both places. Tip: an even-power zero usually gives touching, not crossing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों शून्यकों पर स्पर्श करेगा / It will touch at both zeroes. Both factors have even powers, so the graph touches at both places. Tip: an even-power zero usually gives touching, not crossing.
Step 3
Exam Tip
दोनों कारक सम घात में हैं, इसलिए दोनों स्थानों पर स्पर्श होगा। टिप: सम घात वाला शून्यक आमतौर पर कटान नहीं बल्कि स्पर्श देता है।
The zeroes are (2) and (-6), but (-6) is repeated. Tip: count repetition once for distinct zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2) और (-6) / (2) and (-6). The zeroes are (2) and (-6), but (-6) is repeated. Tip: count repetition once for distinct zeroes.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (2) और (-6) हैं, पर (-6) दोहराया गया है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव एक बार गिनें।
(x-2-4x-21=(x-7)(x+3)), so the zeroes are (7) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((7,0)) और ((-3,0)) / ((7,0)) and ((-3,0)). (x-2-4x-21=(x-7)(x+3)), so the zeroes are (7) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
Step 3
Exam Tip
(x-2-4x-21=(x-7)(x+3)) है, इसलिए शून्यक (7) और (-3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं।
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु (x)-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point is also on the (x)-axis
Step 1
Concept
The origin lies on both axes, so (p(0)=0). Tip: treat ((0,0)) as a special point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु (x)-अक्ष पर भी है / (0) is a zero because the point is also on the (x)-axis. The origin lies on both axes, so (p(0)=0). Tip: treat ((0,0)) as a special point.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु दोनों अक्षों पर होता है, इसलिए (p(0)=0) है। टिप: ((0,0)) को विशेष बिंदु मानें।
The zeroes are (a), (b), (c), so their product is (abc). Tip: even in symbolic points, the first coordinate is the zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (abc). The zeroes are (a), (b), (c), so their product is (abc). Tip: even in symbolic points, the first coordinate is the zero.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (a), (b), (c) हैं, इसलिए गुणनफल (abc) है। टिप: प्रतीकात्मक बिंदु में भी पहला निर्देशांक शून्यक है।
A. क्योंकि यह ((x+2)2+4) है/Because it is ((x+2)2+4)
Step 1
Concept
((x+2)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square can prevent intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि यह ((x+2)2+4) है / Because it is ((x+2)2+4). ((x+2)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square can prevent intersection.
Step 3
Exam Tip
((x+2)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर कटान रुक सकता है।
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Step 1
Concept
((x-3)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=3). Tip: power (2) shows a repeated zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा / The graph will touch the (x)-axis. ((x-3)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=3). Tip: power (2) shows a repeated zero.
Step 3
Exam Tip
((x-3)2) सम घात का कारक है, इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है।
The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=b-2). The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
Step 3
Exam Tip
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जाँचें।
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0)) / Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें।
B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/The zeroes are opposites and their sum is (0)
Step 1
Concept
The zeroes (-6) and (6) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है / The zeroes are opposites and their sum is (0). The zeroes (-6) and (6) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (-6) और (6) विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: विपरीत शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं।
A. (\left\(\frac{4}{3},0\right\)) और (\left\(-\frac{4}{3},0\right\))/(\left\(\frac{4}{3},0\right\)) and (\left\(-\frac{4}{3},0\right\))
Step 1
Concept
From \(9x^2-16=0\), \(x=\pm\frac{4}{3}\). Tip: treat \(9x^2\) as ((3x)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\left\(\frac{4}{3},0\right\)) और (\left\(-\frac{4}{3},0\right\)) / (\left\(\frac{4}{3},0\right\)) and (\left\(-\frac{4}{3},0\right\)). From \(9x^2-16=0\), \(x=\pm\frac{4}{3}\). Tip: treat \(9x^2\) as ((3x)2).
Step 3
Exam Tip
\(9x^2-16=0\) से \(x=\pm\frac{4}{3}\) मिलता है। टिप: \(9x^2\) को ((3x)2) समझें।
Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता।
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)), and the real zeroes are only \(\pm2\). Tip: \(x^2+4\) gives no real zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-2,0)) और ((2,0)) / ((-2,0)) and ((2,0)). (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)), and the real zeroes are only \(\pm2\). Tip: \(x^2+4\) gives no real zero.
Step 3
Exam Tip
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm2\) हैं। टिप: \(x^2+4\) वास्तविक शून्यक नहीं देता।
For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4). For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Step 1
Concept
(x-2+10x+29=(x+5)2+4), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता / The graph does not cut the (x)-axis. (x-2+10x+29=(x+5)2+4), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
Step 3
Exam Tip
(x-2+10x+29=(x+5)2+4) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कटान नहीं देता।
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Step 1
Concept
\(8=\frac{4+12}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint need not be a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है / It is the midpoint of the two zeroes. \(8=\frac{4+12}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint need not be a zero.
Step 3
Exam Tip
\(8=\frac{4+12}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य बिंदु शून्यक हो यह जरूरी नहीं।
(3x-2-18x+27=3(x-3)2), so it touches at (x=3). Tip: the outside (3) does not change the zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=3) पर स्पर्श करेगा / It will touch at (x=3). (3x-2-18x+27=3(x-3)2), so it touches at (x=3). Tip: the outside (3) does not change the zero.
Step 3
Exam Tip
(3x-2-18x+27=3(x-3)2) है, इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (3) शून्यक नहीं बदलता।
For (x<-8), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नीचे / Below. For (x<-8), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
Step 3
Exam Tip
(x<-8) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें।
For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x)-अक्ष के नीचे / Below the (x)-axis. For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
Step 3
Exam Tip
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है।
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Step 1
Concept
For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10) को (4) करना होगा / (10) must be changed to (4). For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
Step 3
Exam Tip
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं।
A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-2)
Step 1
Concept
The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श / Two points, touching at (x=-2). The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (-2) और (7) हैं, तथा ((x+2)2) के कारण (-2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता।
In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: an odd number of negative factors gives a negative value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: an odd number of negative factors gives a negative value.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: विषम संख्या ऋणात्मक कारकों से मान ऋणात्मक होता है।
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Step 1
Concept
The discriminant is \(c^2-4c^2=-3c^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है / Because its discriminant is negative. The discriminant is \(c^2-4c^2=-3c^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर \(c^2-4c^2=-3c^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है।
The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक / One. The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((4,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है।
The discriminant is (64-88=-24), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं काटेगा / It will not cut. The discriminant is (64-88=-24), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (64-88=-24) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता।
It is ((x-a)2-9), so \(x-a=\pm3\) and the zeroes are (a-3), (a+3). Tip: use difference of squares.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a-3) और (a+3) / (a-3) and (a+3). It is ((x-a)2-9), so \(x-a=\pm3\) and the zeroes are (a-3), (a+3). Tip: use difference of squares.
Step 3
Exam Tip
यह ((x-a)2-9) है, इसलिए \(x-a=\pm3\) और शून्यक (a-3), (a+3) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें।
