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solvability conditions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{10}{15}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\), इसलिए \(\frac{k}{12}=\frac{2}{3}\), जिससे \(k=8\)। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की समानता जाँचें; केवल दो अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{10}{15}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\), so \(\frac{k}{12}=\frac{2}{3}\), giving \(k=8\). Hence, option B is correct. Exam tip: for infinitely many solutions, verify equality of all three coefficient and constant-term ratios, not just two of them.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\) है, इसलिए \(\frac{p}{14}=\frac{2}{7}\), जिससे \(p=4\) प्राप्त होता है। साथ ही \(\frac{18}{50}=\frac{9}{25}\), जो \(\frac{2}{7}\) के बराबर नहीं है; अतः रेखाएँ समानांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात को बराबर करके पैरामीटर ज्ञात करें और फिर नियतांकों का अनुपात अलग होना जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\), so \(\frac{p}{14}=\frac{2}{7}\), giving \(p=4\). Also, \(\frac{18}{50}=\frac{9}{25}\), which is not equal to \(\frac{2}{7}\); hence the lines are parallel and inconsistent. Exam tip: First equate the ratios of the variable coefficients to find the parameter, then verify that the ratio of constants is different.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: 4/12 = a/15 = 28/84। यहाँ 4/12 और 28/84 दोनों 1/3 के बराबर हैं। इसलिए a/15 = 1/3, जिससे a = 5 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is 4/12 = a/15 = 28/84. Since both 4/12 and 28/84 equal 1/3, we get a/15 = 1/3, giving a = 5. Hence, option B is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding coefficient and constant ratios must be equal; checking only two ratios is not sufficient.
B. \(\frac{9}{18}\ne\frac{2}{5}\), इसलिए एक अद्वितीय हल/\(\frac{9}{18}\ne\frac{2}{5}\), so there is one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{5}\) हैं। चूंकि \(\frac{1}{2}\ne\frac{2}{5}\), इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) और रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। अतः युग्म का एक अद्वितीय हल है। विकल्प A और C में अनुपातों की गलत समानता दी गई है, जबकि संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा में पहले \(\frac{a_1}{a_2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}\) की तुलना करके अद्वितीय हल की पहचान करें। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{5}\). Since \(\frac{1}{2}\ne\frac{2}{5}\), we have \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), so the two lines intersect at exactly one point. Therefore, the pair has a unique solution. Options A and C incorrectly assert equality of ratios, while coincident lines require all three ratios to be equal. In an exam, first compare \(\frac{a_1}{a_2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}\) to identify a unique solution quickly.
A. तीनों अनुपात समान हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a₁/a₂ = 8/2 = 4, b₁/b₂ = 12/3 = 4 और c₁/c₂ = 40/10 = 4 है। इसलिए a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, अर्थात तीनों अनुपात समान हैं। इसका अर्थ है कि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल हैं। विकल्प B में पहले दो अनुपात समान लेकिन तीसरा अलग माना गया है, जो इस स्थिति से मेल नहीं खाता। परीक्षा-टिप: तीनों अनुपात समान हों तो रेखाएँ संपाती और हल अनंत होते हैं। / Here, a₁/a₂ = 8/2 = 4, b₁/b₂ = 12/3 = 4, and c₁/c₂ = 40/10 = 4. Hence, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, so all three ratios are equal. This means that the two equations represent the same line and have infinitely many solutions. Option B is incorrect because the third ratio is not different; it is also equal to 4. Exam tip: when all three ratios are equal, the pair of linear equations represents coincident lines and has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांकों का सारणिक शून्य न हो। यहाँ सारणिक \(2k-15\) है, इसलिए \(2k-15\ne0\), अर्थात् \(k\ne\frac{15}{2}\)। अतः विकल्प D सही है। विकल्प A पर सारणिक शून्य हो जाता है और समीकरणों का अद्वितीय हल नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में सीधे \(a_1b_2-a_2b_1\ne0\) की शर्त लगाएँ। / Two linear equations have a unique solution when the determinant of their coefficient matrix is non-zero. Here, the determinant is \(2k-15\), so \(2k-15\ne0\), which gives \(k\ne\frac{15}{2}\). Therefore, option D is correct. For option A, the determinant becomes zero, so the equations do not have a unique solution. Exam tip: For parameter-based questions, apply \(a_1b_2-a_2b_1\ne0\) directly.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{20}{47}\ne\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{7}{14}=\frac{a}{10}\) रखने पर \(\frac{a}{10}=\frac{1}{2}\), अर्थात \(a=5\), समानांतर रेखाओं का एक उदाहरण है; लेकिन सामान्य शर्त \(\frac{a}{10}\ne\frac{20}{47}\) है, अर्थात \(a\ne\frac{200}{47}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में तीनों अनुपात बराबर हो जाते हैं, जिससे अनंत हल प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(\frac{a_1}{a_2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}\) की तुलना करें, फिर \(\frac{c_1}{c_2}\) से मिलान करें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{20}{47}\ne\frac{1}{2}\). Thus, the required condition is \(\frac{a}{10}\ne\frac{20}{47}\), which gives \(a\ne\frac{200}{47}\). Therefore, option A is correct. In option B, all three ratios become equal, giving infinitely many solutions. Although \(a=5\) is one particular value that produces no solution, it is not the complete condition. Exam tip: first compare the ratios of the coefficients of x and y, and then compare them with the ratio of the constants.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{5}{15}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\), इसलिए \(\frac{m}{18}=\frac{1}{3}\), जिससे \(m=6\) प्राप्त होता है। अतः विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए, \(m=5\) लेने पर \(\frac{m}{18}=\frac{5}{18}\), जो \(\frac{1}{3}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपातों की समानता पर्याप्त नहीं होती। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{5}{15}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\), so \(\frac{m}{18}=\frac{1}{3}\), giving \(m=6\). Therefore, option C is correct. For instance, if \(m=5\), then \(\frac{m}{18}=\frac{5}{18}\), which is not equal to \(\frac{1}{3}\). Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding ratios must be equal; equality of only two ratios is not sufficient.
दूसरे समीकरण में पहले समीकरण के प्रत्येक पद को 2 से गुणा किया गया है: 24x+10y=82 = 2(12x+5y=41)। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत अनेक हल होते हैं। विकल्प A या D तब सही होते जब संगत अनुपातों में असमानता होती। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो रेखाएं संपाती होती हैं और अनंत हल होते हैं। / Every term of the second equation is twice the corresponding term of the first: 24x+10y=82 = 2(12x+5y=41). Hence, both equations represent the same line and the system has infinitely many solutions. Options A or D would apply only when the corresponding ratios are unequal. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the lines coincide and the system has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{8}{2}=\frac{72}{18}=4\), इसलिए \(\frac{k}{7}=4\), जिससे \(k=28\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: पहले स्थिर पदों का अनुपात निकालकर गुणांकों का अनुपात उसी के बराबर रखें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{8}{2}=\frac{72}{18}=4\), so \(\frac{k}{7}=4\), giving \(k=28\). Therefore, option C is correct. Exam tip: Find the ratio of the constant terms first and make the corresponding coefficient ratio equal to it.
B. \(\frac{7}{14}\ne\frac{8}{15}\), इसलिए एक अद्वितीय हल/\(\frac{7}{14}\ne\frac{8}{15}\), so there is one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहाँ गुणांकों के अनुपात \(\frac{7}{14}\) और \(\frac{8}{15}\) बराबर नहीं हैं, क्योंकि \(\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\) जबकि \(\frac{8}{15}\ne\frac{1}{2}\)। अतः \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और निकाय का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प C और D क्रमशः असंगत तथा संपाती रेखाओं की स्थितियाँ दर्शाते हैं, जो यहाँ लागू नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो दो रैखिक समीकरणों का सदैव एक अद्वितीय हल होता है। / The coefficient ratios are unequal: \(\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{8}{15}\ne\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), so the two lines intersect at exactly one point and the pair has a unique solution. Options C and D describe the inconsistent and coincident-line cases, respectively, neither of which applies here. Exam tip: When \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations in two variables has a unique solution.
यहाँ \(\frac{10}{2}=5\) और \(\frac{15}{3}=5\), जबकि \(\frac{50}{13}\ne 5\) है। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समांतर और भिन्न हैं तथा समीकरणों का कोई हल नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\frac{50}{13}\), 5 के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-स्थिति को पहचानकर सीधे “कोई हल नहीं” निष्कर्ष निकालें। / Here, \(\frac{10}{2}=5\) and \(\frac{15}{3}=5\), whereas \(\frac{50}{13}\ne 5\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are distinct and parallel and the pair has no solution. Option B is incorrect because \(\frac{50}{13}\) is not equal to 5. Exam tip: Recognize this ratio condition directly to conclude that the pair is inconsistent.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग है/The first two ratios are equal, but the ratio of the constant terms is different
Explanation
Simple Explanation
यहां
12/3=4 और 16/4=4, इसलिए x और y के गुणांकों के अनुपात बराबर हैं। लेकिन 36/11, 4 के बराबर नहीं है। अतः a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂, इसलिए दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं तथा इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-टिप: इस स्थिति में रेखाओं की संगत ढाल समान होती है, पर वे एक-दूसरे को नहीं काटतीं। / Here, 12/3=4 and 16/4=4, so the ratios of the coefficients of x and y are equal. However, 36/11 is not equal to 4. Thus, a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂, so the two lines are distinct and parallel and the pair has no solution. Exam tip: In this case, the lines have equal slopes but do not intersect.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण के प्रत्येक पद को 3 से भाग देने पर मिलता है: 6x+7y=41, जो पहला समीकरण है। अतः दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत समान हल होंगे। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B तब सही होता जब दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग होतीं। परीक्षा में अनुपात जाँचने का नियम याद रखें: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), तो युग्म के अनंत हल होते हैं। / Dividing every term of the second equation by 3 gives \(6x+7y=41\), which is exactly the first equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Therefore, option C is correct. Option B would apply if the two lines were distinct parallel lines. For exams, remember: if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the pair has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो। यहाँ 3/12 = 24/96 = 1/4 है। इसलिए b/20 = 1/4, जिससे b = 5 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि केवल एक अनुपात के बराबर होने से अनंत हल सुनिश्चित नहीं होते; तीनों अनुपातों का बराबर होना आवश्यक है। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Here, 3/12 = 24/96 = 1/4. Therefore, b/20 = 1/4, which gives b = 5. Hence, option C is correct. Exam tip: all three coefficient-to-constant ratios must be equal; checking only one ratio is insufficient.
पहले समीकरण में \(a_1=4, b_1=9, c_1=-31\) और दूसरे में \(a_2=12, b_2=27, c_2=-93\) हैं। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\) तथा \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-31}{-93}=\frac{1}{3}\)। तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं और युग्म के अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल की स्थिति पहचानने के लिए तीनों अनुपातों की तुलना करें; केवल पहले दो के बराबर होने पर निष्कर्ष न निकालें। / For the first equation, \(a_1=4, b_1=9, c_1=-31\), and for the second, \(a_2=12, b_2=27, c_2=-93\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\), and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-31}{-93}=\frac{1}{3}\). Since all three ratios are equal, the two lines are coincident and the pair has infinitely many solutions. Exam tip: To identify infinitely many solutions, compare all three ratios; equality of only the first two is not sufficient.
पहले समीकरण के सभी गुणांक और स्थिरांक दूसरे समीकरण के 5 गुना हैं: \(15x+10y=40=5(3x+2y=8)\)। इसलिए दोनों समीकरणों का हल-समुच्चय समान है और उनके ग्राफ एक ही रेखा पर स्थित होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि समानांतर रेखाओं के लिए दोनों समीकरण समानुपाती होने चाहिए, लेकिन अलग स्थिरांक होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि एक पूरा समीकरण दूसरे का गैर-शून्य गुणज हो, तो रेखाएं संपाती होती हैं और अनंत हल होते हैं। / Every coefficient and the constant in the first equation is 5 times the corresponding term in the second: \(15x+10y=40=5(3x+2y=8)\). Hence, both equations have the same solution set, so their graphs coincide as the same line. Option B is incorrect because distinct parallel lines require the coefficients to be proportional but the constants not to be proportional. Exam tip: when one complete linear equation is a non-zero multiple of the other, the lines are coincident and the pair has infinitely many solutions.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों में x और y के गुणांकों का अनुपात समान है: 14/2 = 21/3 = 7। लेकिन अचर पदों का अनुपात 49/8 है, जो 7 के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल समान, परन्तु उनका स्थान अलग होगा; अतः वे अलग समानांतर रेखाएं होंगी। संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात समान होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, तो रेखाएं अलग समानांतर होती हैं। / For the two equations, the ratios of the coefficients of x and y are equal: 14/2 = 21/3 = 7. However, the ratio of the constant terms is 49/8, which is not equal to 7. Thus, the two lines have the same slope but different positions, so they are distinct parallel lines. Coincident lines would require all three ratios to be equal. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair represents distinct parallel lines.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) है। यहाँ \(\frac{5}{15}=\frac{35}{105}=\frac{1}{3}\), इसलिए \(\frac{a}{18}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=6\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा टिप: अनंत हलों के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान होने चाहिए; केवल एक अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of corresponding coefficients and constants must be equal: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{5}{15}=\frac{35}{105}=\frac{1}{3}\), so \(\frac{a}{18}=\frac{1}{3}\), giving \(a=6\). Therefore, option C is correct. Exam tip: infinitely many solutions require all three corresponding ratios to be equal, not just one pair of ratios.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 होना चाहिए। यहाँ a_1/a_2=7/14=1/2 और c_1/c_2=29/58=1/2 हैं। इसलिए q/10=1/2 , जिससे q=5 प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, q=4 रखने पर गुणांकों का अनुपात 4/10=2/5 हो जाएगा, इसलिए समीकरण आश्रित नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 must hold. Here, a_1/a_2=7/14=1/2 and c_1/c_2=29/58=1/2 . Therefore, q/10=1/2 , giving q=5 . For instance, if q=4, the coefficient ratio becomes 4/10=2/5, so the equations are not dependent. Exam tip: For infinitely many solutions, check that all three ratios are equal.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। यहाँ 3/9 = 12/36 = 1/3 है। इसलिए k/15 = 1/3, जिससे k = 5 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: पहले x और नियतांक के गुणांकों का अनुपात ज्ञात करके y के गुणांक का मान निकालें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of corresponding coefficients must be equal: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Here, 3/9 = 12/36 = 1/3. Therefore, k/15 = 1/3, giving k = 5. Hence, option C is correct. Exam tip: Find the common ratio using the coefficients of x and the constants, then use it to determine the coefficient of y.
दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए \,\(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{5}{15}\ne\frac{2}{k}\), अर्थात् क्रॉस-गुणन करने पर \(5k\ne30\), इसलिए \(k\ne6\)। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A में \(k=6\) रखने पर दोनों समीकरण समान अनुपात में आ जाते हैं और अद्वितीय हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए गुणांकों का अनुपात असमान होना याद रखें। / For two linear equations to have a unique solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{5}{15}\ne\frac{2}{k}\); cross-multiplication gives \(5k\ne30\), so \(k\ne6\). Therefore, option B is correct. In option A, \(k=6\) makes the corresponding coefficients proportional, so the equations do not have a unique solution. Exam tip: a unique solution requires unequal ratios of the corresponding coefficients.
दोनों समीकरणों के गुणांकों के लिए \(\frac{14}{7}=\frac{-10}{-5}=2\), लेकिन अचर पदों का अनुपात \(\frac{36}{19}\) है, जो 2 के बराबर नहीं है। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), जिससे दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग होती हैं; अतः उनका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-पैटर्न को देखकर तुरंत ‘no solution’ चुनें। / For the coefficients, \(\frac{14}{7}=\frac{-10}{-5}=2\), but the ratio of the constant terms is \(\frac{36}{19}\), which is not 2. Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and distinct and have no common solution. Exam tip: when the first two ratios are equal but the constant-term ratio is different, choose ‘no solution’.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: 24x+10y=2(12x+5y) और 82=2×41। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल होते हैं। विकल्प A तब सही होता जब x और y के गुणांकों का अनुपात समान रहता, लेकिन नियतांकों का अनुपात अलग होता। परीक्षा में रेखाओं की स्थिति जानने के लिए a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना करें। / The second equation is exactly twice the first: 24x+10y=2(12x+5y) and 82=2×41. Therefore, both equations represent the same line and the pair has infinitely many solutions. Option A would be correct if the ratios of the coefficients of x and y were equal but the ratio of the constants were different. In an exam, compare a₁/a₂, b₁/b₂, and c₁/c₂ to determine the position of the lines.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए: 8/2 = k/7 = 72/18। यहाँ 8/2 और 72/18 दोनों 4 हैं, इसलिए k/7 = 4 और k = 28। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा में केवल चर के गुणांकों का नहीं, बल्कि अचर पदों का अनुपात भी अवश्य जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of their corresponding coefficients and constant terms must be equal: 8/2 = k/7 = 72/18. Since 8/2 and 72/18 are both 4, k/7 = 4, giving k = 28. Therefore, option C is correct. In an exam, check the ratio of the constant terms as well as the variable coefficients.
B. 7/14 ≠ 8 / 15, इसलिए एक अद्वितीय हल है / 15, so there is a unique solution
Explanation
Simple Explanation
युग्म में \(a_1/a_2=7/14=1/2\) और \(b_1/b_2=8/15\) हैं, तथा ये बराबर नहीं हैं। इसलिए \(a_1/a_2\ne b_1/b_2\), जिससे दोनों रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प A और C में अनुपातों को गलत तरीके से बराबर माना गया है, जबकि संपाती रेखाओं के लिए सभी संबंधित अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना करें। / For the pair, \(a_1/a_2=7/14=1/2\) and \(b_1/b_2=8/15\), and these ratios are unequal. Thus, \(a_1/a_2\ne b_1/b_2\), so the two lines intersect at one point and the equations have a unique solution. Options A and C incorrectly treat the ratios as equal; coincident lines require all corresponding ratios to be equal. Exam tip: first compare \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\).
युग्म रैखिक समीकरणों के लिए पहले समीकरण के गुणांकों और स्थिर पद को दूसरे समीकरण के संगत पदों से तुलना करते हैं। यहाँ 10/2 = 5 और 15/3 = 5, लेकिन 50/13 ≠ 5 है। इसलिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, अतः दोनों रेखाएँ समानांतर हैं और इस युग्म का कोई हल नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि 50/13, 10/2 और 15/3 के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ दिखे तो युग्म असंगत होता है। / For a pair of linear equations, compare the ratios of the corresponding coefficients and constant terms. Here, 10/2 = 5 and 15/3 = 5, but 50/13 ≠ 5. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, so the two lines are parallel and the pair has no solution. Option B is incorrect because 50/13 is not equal to 10/2 or 15/3. Exam tip: when a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair is inconsistent and has no solution.
B. पहले दो अनुपात समान हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग है/The first two ratios are equal, but the ratio of the constants is different
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मानक रूप में दोनों समीकरणों के लिए \(a_1/a_2=12/3=4\) और \(b_1/b_2=16/4=4\), जबकि \(c_1/c_2=36/11\), जो 4 के बराबर नहीं है। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति में पहले दो अनुपात समान और तीसरा अनुपात असमान हो, तो उत्तर ‘कोई हल नहीं’ चुनें। / For the two equations in standard form, \(a_1/a_2=12/3=4\) and \(b_1/b_2=16/4=4\), whereas \(c_1/c_2=36/11\), which is not 4. Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the lines are distinct and parallel and the pair has no solution. Exam tip: when the first two coefficient ratios are equal but the constant ratio is different, the pair has no solution.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
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दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 3 गुना है: 3(6x+7y=41) से 18x+21y=123 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल होते हैं। यह कोई हल न होने की स्थिति नहीं है, क्योंकि दोनों रेखाएँ अलग समानांतर नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), तो युग्म के अनंत हल होते हैं। / The second equation is exactly three times the first: multiplying 6x+7y=41 by 3 gives 18x+21y=123. Thus both equations represent the same line, so the pair has infinitely many solutions. It does not represent two distinct parallel lines, which would give no solution; the lines are also not perpendicular because their slopes are equal. Exam tip: for equations in standard form, if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the pair has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{11}{4}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{p}{2}\) हैं। अतः \(\frac{11}{4}\ne\frac{p}{2}\), जिससे \(p\ne\frac{11}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में दोनों अनुपात बराबर हो जाते हैं; उस स्थिति में अद्वितीय हल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात में असमानता जाँचें। / For two linear equations to have a unique solution, the ratios of the coefficients of the two variables must be unequal: \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{11}{4}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{p}{2}\). Thus, \(\frac{11}{4}\ne\frac{p}{2}\), which gives \(p\ne\frac{11}{2}\). Therefore, option B is correct. In option A, the two ratios become equal, so the system cannot have a unique solution. Exam tip: For a unique solution, check that the ratios of the corresponding variable coefficients are unequal.
