Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\neq0\)/Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लेना चाहिए। / The denominator cannot be zero, and the ratio should be in lowest form.
Step 3
Exam Tip
यह पूरा प्रारंभिक वाक्य प्रमाण को सही दिशा देता है। / This complete opening sentence sets the proof correctly.
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। / The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। / If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें। / So write the fraction in lowest form at the start.
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से साझा गुणनखंड मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the prime nature of (3) gives the common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यही तरीका किसी अभाज्य (r) पर भी लागू किया जा सकता है। / The same method can be applied to any prime (r).
Step 3
Exam Tip
सामान्यीकरण करते समय अभाज्य होने की शर्त न भूलें। / While generalizing, do not forget the condition that (r) is prime.
A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\)/Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता सरलतम भिन्न से शुरू होती है। / The rational assumption begins with a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है और फिर (3) पहले (p), फिर (q) को भाग देता है। / Squaring gives \(p^2=3q^2\), and then (3) divides first (p), then (q).
Step 3
Exam Tip
यही क्रम उत्तर को व्यवस्थित बनाता है। / This order makes the answer organized.
