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An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: \(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है।
(9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। चरण 2: (9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
\(\sqrt{16}=4\), and (4) can be written as \(\frac{4}{1}\).
Step 3
Exam Tip
A number that can be written as a fraction is rational. चरण 1: (16) एक पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{16}=4\), और (4) को \(\frac{4}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: जो संख्या भिन्न रूप में लिखी जा सके, वह परिमेय होती है।
So \(\sqrt{10}\) cannot be written exactly as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Be careful while identifying square roots of non-perfect squares. चरण 1: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{10}\) को ठीक-ठीक \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 3: बिना पूर्ण वर्ग वाली संख्या का वर्गमूल पहचानने में सावधानी रखें।
(6) is not a perfect square, so \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, eliminate clear rational numbers first. चरण 1: दशमलव (0.75), भिन्न और पूर्णांक परिमेय होते हैं। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले साफ परिमेय संख्याएँ हटाने से उत्तर जल्दी मिलता है।
C. अनवसानी और अनावर्ती दशमलव/Non-terminating and non-recurring decimal
Step 1
Concept
A rational number has either a terminating or recurring decimal form.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number has a non-terminating and non-recurring decimal form.
Step 3
Exam Tip
While judging decimals, carefully check recurring and non-recurring patterns. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या आवर्ती होता है। चरण 2: अपरिमेय संख्या का दशमलव अनवसानी और अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव पहचान में आवर्ती और अनावर्ती का अंतर जरूर देखें।
Do not call a repeating decimal irrational. चरण 1: \(0.3333\ldots\) में (3) बार-बार दोहराता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या होता है। चरण 3: बार-बार दोहरने वाला दशमलव देखकर उसे अपरिमेय न मानें।
C. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Step 1
Concept
The digits do not repeat in a fixed recurring pattern.
Step 2
Why this answer is correct
It is non-terminating and non-recurring, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
In long decimals, check whether there is a fixed repeating block. चरण 1: दिए गए दशमलव में अंकों का दोहराव निश्चित रूप से नहीं चल रहा है। चरण 2: यह अनवसानी और अनावर्ती दशमलव है, इसलिए अपरिमेय है। चरण 3: लंबे दशमलव में दोहराव का साफ नियम न हो तो उसे ध्यान से पहचानें।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
Adding a rational number does not make it rational.
Step 3
Exam Tip
Adding a simple rational number to an irrational number generally keeps it irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (3) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बन जाती। चरण 3: अपरिमेय में कोई साधारण परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम आम तौर पर अपरिमेय रहता है।
\(\sqrt{2}\) is irrational and (2) is non-zero rational, so \(2\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
First simplify like radicals, then decide the type. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (2) अशून्य परिमेय है, इसलिए \(2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को पहले जोड़कर सरल करें।
Multiplying a square root by itself gives the number inside the root.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), and (5) is rational.
Step 3
Exam Tip
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल को उसी से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), और (5) परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
Because there is one negative sign, the product is (-7).
Step 3
Exam Tip
Pay attention to both the sign and the square root. चरण 1: \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\) होता है। चरण 2: एक ऋण चिह्न होने से गुणनफल (-7) होगा। चरण 3: चिह्न और वर्गमूल दोनों पर ध्यान दें।
The question asks for the number that is not irrational, so look for a rational option.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{25}=5\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Be careful with negative wording in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय विकल्प खोजें। चरण 2: \(\sqrt{25}=5\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: नकारात्मक शब्दों वाले प्रश्नों में जल्दबाजी न करें।
While simplifying square roots, take the perfect square factor outside. चरण 1: \(12=4 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल सरल करते समय पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें।
Choosing the largest perfect square factor makes simplification faster. चरण 1: \(18=9 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनने से उत्तर जल्दी सरल होता है।
C. यह अनवसानी और अनावर्ती है/It is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
(3) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
An irrational decimal has no fixed repeating pattern. चरण 1: (3) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव अनवसानी और अनावर्ती होगा। चरण 3: अपरिमेय संख्या के दशमलव में कोई स्थिर दोहराव नहीं होता।
A rational number can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
A number that cannot be written in this form is called irrational.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, remember the condition \(q \neq 0\). चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: जो संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती, वह अपरिमेय कहलाती है। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्न में \(q \neq 0\) की शर्त याद रखें।
C. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है/The square root of a perfect square is rational
Step 1
Concept
Square roots of perfect squares are integers.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{36}=6\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume every square root is irrational. चरण 1: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। चरण 2: जैसे \(\sqrt{36}=6\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: हर वर्गमूल को अपरिमेय मान लेना गलत है।
While multiplying square roots, multiply the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}\)। चरण 2: \(\sqrt{16}=4\), इसलिए मान परिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को गुणा करते समय अंदर की संख्याएँ गुणा करें।
A larger perfect square factor makes square-root simplification easier. चरण 1: \(50=25 \times 2\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{50}=\sqrt{25 \times 2}=5\sqrt{2}\)। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड से वर्गमूल सरल करना आसान होता है।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the nature of both parts separately. चरण 1: (2) परिमेय है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दोनों भागों की प्रकृति अलग-अलग पहचानें।
The difference of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: किसी संख्या में से वही संख्या घटाने पर (0) मिलता है। चरण 2: \(\sqrt{11}-\sqrt{11}=0\), और (0) परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का अंतर हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
Dividing it by the non-zero rational number (2) still gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Multiplying or dividing an irrational number by a non-zero rational number generally keeps it irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसे अशून्य परिमेय संख्या (2) से भाग देने पर भी परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को अशून्य परिमेय से गुणा या भाग करने पर सामान्यतः अपरिमेय परिणाम मिलता है।
First find the square roots of perfect squares separately. चरण 1: \(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\)। चरण 2: दोनों को जोड़ने पर (2+3=5) मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें।
C. जिसका दशमलव अनवसानी और अनावर्ती हो/Its decimal is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
It also does not repeat in a fixed pattern.
Step 3
Exam Tip
Decimal expansion is a useful way to identify irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या का दशमलव खत्म नहीं होता। चरण 2: उसमें कोई निश्चित दोहराव भी नहीं होता। चरण 3: दशमलव विस्तार देखकर अपरिमेय संख्या पहचानना आसान हो जाता है।
(49) is a perfect square, so \(\sqrt{49}=7\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(50) is not a perfect square, so \(\sqrt{50}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even for nearby numbers, check perfect squares carefully. चरण 1: (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए \(\sqrt{49}=7\) परिमेय है। चरण 2: (50) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है। चरण 3: पास-पास की संख्याओं में भी पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
Simplify radicals before adding them. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। चरण 2: \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: जोड़ने से पहले वर्गमूलों को सरल करें।
When (9) appears as a factor inside a square root, take it out as (3). चरण 1: \(27=9 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{27}=\sqrt{9 \times 3}=3\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल में पूर्ण वर्ग (9) दिखे तो उसे बाहर (3) के रूप में निकालें।
C. हर अपरिमेय संख्या पूर्णांक होती है/Every irrational number is an integer
Step 1
Concept
Irrational numbers are not integers because integers can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
So saying every irrational number is an integer is false.
Step 3
Exam Tip
In false-statement questions, check every option separately. चरण 1: अपरिमेय संख्या पूर्णांक नहीं होती, क्योंकि पूर्णांक \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखे जा सकते हैं। चरण 2: इसलिए हर अपरिमेय संख्या को पूर्णांक कहना गलत है। चरण 3: गलत कथन वाले प्रश्न में हर विकल्प को अलग-अलग जांचें।
Identifying the perfect square factor is the key to simplifying square roots. चरण 1: \(45=9 \times 5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9 \times 5}=3\sqrt{5}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानना वर्गमूल सरलीकरण की कुंजी है।
Squaring a square root gives the number inside it. चरण 1: \(x=\sqrt{2}\) दिया है। चरण 2: (x-2=\(\sqrt{2}\)2=2)। चरण 3: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है।
Sometimes the product of two irrational numbers can be rational. चरण 1: \(\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}\)। चरण 2: \(\sqrt{36}=6\), इसलिए परिणाम परिमेय है। चरण 3: कभी-कभी दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है।
In \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\), the numbers inside the roots are not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Hence both are irrational.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check both numbers, not just one. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की जांच जरूरी है।
Take the perfect square outside the root and leave the remaining factor inside. चरण 1: \(20=4 \times 5\) है। चरण 2: \(\sqrt{20}=\sqrt{4 \times 5}=2\sqrt{5}\)। चरण 3: वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें और बाकी अंदर रहने दें।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
When a square root is in the denominator, rationalising helps identify the number. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: हर में वर्गमूल हो तो परिमेयकरण करके पहचानना आसान होता है।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is an important rule to remember. चरण 1: परिमेय संख्या को जोड़ने से अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। चरण 2: जैसे \(4+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग याद रखने योग्य नियम है।
Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is not \(\sqrt{5}\); \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not add the numbers inside different square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(\sqrt{5}\) नहीं होता; \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को सीधे अंदर की संख्याएँ जोड़कर न लिखें।
While multiplying square roots, multiply the numbers inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, multiply the inside numbers; do not add them. चरण 1: वर्गमूलों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा होती हैं। चरण 2: \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: गुणा में अंदर की संख्याएँ गुणा करें, जोड़ नहीं।
Taking the largest perfect square factor gives a cleaner final form. चरण 1: \(72=36 \times 2\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{72}=\sqrt{36 \times 2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड लेने से अंतिम रूप साफ मिलता है।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate square roots. चरण 1: (9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है।
(2) is a non-zero rational number, so \(2\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a radical rational just because it has a coefficient outside. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: (2) अशून्य परिमेय संख्या है, इसलिए \(2\sqrt{3}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: बाहर का गुणांक देखकर संख्या को परिमेय न मानें।
To fully simplify the answer, take out the largest perfect square. चरण 1: \(32=16 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=4\sqrt{2}\)। चरण 3: उत्तर को पूरी तरह सरल करने के लिए सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें।
The decimal value of \(\sqrt{2}\) is about (1.414).
Step 2
Why this answer is correct
Among the given options, (1.41) is the closest.
Step 3
Exam Tip
Remembering approximate values of common square roots helps in estimation. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का दशमलव मान लगभग (1.414) होता है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में (1.41) सबसे निकट है। चरण 3: कुछ सामान्य वर्गमूलों के लगभग मान याद रखने से अनुमान आसान होता है।
The value of \(\sqrt{3}\) is approximately (1.732).
Step 2
Why this answer is correct
So (1.73) is the closest option.
Step 3
Exam Tip
In estimation questions, first see between which perfect squares the number lies. चरण 1: \(\sqrt{3}\) का मान लगभग (1.732) होता है। चरण 2: इसलिए (1.73) सबसे निकट विकल्प है। चरण 3: अनुमान वाले प्रश्न में पहले देखें कि संख्या किन पूर्ण वर्गों के बीच है।
While choosing nearest values, do not depend only on integer boundaries. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का मान लगभग (2.236) है। चरण 2: (2.24) इस मान के सबसे निकट है। चरण 3: निकटतम मान चुनते समय केवल पूर्णांक सीमा पर निर्भर न रहें।
\(\sqrt{2}\approx 1.414\) and \(\sqrt{3}\approx 1.732\).
Step 2
Why this answer is correct
(1.5) lies between these two values.
Step 3
Exam Tip
Approximate values help in comparing square roots. चरण 1: \(\sqrt{2}\approx 1.414\) और \(\sqrt{3}\approx 1.732\)। चरण 2: (1.5) इन दोनों के बीच आता है। चरण 3: वर्गमूलों के बीच संख्या चुनने में लगभग मान मदद करते हैं।
Square roots of larger perfect squares can also be rational. चरण 1: (64) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{64}=8\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्गों के वर्गमूल भी परिमेय हो सकते हैं।
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in Class 10 irrational number questions. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं होता। चरण 3: यह नियम कक्षा दस के अपरिमेय संख्या प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
While simplifying a square root, split the inside number into a perfect square and the remaining factor. चरण 1: \(75=25 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{75}=\sqrt{25 \times 3}=5\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल को सरल करते समय अंदर की संख्या को पूर्ण वर्ग और बाकी गुणनखंड में तोड़ें।
