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solvability conditions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\) हैं, जबकि \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{22}{47}\), जो \(\frac{1}{2}\) के बराबर नहीं है। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), और रेखाएँ समानांतर तथा असंगत होंगी; अतः समीकरणों का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात संबंध में पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो, तो युग्म का कोई हल नहीं होता। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{22}{47}\), which is not equal to \(\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and inconsistent; consequently, the pair has no solution. Exam tip: when the first two coefficient ratios are equal but the constant-term ratio is different, the pair has no solution.
पहले समीकरण में a₁=4, b₁=9, c₁=-31 और दूसरे में a₂=12, b₂=27, c₂=-93 हैं। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\) तथा \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-31}{-93}=\frac{1}{3}\)। तीनों अनुपात बराबर होने पर रेखाएं संपाती होती हैं और युग्म के अनंत हल होते हैं। इसलिए विकल्प C सही है; विकल्प A और D एक अनुपात को गलत रूप से असमान बताते हैं, जबकि B पहले दो अनुपातों को ही असमान बताता है। परीक्षा-सुझाव: तीनों अनुपातों की तुलना करते समय नियतांकों के चिह्न सहित \(c_1/c_2\) अवश्य जाँचें। / For the first equation, a₁=4, b₁=9, c₁=-31, and for the second equation, a₂=12, b₂=27, c₂=-93. Therefore, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\), and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-31}{-93}=\frac{1}{3}\). Since all three ratios are equal, the two lines are coincident and the pair has infinitely many solutions. Hence, option C is correct; options A and D incorrectly make one ratio unequal, while B incorrectly states that the first two ratios are unequal. Exam tip: When comparing the three ratios, check \(c_1/c_2\) with its signs included.
पहले समीकरण के प्रत्येक पद को 5 से भाग देने पर दूसरा समीकरण प्राप्त होता है:
15x+10y=40
⇒ 3x+2y=8। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत अनेक समान हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि दो रैखिक समीकरणों के संगत सभी गुणांक और नियतांक समान अनुपात में हों, तो उनके ग्राफ एक ही रेखा होते हैं। / Dividing every term of the first equation by 5 gives the second equation: 15x+10y=40 ⇒ 3x+2y=8. Thus, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Exam tip: when the corresponding coefficients and constants of two linear equations are in the same ratio, their graphs coincide as one line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों में x और y के गुणांकों का अनुपात समान है: 14/2 = 21/3 = 7। लेकिन अचर पदों का अनुपात 49/8 है, जो 7 के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल समान, पर वे अलग-अलग रेखाएं होंगी; अतः वे अलग समानांतर रेखाएं हैं। परीक्षा-युक्ति: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने पर रेखाएं अलग समानांतर होती हैं। / For the two equations, the ratios of the coefficients of x and y are equal: 14/2 = 21/3 = 7. However, the ratio of the constant terms is 49/8, which is not equal to 7. Thus, the lines have the same slope but different positions, so they are distinct parallel lines. Exam tip: when a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair represents distinct parallel lines.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) है। यहाँ \(\frac{5}{15}=\frac{35}{105}=\frac{1}{3}\), इसलिए \(\frac{a}{18}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=6\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए; केवल एक अनुपात समान होने पर अनंत हल नहीं मिलते। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{5}{15}=\frac{35}{105}=\frac{1}{3}\), so \(\frac{a}{18}=\frac{1}{3}\), giving \(a=6\). Therefore, option C is correct. Exam tip: infinitely many solutions require the ratios of both variable coefficients and the constant terms to be equal; equality of only one ratio is insufficient.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए उनके गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए: p/10 = 6/15 = 18/45। यहाँ 6/15 और 18/45 दोनों 2/5 के बराबर हैं। इसलिए p/10 = 2/5 से p = 4 प्राप्त होता है, अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ जाँचें। विकल्प 3 गलत है क्योंकि 3/10, 2/5 के बराबर नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constant terms must be equal: p/10 = 6/15 = 18/45. Since both 6/15 and 18/45 equal 2/5, p/10 = 2/5 gives p = 4. Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Option 3 is incorrect because 3/10 is not equal to 2/5.
दोनों समीकरणों में x और y के गुणांकों का अनुपात समान है: 11/22 = (-4)/(-8) = 1/2। लेकिन दाईं ओर के अचरों का अनुपात 26/53 है, जो 1/2 के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल समान, पर अवरोध अलग हैं; वे समानांतर और अलग-अलग रेखाएँ हैं। अतः उनका कोई साझा बिंदु नहीं है और हल नहीं है। अनंत हल के लिए तीनों संबंधित अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-टिप: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने पर युग्म का कोई हल नहीं होता। / The ratios of the coefficients of x and y are equal: 11/22 = (-4)/(-8) = 1/2. However, the ratio of the constants on the right side is 26/53, which is not equal to 1/2. Thus, the two lines have the same slope but different intercepts, so they are parallel and distinct. They have no common point and hence no solution. Infinitely many solutions would require all three corresponding ratios to be equal. Exam tip: if a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair has no solution.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: 2(9x+2y=31) से 18x+4y=62 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल होते हैं। परीक्षा में, यदि दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान हों, तो रेखाएं संपाती या एक ही होती हैं। / The second equation is exactly twice the first: multiplying 9x+2y=31 by 2 gives 18x+4y=62. Hence, both equations represent the same line and the pair has infinitely many solutions. Exam tip: when the ratios of the corresponding coefficients and constant terms are all equal, the two lines are coincident.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{6}{2}=3\) और \(\frac{42}{14}=3\), इसलिए \(\frac{k}{5}=3\), जिससे \(k=15\)। अतः सही विकल्प B है। विकल्प C में \(k=18\) होने पर \(\frac{k}{5}\neq 3\), इसलिए समीकरण अनंत हल नहीं देंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांक और नियतांकों के अनुपात की जाँच करें; तीनों अनुपात समान होने चाहिए। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{6}{2}=3\) and \(\frac{42}{14}=3\), so \(\frac{k}{5}=3\), giving \(k=15\). Therefore, option B is correct. With option C, \(k=18\), the ratio \(\frac{k}{5}\) is not 3, so the equations do not represent the same line. Exam tip: For infinitely many solutions, check that all three corresponding ratios are equal.
दो रैखिक समीकरणों की कोई हल न होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\) हैं, जो अलग-अलग हैं। इसलिए \(\frac{4}{a}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) रखने पर \(a=8\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात बराबर करें और फिर नियतांकों का अनुपात अलग होने की जाँच करें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\), so the constant-term ratio is different. Therefore, set \(\frac{4}{a}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=8\). Hence, option C is correct. Exam tip: First equate the ratios of the coefficients of the variables, then verify that the ratio of constants is different.
B. \(\frac{6}{12}\ne\frac{7}{13}\), इसलिए एक अद्वितीय हल है/\(\frac{6}{12}\ne\frac{7}{13}\), so there is a unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(a_1=6, a_2=12, b_1=7, b_2=13\) हैं। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{13}\); दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। अतः रैखिक समीकरणों की युग्म के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) की स्थिति होने पर एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है। वास्तव में, दोनों समीकरणों को हल करने पर \(y=1\) और \(x=8/3\) मिलता है, इसलिए विकल्प A में दिया गया \(y=2\) गलत है। परीक्षा में पहले x और y के गुणांकों के अनुपात की तुलना करें; उनके असमान होने पर उत्तर अद्वितीय हल होता है। / Here, \(a_1=6, a_2=12, b_1=7, b_2=13\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{13}\); the two ratios are unequal. For a pair of linear equations, the condition \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) indicates a unique solution. In fact, solving the equations gives \(y=1\) and \(x=8/3\), so the value \(y=2\) in option A is incorrect. In an exam, compare the ratios of the coefficients of x and y first; if they are unequal, the pair has a unique solution.
दोनों समीकरणों में संगत गुणांकों के अनुपात जाँचते हैं: \(\frac{8}{2}=4\) और \(\frac{12}{3}=4\), जबकि \(\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\) है। इसलिए \(\frac{8}{2}=\frac{12}{3}\ne\frac{40}{12}\), अर्थात दोनों रेखाएँ समानांतर और असंपाती हैं तथा युग्म का कोई हल नहीं है। विकल्प B में स्थिर पद का अनुपात भी बराबर माना गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होने पर युग्म का कोई हल नहीं होता। / Compare the ratios of corresponding coefficients: \(\frac{8}{2}=4\) and \(\frac{12}{3}=4\), whereas \(\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\). Hence, \(\frac{8}{2}=\frac{12}{3}\ne\frac{40}{12}\), so the two lines are parallel and distinct and the pair has no solution. Option B is incorrect because the ratio of the constant terms is not equal to the other two ratios. Exam tip: If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the pair of linear equations has no solution.
A. तीनों अनुपात बराबर हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ
\(\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{22}{44}=\frac{1}{2}\)। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रैखिक समीकरण संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं और इनके अनंत समाधान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: तीनों अनुपात बराबर हों तो रेखाएँ संपाती, केवल गुणांकों के अनुपात बराबर हों तो समांतर, और पहले दो बराबर लेकिन तीसरा अलग हो तो असंगत होती हैं। / Here, \(\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{22}{44}=\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), so the two linear equations represent coincident lines and have infinitely many solutions. Exam tip: when all three ratios are equal, the lines are coincident; when only the coefficient ratios are equal, they are parallel; and when the first two ratios are equal but the third differs, the system is inconsistent.
यदि रैखिक समीकरणों के युग्म \(a_1x+b_1y+c_1=0\) तथा \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) हो, तो इस युग्म के हलों की स्थिति क्या होगी?
जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तो दोनों रेखाओं के ढाल समान होते हैं, लेकिन वे एक ही रेखा नहीं होतीं। इसलिए वे समानांतर अलग-अलग रेखाएँ होती हैं और कभी नहीं मिलतीं। अतः युग्म का कोई हल नहीं होता। \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होने पर अनंत अनेक हल होते हैं, इसलिए विकल्प C यहाँ गलत है। परीक्षा टिप: अनुपातों में पहले दो बराबर और तीसरा अलग दिखे, तो उत्तर ‘कोई हल नहीं’ चुनें। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines have the same slope but are not the same line. Hence, they are distinct parallel lines and never intersect. Therefore, the pair has no solution. Infinitely many solutions occur only when all three ratios are equal, so option C is incorrect. Exam tip: if the first two ratios are equal but the third is different, choose ‘no solution’.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन स्थिर पद का अनुपात अलग है/First two ratios are equal but the constant ratio is different
Explanation
Simple Explanation
मानक रूप में दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करें: \(a_1/a_2=6/1=6\), \(b_1/b_2=12/2=6\), लेकिन \(c_1/c_2=18/4=9/2\)। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए दोनों रेखाएं समांतर और अलग-अलग हैं तथा निकाय का कोई हल नहीं है। विकल्प A गलत है क्योंकि तीनों अनुपात बराबर नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति को \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) के रूप में याद रखें। / Compare the coefficients in standard form: \(a_1/a_2=6/1=6\), \(b_1/b_2=12/2=6\), but \(c_1/c_2=18/4=9/2\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are distinct and parallel, and the pair has no solution. Option A is incorrect because all three ratios are not equal. Exam tip: remember the no-solution condition as \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए शर्त है कि एक समीकरण दूसरे का समानुपाती हो। यहाँ दूसरे समीकरण के x और y के गुणांक पहले समीकरण के गुणांकों के 2 गुना हैं: 12=2×6 और 10=2×5। इसलिए स्थिर पद भी 31 का 2 गुना होना चाहिए, अर्थात् n=2×31=62। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हलों के लिए a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂ जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, one equation must be a constant multiple of the other. Here, the coefficients of x and y in the second equation are twice those in the first: 12=2×6 and 10=2×5. Therefore, the constant term must also be doubled, so n=2×31=62. Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂.
यदि दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y+c_1=0\) तथा \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) हो, तो उनकी रेखाएँ कैसी होंगी और हलों की संख्या क्या होगी?
B. संपाती रेखाएँ; अनंत हल/Coincident lines; infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब एक समीकरण दूसरे समीकरण का गुणज होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल होते हैं। समांतर भिन्न रेखाओं के लिए केवल \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होता है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: तीनों अनुपात बराबर हों, तो तुरंत ‘संपाती रेखाएँ—अनंत हल’ याद करें। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), one equation is a multiple of the other. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. For distinct parallel lines, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so option C is not correct. Exam tip: If all three ratios are equal, identify coincident lines with infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए उनके x और y के गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(\frac{a}{10}=\frac{6}{15}\neq\frac{18}{47}\)। चूँकि \(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\), इसलिए \(a=10\times\frac{2}{5}=4\)। विकल्प 3 गलत है क्योंकि उससे \(a/10=3/10\) होगा, जो \(6/15\) के बराबर नहीं है। परीक्षा में असंगत समीकरणों के लिए पहले गुणांकों के अनुपात की समानता और अचर पदों के अनुपात की असमानता जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, \(\frac{a}{10}=\frac{6}{15}\neq\frac{18}{47}\). Since \(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\), we get \(a=10\times\frac{2}{5}=4\). Option 3 is incorrect because it would make \(a/10=3/10\), which is not equal to \(6/15\). Exam tip: for inconsistent equations, check equal coefficient ratios but unequal constant-term ratios.
दो रैखिक समीकरणों में यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) हो, तो दोनों रेखाएँ समानांतर और असंपाती होती हैं; इसलिए निकाय का कोई हल नहीं होता। यहाँ \(\frac{6}{12}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{9}{25}\ne\frac{1}{2}\)। अतः सही संबंध विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a\) और \(b\) के अनुपातों की तुलना करें, फिर \(c\) के अनुपात से मिलाएँ। / For two linear equations, the condition \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) represents distinct parallel lines, so the pair has no solution. Here, \(\frac{6}{12}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{9}{25}\ne\frac{1}{2}\). Therefore, option A is correct. Exam tip: compare the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) first, and then compare them with the constant-term ratio.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों में x और y के गुणांकों का अनुपात 3/7 और 8/13 है, जो समान नहीं हैं। अर्थात a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी और युग्म का एक अद्वितीय हल होगा। विकल्प B गलत है, क्योंकि समानांतर रेखाओं के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: पहले x और y के गुणांकों के अनुपात की तुलना करके रेखाओं की स्थिति पहचानें। / The ratios of the coefficients of x and y are 3/7 and 8/13, respectively, and they are unequal. Thus, a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, so the two lines intersect at exactly one point and the pair has a unique solution. Option B is incorrect because distinct parallel lines require a₁/a₂ = b₁/b₂. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of x and y first to determine the relationship between the lines.
पहले समीकरण के सभी गुणांक दूसरे समीकरण के 4 गुना हैं: \(12=4\times3\), \(8=4\times2\) और \(44=4\times11\)। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), तो रेखाएं संपाती होती हैं; केवल समानांतर होने के लिए तीसरा अनुपात अलग होना चाहिए। / All the coefficients and constants in the first equation are 4 times those in the second: \(12=4\times3\), \(8=4\times2\), and \(44=4\times11\). Hence, both equations represent the same line and the pair has infinitely many solutions. Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the lines are coincident; for distinct parallel lines, only the first two ratios are equal and the third is different.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के लिए \\(a_1/a_2=10/2=5\\) और \\(b_1/b_2=15/3=5\\), लेकिन \\(c_1/c_2=35/9\\) है। इसलिए \\(a_1/a_2=b_1/b_2\\ne c_1/c_2\\) और दोनों रेखाएं अलग समानांतर होंगी। वे न तो एक-दूसरे को काटेंगी और न ही संपाती होंगी। परीक्षा-युक्ति: मानदंड \\(a_1/a_2=b_1/b_2\\ne c_1/c_2\\) अलग समानांतर रेखाओं को दर्शाता है। / For the two equations, \\(a_1/a_2=10/2=5\\) and \\(b_1/b_2=15/3=5\\), but \\(c_1/c_2=35/9\\). Thus, \\(a_1/a_2=b_1/b_2\\ne c_1/c_2\\), so the two lines are distinct and parallel. They neither intersect nor coincide. Exam tip: the condition \\(a_1/a_2=b_1/b_2\\ne c_1/c_2\\) represents distinct parallel lines.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{8}{2}=4\) और \(\frac{40}{13}\ne4\) है। इसलिए \(\frac{a}{6}=4\), जिससे \(a=24\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प D है। परीक्षा में याद रखें: समान गुणांक अनुपात लेकिन असमान नियतांक अनुपात का अर्थ है—कोई हल नहीं। / For two linear equations to have no solution, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{8}{2}=4\) and \(\frac{40}{13}\ne4\). Therefore, \(\frac{a}{6}=4\), giving \(a=24\). Hence, option D is correct. Exam tip: equal ratios of the variable coefficients but an unequal ratio of the constants indicate no solution.
दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए उनके संगत गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए। इसलिए \(\frac{3}{7}\ne\frac{q}{14}\) होना आवश्यक है। इसे हल करने पर \(42\ne 7q\), अर्थात् \(q\ne 6\) प्राप्त होता है। यदि \(q=6\) हो, तो दोनों समीकरणों के \(x\) और \(y\) के गुणांकों का अनुपात समान होगा, इसलिए अद्वितीय हल नहीं मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) याद रखें। / For two linear equations to have a unique solution, the ratios of the corresponding coefficients must be unequal. Thus, \(\frac{3}{7}\ne\frac{q}{14}\). On cross-multiplying, this gives \(42\ne 7q\), or \(q\ne 6\). If \(q=6\), the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) become equal, so the system does not have a unique solution. Exam tip: For a unique solution, remember \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि संबंधित गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान हो: \(\frac{p}{12}=\frac{3}{6}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{p}{12}=\frac{1}{2}\) से \(p=6\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) की जाँच करें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constants must be equal: \(\frac{p}{12}=\frac{3}{6}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{p}{12}=\frac{1}{2}\), giving \(p=6\). Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check whether \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{9}=\frac{21}{63}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{a}{12}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=4\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{9}=\frac{21}{63}=\frac{1}{3}\). Thus, \(\frac{a}{12}=\frac{1}{3}\), giving \(a=4\). Therefore, option C is correct. Exam tip: for infinitely many solutions, all three corresponding coefficient and constant ratios must be equal; equality of only two ratios is not sufficient.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो। यहाँ 2/8 = 14/56 = 1/4 है, इसलिए m/20 = 1/4 होना चाहिए। अतः m = 5 और सही विकल्प A है। उदाहरण के लिए, m = 6 लेने पर m/20 = 3/10 होगा, जो 1/4 के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios a₁/a₂, b₁/b₂ and c₁/c₂ must be equal. Here, 2/8 = 14/56 = 1/4, so m/20 must also equal 1/4. Therefore, m = 5, making option A correct. For example, if m = 6, then m/20 = 3/10, which is not equal to 1/4. Exam tip: For infinitely many solutions, always check that all three coefficient and constant ratios are equal.
यहाँ
(4/12)=((-3)/(-9))=1/3, लेकिन (11/35) ≠ 1/3। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल समान हैं, पर वे एक ही रेखा नहीं हैं; वे समानांतर और अलग हैं। अतः निकाय असंगत है और इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, तो दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होता। ठीक दो हल संभव नहीं होते, क्योंकि दो रैखिक समीकरणों की रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर मिलती हैं या अनंत बिंदुओं पर समान होती हैं। / Here,
(4/12)=((-3)/(-9))=1/3, but (11/35) ≠ 1/3. Thus, the two lines have the same slope but are not the same line; they are parallel and distinct. Therefore, the system is inconsistent and has no solution. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, a pair of linear equations has no solution. Exactly two solutions are impossible because two lines can intersect at most once or coincide completely.
दो रैखिक समीकरणों के लिए यदि \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\), तो उनका एक अद्वितीय हल होता है। यहां \(13/6 \ne 2/1\), इसलिए दोनों रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। अतः सही उत्तर एक अद्वितीय हल है। अनंत हल के लिए दोनों अनुपात बराबर होने चाहिए, जबकि दो हल रैखिक समीकरणों की युग्म-व्यवस्था में संभव नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना करें। / For a pair of linear equations, the condition \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\) indicates a unique solution. Here, \(13/6 \ne 2/1\), so the two lines intersect at exactly one point. Therefore, the correct answer is one unique solution. Infinitely many solutions require the corresponding coefficient and constant ratios to be equal, while exactly two solutions are not possible for a pair of linear equations. Exam tip: first compare \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\).
दूसरे समीकरण के प्रत्येक पद को 2 से भाग देने पर \(16x+6y=34\), \(8x+3y=17\) बन जाता है। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल होते हैं। विकल्प C गलत है, क्योंकि समानांतर और अलग रेखाओं के लिए दोनों समीकरण समानुपाती नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) होने पर रेखाएं संपाती होती हैं। / Dividing every term of the second equation by 2 gives \(8x+3y=17\), which is exactly the first equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. Option C is incorrect because distinct parallel lines do not have all three corresponding ratios equal. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the two lines are coincident and the system has infinitely many solutions.
