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solvability conditions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
B. (7/14 \ne 5 / 11), इसलिए एक अद्वितीय हल / 11), so there is a unique solution
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों में यदि \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\), तो रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। यहां \(7/14=1/2\), जबकि \(5/11\ne1/2\), इसलिए \(7/14\ne5/11\) और विकल्प B सही है। विकल्प C तथा D में अनुपातों की गलत समानता दी गई है। परीक्षा-युक्ति: सबसे पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना करें। / For two linear equations, if \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\), the corresponding lines intersect at exactly one point, giving a unique solution. Here, \(7/14=1/2\), whereas \(5/11\ne1/2\); hence \(7/14\ne5/11\), so option B is correct. Options C and D use incorrect equalities among the ratios. Exam tip: first compare \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\) to determine the number of solutions.
दोनों समीकरणों में गुणांकों और स्थिर पदों के अनुपात जाँचें: \(\frac{6}{2}=3\), \(\frac{9}{3}=3\), जबकि \(\frac{30}{12}=2.5\)। अतः \(\frac{6}{2}=\frac{9}{3}\ne\frac{30}{12}\), इसलिए विकल्प C सही है। रैखिक समीकरणों की इस स्थिति में कोई हल नहीं होता, क्योंकि गुणांकों के अनुपात बराबर होते हैं, पर स्थिर पदों का अनुपात अलग होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होने पर समीकरणों का कोई हल नहीं होता। / Compare the ratios of the corresponding coefficients and constants: \(\frac{6}{2}=3\), \(\frac{9}{3}=3\), but \(\frac{30}{12}=2.5\). Therefore, \(\frac{6}{2}=\frac{9}{3}\ne\frac{30}{12}\), so option C is correct. This condition means that the pair of linear equations has no solution: the variable-coefficient ratios are equal, but the constant-term ratio is different. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the pair is inconsistent and has no solution.
A. तीनों अनुपात बराबर हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2 और स्थिर पदों का अनुपात 13/26 = 1/2 है। इसलिए तीनों अनुपात बराबर हैं। इसका अर्थ है कि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और युग्म के अनंत हल हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत हल मिलते हैं। / Here, a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, and the ratio of the constants is 13/26 = 1/2. Hence, all three ratios are equal. This means that both equations represent the same line, so the pair has infinitely many solutions. Exam tip: When a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, the two lines are coincident and the pair has infinitely many solutions.
पहले समीकरण के गुणांक हैं \(a_1=1, b_1=1\), और दूसरे के \(a_2=2, b_2=-1\)। यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}\) तथा \(\frac{b_1}{b_2}=-1\) हैं, जो बराबर नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B तब सही होता जब दोनों अनुपात बराबर होते और रेखाएँ समानांतर होतीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / For the first equation, \(a_1=1, b_1=1\), and for the second equation, \(a_2=2, b_2=-1\). Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=-1\), so the two ratios are unequal. Therefore, the corresponding lines intersect at exactly one point, giving one unique solution. Option B would apply if the relevant ratios were equal and the lines were parallel. Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations has a unique solution.
दोनों समीकरणों में
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{2}=5\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{15}{3}=5\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{8}\) है। चूँकि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), दोनों रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं। इसलिए युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है। विकल्प B तभी सही होता जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-युक्ति: इस प्रकार के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की तुलना करें। / For the two equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{2}=5\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{15}{3}=5\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{8}\). Since \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines are distinct and parallel. Hence, the pair is inconsistent and has no solution. Option B would be correct only if all three ratios were equal. Exam tip: Compare all three coefficient ratios in such questions.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग है/The first two ratios are equal, but the ratio of the constant terms is different
Explanation
Simple Explanation
यहाँ
\(a_1/a_2=4/1=4\) और \(b_1/b_2=8/2=4\), लेकिन \(c_1/c_2=12/5\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो असंगत समीकरणों की शर्त है। वास्तव में, पहला समीकरण \(x+2y=3\) के बराबर है, जबकि दूसरा \(x+2y=5\) है; अतः रेखाएँ समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-शर्त में स्थिर पदों का अनुपात भी अवश्य जाँचें। / Here, \(a_1/a_2=4/1=4\) and \(b_1/b_2=8/2=4\), but \(c_1/c_2=12/5\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which is the condition for an inconsistent pair of linear equations. In fact, the first equation simplifies to \(x+2y=3\), while the second is \(x+2y=5\); therefore, the lines are parallel and there is no solution. Exam tip: In the ratio test, always compare the constant-term ratio as well.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण के सभी पद पहले समीकरण के 3 गुना हैं: (9,6,24)=3(3,2,8) । इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को प्रदर्शित करते हैं, अर्थात् रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत बिंदु उभयनिष्ठ होते हैं। अतः निकाय के अनंत हल हैं। परीक्षा में अनुपात जाँचें: यदि a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 हो, तो अनंत हल होते हैं। / Every term of the second equation is three times the corresponding term of the first: (9,6,24)=3(3,2,8) . Hence both equations represent the same line, so they have infinitely many common points and infinitely many solutions. Therefore, option C is correct. For exams, check the ratios: if a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 , the pair has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{8}{2}=4\) और \(\frac{p}{3}\) हैं, इसलिए \(4\ne\frac{p}{3}\), अर्थात् \(p\ne12\)। अतः विकल्प B सही है। ध्यान रखें कि \(p=12\) पर गुणांकों के अनुपात समान हो जाते हैं, जबकि नियतांकों के अनुपात \(\frac{24}{7}\) अलग हैं; इसलिए उस स्थिति में कोई हल नहीं होगा, अद्वितीय हल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात की तुलना करके अद्वितीय हल की शर्त जाँचें। / A pair of linear equations has a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{8}{2}=4\) and \(\frac{p}{3}\), so the condition is \(4\ne\frac{p}{3}\), which gives \(p\ne12\). Therefore, option B is correct. Notice that when \(p=12\), the coefficient ratios become equal, but the constant ratio \(\frac{24}{7}\) is different; hence the equations have no solution rather than a unique solution. Exam tip: compare the ratios of the coefficients first to test for a unique solution.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{9}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{b}{12}=\frac{1}{3}\), जिससे \(b=4\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की समानता जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{9}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\). Therefore, \(\frac{b}{12}=\frac{1}{3}\), which gives \(b=4\). Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check that all three corresponding coefficient and constant ratios are equal.
दो रेखाओं की ढाल अलग-अलग होने पर वे समानांतर या संपाती नहीं हो सकतीं। इसलिए वे एक और केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे रैखिक समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A समानांतर रेखाओं और विकल्प B संपाती रेखाओं की स्थिति को दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: अलग ढाल का अर्थ हमेशा एक अद्वितीय हल होता है। / When two lines have different slopes, they cannot be parallel or coincident. Hence, they intersect at exactly one point, giving the pair of linear equations one unique solution. Therefore, option C is correct. Option A represents parallel lines, while option B represents coincident lines. Exam tip: different slopes always indicate a unique solution.
पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से भाग देने पर \(9x+6y=15\) से \(3x+2y=5\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत अनेक समान हल होते हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि समानांतर अलग-अलग रेखाओं के लिए बाईं ओर के गुणांक समानुपाती होने चाहिए, लेकिन नियतांकों का अनुपात अलग होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो रेखाएँ संपाती अर्थात एक ही रेखा होती हैं। / Dividing every term of \(9x+6y=15\) by 3 gives \(3x+2y=5\). Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Option B is incorrect because distinct parallel lines require the coefficients of \(x\) and \(y\) to be proportional but the constants not to be proportional. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the two lines are coincident, or the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के लिए
\(a_1/a_2=8/2=4\) और \(b_1/b_2=12/3=4\), जबकि \(c_1/c_2=20/6=10/3\) है। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग-अलग होंगी; वे एक-दूसरे को नहीं काटेंगी और संपाती भी नहीं होंगी। परीक्षा में यह पहचानने के लिए अनुपातों की तुलना करें: पहले दो बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं अलग समानांतर होती हैं। / For the two equations, \(a_1/a_2=8/2=4\) and \(b_1/b_2=12/3=4\), whereas \(c_1/c_2=20/6=10/3\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the lines are distinct and parallel; they neither intersect nor coincide. Exam tip: compare the three coefficient ratios—if the first two are equal but the third is different, the lines are distinct parallel lines.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होता, जब
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{6}{2}=3\) और \(\frac{a}{5}\) बराबर होने चाहिए, इसलिए \(\frac{a}{5}=3\), अर्थात \(a=15\)। साथ ही \(\frac{30}{11}\ne3\), इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में समानांतर और असंगत हैं। अतः सही उत्तर 15 है। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात बराबर करें और फिर नियतांकों का अनुपात अलग होने की जाँच करें। / Two linear equations have no solution when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{6}{2}=3\) must equal \(\frac{a}{5}\), so \(\frac{a}{5}=3\) and hence \(a=15\). Also, \(\frac{30}{11}\ne3\), confirming that the two lines are distinct and parallel. Therefore, 15 is correct. Exam tip: equate the ratios of the coefficients first, then verify that the ratio of constants is different.
दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए उनके गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए। यहाँ निर्धारक \(2\times10-5\times q=20-5q\) है। अद्वितीय हल के लिए \(20-5q\ne0\), अर्थात् \(q\ne4\) होना आवश्यक है। जब \(q=4\), दोनों रेखाएँ समान ढाल वाली अलग-अलग रेखाएँ बनती हैं और कोई हल नहीं मिलता। परीक्षा में अद्वितीय हल के लिए निर्धारक को शून्य से अलग अवश्य जाँचें। / For two linear equations to have a unique solution, the ratios of the corresponding coefficients must not be equal. Here, the determinant is \(2\times10-5\times q=20-5q\). A unique solution requires \(20-5q\ne0\), which gives \(q\ne4\). When \(q=4\), the two lines have the same slope but different constants, so they are parallel and have no solution. Exam tip: for a unique solution, check that the coefficient determinant is non-zero.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि संगत गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान हों। यहाँ p/9 = 2/6 = 6/18 = 1/3, इसलिए p/9 = 1/3 से p = 3 प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। उदाहरण के लिए p = 2 लेने पर x के गुणांकों का अनुपात 2/9 होगा, जो 1/3 के बराबर नहीं है; इसलिए अनंत हल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपातों की समानता अवश्य जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of their corresponding coefficients and constant terms must be equal. Here, p/9 = 2/6 = 6/18 = 1/3. Therefore, p/9 = 1/3, giving p = 3, so option C is correct. For example, if p = 2, the ratio of the x-coefficients would be 2/9, not 1/3; hence the equations would not have infinitely many solutions. Exam tip: For infinitely many solutions, always check the equality of all three corresponding ratios.
पहले समीकरण के गुणांकों और दूसरे समीकरण के गुणांकों का अनुपात है: 7/14 = (-3)/(-6) = 1/2। लेकिन अचर पदों का अनुपात 10/25 = 2/5 है, जो 1/2 के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं है। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, तो रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता। / The ratios of the corresponding coefficients are 7/14 = (-3)/(-6) = 1/2. However, the ratio of the constant terms is 10/25 = 2/5, which is not equal to 1/2. Thus, the two lines are distinct and parallel, so they do not intersect at any point. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair of linear equations has no solution.
C. रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं/Lines intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(a_1=6, b_1=11\) और \(a_2=3, b_2=5\) हैं। \(a_1/a_2=6/3=2\), जबकि \(b_1/b_2=11/5\); दोनों अनुपात असमान हैं। इसलिए रैखिक समीकरणों की यह युग्म संगत और स्वतंत्र है तथा इसका एक अद्वितीय हल होगा, अर्थात रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। विकल्प A और B के लिए क्रमशः अनुपात समान होने चाहिए, जबकि लंबवत होने के लिए ढालों का गुणनफल \(-1\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\) दिखते ही एक अद्वितीय हल लिखें। / Here, \(a_1=6, b_1=11\) and \(a_2=3, b_2=5\). We have \(a_1/a_2=6/3=2\), whereas \(b_1/b_2=11/5\); the two ratios are unequal. Therefore, the pair is consistent and independent and has a unique solution, so the lines intersect at one point. For parallel or coincident lines, the relevant coefficient ratios must be equal, while perpendicular lines require the product of their slopes to be \(-1\). Exam tip: whenever \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\), conclude that the pair has a unique solution.
पहले समीकरण को 8 से भाग देने पर 2x-y=3 प्राप्त होता है, जबकि दूसरा समीकरण 2x-y=4 है। दोनों रेखाओं के x और y के गुणांकों का अनुपात समान है, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग है: 16/2 = (-8)/(-1), पर 24/4 समान अनुपात नहीं बनाता। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत होता है। / Dividing the first equation by 8 gives 2x-y=3, whereas the second equation is 2x-y=4. The ratios of the coefficients of x and y are equal, 16/2 = (-8)/(-1), but the ratio of the constant terms is different. Thus, the two lines are parallel and distinct, so they have no common solution. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair of linear equations is inconsistent and has no solution.
दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2x+4y=14 प्राप्त होता है, जबकि पहला समीकरण 2x+4y=10 है। दोनों रेखाओं के x और y के गुणांकों का अनुपात समान है, लेकिन अचर पदों का अनुपात समान नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग होंगी। विकल्प A गलत है, क्योंकि एक ही रेखा के लिए तीनों संबंधित अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो रेखाएं समानांतर और असंपाती होती हैं। / Multiplying the second equation by 2 gives 2x+4y=14, whereas the first equation is 2x+4y=10. Thus, the ratios of the coefficients of x and y are equal, but the ratio of the constant terms is different. Therefore, the two lines are distinct and parallel. Option A is incorrect because coincident lines require all three corresponding ratios to be equal. Exam tip: if a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the lines are parallel and distinct.
दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) का अद्वितीय हल तब होता है जब \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(a_1=q, b_1=6, a_2=5, b_2=3\), इसलिए शर्त \(\frac{q}{5}\ne\frac{6}{3}\) है, अर्थात \(q\ne10\)। विकल्प A समान अनुपात बताता है, जिससे अद्वितीय हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए दोनों चर के गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए। / Two linear equations \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\) have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(a_1=q, b_1=6, a_2=5, b_2=3\), so the required condition is \(\frac{q}{5}\ne\frac{6}{3}\), or \(q\ne10\). Option A gives equal ratios, so it does not represent a unique solution. Exam tip: for a unique solution, the ratios of the coefficients of the two variables must be unequal.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{7}{1}=\frac{28}{4}=7\), इसलिए \(\frac{m}{2}=7\), जिससे \(m=14\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: अनंत हल की स्थिति में दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं। / For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{7}{1}=\frac{28}{4}=7\), so \(\frac{m}{2}=7\), giving \(m=14\). Therefore, option C is correct. Exam tip: infinitely many solutions occur when the coefficients and constants of both equations are proportional.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂। यहाँ k/3 = 4/2 = 2 होना चाहिए, इसलिए k = 6। साथ ही 8/9, 2 के बराबर नहीं है, इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग होंगी। अतः सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात समान करें और नियतांकों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. Here, k/3 = 4/2 = 2, so k = 6. Also, 8/9 is not equal to 2; therefore, the two lines are distinct and parallel. Hence, option C is correct. Exam tip: For ‘no solution’, first equate the ratios of the coefficients of the variables and then check that the ratio of the constants is different.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{2}{6}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{a}{9}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=3\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपात समान होने पर अनंत हल नहीं होते। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{2}{6}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\). Therefore, \(\frac{a}{9}=\frac{1}{3}\), giving \(a=3\). Hence, option B is correct. Exam tip: infinitely many solutions require all three coefficient-to-constant ratios to be equal; equality of only two ratios is not sufficient.
C. संपाती रेखाएं और अनंत हल/Coincident lines and infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 4 गुना है: \\(12x-8y=24=4(3x-2y=6)\\)। अतः दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल हैं। अनुपात जाँचने पर \\(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2=1/4\\) मिलता है। इसलिए यह अलग समानांतर रेखाओं का मामला नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि तीनों अनुपात समान हों, तो रेखाएँ संपाती और हल अनंत होते हैं। / The second equation is 4 times the first: \\(12x-8y=24=4(3x-2y=6)\\). Hence both equations represent the same line, so the pair has infinitely many solutions. Using the coefficient test, \\(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2=1/4\\). Therefore, the lines are coincident, not distinct parallel lines. Exam tip: when all three corresponding ratios are equal, the pair has infinitely many solutions.
यहाँ
\(\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}\), लेकिन \(\frac{4}{9}\) अलग है। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इस कारण युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता। / Here, \(\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}\), but \(\frac{4}{9}\) is different. Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and distinct and have no common point. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), a pair of linear equations has no solution.
दो रैखिक समीकरणों के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{4}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{2}\) हैं। चूँकि \(\frac{9}{4}\ne\frac{5}{2}\), दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल होता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो हमेशा एक अद्वितीय हल होता है। / For the two linear equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{4}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{2}\). Since \(\frac{9}{4}\ne\frac{5}{2}\), the two lines intersect at exactly one point, so the pair has a unique solution. Therefore, option A is correct. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations always has a unique solution.
पहले समीकरण को 2 से भाग देने पर यह 3x+y=4 बनता है, जबकि दूसरा समीकरण 3x+y=5 है। दोनों रेखाओं के x और y के गुणांकों का अनुपात समान है, लेकिन अचर पद अलग हैं: \(6/3=2/1\), जबकि \(8/5\) समान नहीं है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग-अलग हैं, अतः कोई हल नहीं है। अनंत हल के लिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), तो युग्म का कोई हल नहीं होता। / Dividing the first equation by 2 gives 3x+y=4, whereas the second equation is 3x+y=5. The ratios of the coefficients of x and y are equal, \(6/3=2/1\), but the ratio of the constant terms is different, \(8/5\ne 2\). Thus, the two lines are parallel and distinct, so the pair has no solution. Infinitely many solutions would require both equations to represent the same line. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the pair has no solution.
दो रैखिक समीकरणों में यदि \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\) हो, तो दोनों रेखाओं के ढाल अलग होते हैं। इसलिए वे एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर काटती हैं और युग्म का एकमात्र हल होता है। समानांतर रेखाओं के लिए \(a_1/a_2 = b_1/b_2 \ne c_1/c_2\) होना चाहिए। परीक्षा में अनुपातों की तुलना करके पहले रेखाओं की स्थिति और फिर हलों की संख्या निर्धारित करें। / For a pair of linear equations, if \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\), the two lines have different slopes. Hence, they intersect at exactly one point, and the pair has a unique solution. Parallel lines require \(a_1/a_2 = b_1/b_2 \ne c_1/c_2\). Exam tip: compare the coefficient ratios first to determine the position of the lines and the number of solutions.
दोनों समीकरणों के गुणांकों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{14}{2}=7\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-7}{-1}=7\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{28}{3}\) है। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), जो असंगत समीकरणों तथा समानांतर, अलग-अलग रेखाओं को दर्शाता है। अतः कोई हल नहीं है। विकल्प B तब सही होता जब तीनों अनुपात समान होते, जबकि विकल्प A के लिए पहले दो अनुपात असमान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना हमेशा एक ही क्रम में करें। / For the coefficients, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{14}{2}=7\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-7}{-1}=7\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{28}{3}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), which represents an inconsistent pair of equations and two distinct parallel lines. Therefore, there is no solution. Option B would be correct only if all three ratios were equal, while option A requires the first two ratios to be unequal. Exam tip: Compare the corresponding ratios in the same order.
दोनों समीकरणों के गुणांकों और अचर पदों का अनुपात जाँचते हैं: \(\frac{12}{3}=\frac{4}{1}=4\), लेकिन \(\frac{16}{5}\neq 4\)। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई हल नहीं है। इस कारण युग्म असंगत है। ध्यान रखें: इस स्थिति में पहले दो अनुपात बराबर, पर तीसरा अनुपात अलग होता है। / Compare the ratios of the corresponding coefficients and constants: \(\frac{12}{3}=\frac{4}{1}=4\), but \(\frac{16}{5}\neq 4\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are distinct and parallel and have no common solution. Therefore, the pair is inconsistent. Exam tip: equal ratios for the first two terms but an unequal ratio for the constant terms indicate an inconsistent pair.
