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solvability conditions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{10}{2}=\frac{110}{22}=5\), इसलिए \(\frac{k}{9}=5\), जिससे \(k=45\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: पहले स्थिरांकों का अनुपात जाँचें; फिर अज्ञात गुणांक का अनुपात उसी के बराबर रखें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{10}{2}=\frac{110}{22}=5\), so \(\frac{k}{9}=5\), which gives \(k=45\). Therefore, option C is correct. Exam tip: compare the constant-term ratio first, then equate the corresponding coefficient ratio to it.
यहाँ
(10/20)
\ne
(11/21), क्योंकि 10/20 = 1/2 जबकि 11/21 अलग है। अतः रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प A तभी सही होता जब दोनों अनुपात बराबर होते और स्थिरांकों का अनुपात अलग होता; विकल्प C के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-टिप: दो रैखिक समीकरणों में a₁/a₂ \ne b₁/b₂ होने पर सदैव एक अद्वितीय हल होता है। / Here, (10/20) \ne (11/21), since 10/20 = 1/2 while 11/21 has a different value. Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the pair has a unique solution. Option A would apply when the first two ratios are equal but the constant-term ratio is different; option C requires all three ratios to be equal. Exam tip: for two linear equations, a₁/a₂ \ne b₁/b₂ always indicates a unique solution.
A. तीनों अनुपात बराबर हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और स्थिर पदों के अनुपात हैं: \(\frac{9}{27}=\frac{16}{48}=\frac{74}{222}=\frac{1}{3}\)। अतः तीनों अनुपात बराबर हैं। शर्त \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होने पर दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना करते समय स्थिर पदों का अनुपात भी अवश्य जाँचें; केवल x और y के गुणांकों की तुलना पर्याप्त नहीं है। / The ratios of the corresponding coefficients and constants are \(\frac{9}{27}=\frac{16}{48}=\frac{74}{222}=\frac{1}{3}\). Hence, all three ratios are equal. When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the two linear equations represent the same line and have infinitely many solutions. Exam tip: Always compare the ratio of the constant terms as well; checking only the coefficients of x and y is not sufficient.
दोनों समीकरणों में गुणांकों का अनुपात \(\frac{8}{16}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) है, लेकिन अचर पदों का अनुपात \(\frac{280}{575}=\frac{56}{115}\neq\frac{1}{2}\) है। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर हैं और कोई हल नहीं है; प्रणाली असंगत है। विकल्प B तभी सही होता जब तीनों अनुपात बराबर होते और अनंत हल मिलते। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-शर्त को सीधे जाँचकर प्रणाली का प्रकार शीघ्र निर्धारित करें। / The ratios of the coefficients are \(\frac{8}{16}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), but the ratio of the constant terms is \(\frac{280}{575}=\frac{56}{115}\neq\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and have no common solution; the system is inconsistent. Option B would be correct only if all three ratios were equal, giving infinitely many solutions. Exam tip: Compare the three coefficient and constant ratios directly to identify the type of system quickly.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन स्थिर पद का अनुपात अलग है/First two ratios are equal but the constant ratio is different
Explanation
Simple Explanation
यहाँ
\(a_1/a_2=21/3=7\) और \(b_1/b_2=28/4=7\), लेकिन \(c_1/c_2=84/15=28/5\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो असंगत तथा समांतर रेखाओं को दर्शाता है। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि पहले दो अनुपात बराबर हों और तीसरा अलग हो, तो निष्कर्ष हमेशा ‘कोई हल नहीं’ होता है। / Here, \(a_1/a_2=21/3=7\) and \(b_1/b_2=28/4=7\), whereas \(c_1/c_2=84/15=28/5\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which represents inconsistent equations whose lines are parallel. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: When the first two coefficient ratios are equal but the constant-term ratio is different, the pair has no solution.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए उनके संगत गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ \(27/9=3\) और \(15/5=3\), इसलिए दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 3 गुना होना चाहिए। अतः \(n=3\times47=141\), इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल की स्थिति में \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of their corresponding coefficients and constants must be equal. Here, \(27/9=3\) and \(15/5=3\), so the second equation must be 3 times the first one. Hence, \(n=3\times47=141\), making option C correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\).
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तभी होता है जब \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) हो। यहाँ \(\frac{15}{7}\ne\frac{p}{2}\) आवश्यक है। अतः \(30\ne7p\), अर्थात् \(p\ne\frac{30}{7}\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में दोनों अनुपात बराबर हो जाते हैं; उस स्थिति में अद्वितीय हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात की असमानता जाँचें। / Two linear equations have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, the condition is \(\frac{15}{7}\ne\frac{p}{2}\), which gives \(30\ne7p\), or \(p\ne\frac{30}{7}\). Hence, option B is correct. In option A, the two coefficient ratios become equal, so the system does not have a unique solution. Exam tip: For a unique solution, check that the ratios of corresponding coefficients are unequal.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) हो। यहाँ \(\frac{6}{18}=\frac{54}{162}=\frac{1}{3}\), इसलिए \(\frac{d}{30}=\frac{1}{3}\)। अतः \(d=10\)। 9 या 11 लेने पर गुणांकों का अनुपात \(1:3\) नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: पहले स्थिर पदों का अनुपात निकालकर अज्ञात गुणांक का अनुपात उससे बराबर करें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{6}{18}=\frac{54}{162}=\frac{1}{3}\), so \(\frac{d}{30}=\frac{1}{3}\), giving \(d=10\). If d were 9 or 11, the coefficient ratios would not remain \(1:3\). Exam tip: first compare the ratios of the known coefficients and constants, then use that ratio to find the unknown coefficient.
A. \(\frac{12}{24}=\frac{-5}{-10}\ne\frac{37}{79}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ
\(a_1=12, b_1=-5, c_1=37\) तथा \(a_2=24, b_2=-10, c_2=79\) हैं। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{37}{79}\ne\frac{1}{2}\)। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और असंपाती हैं तथा इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात संबंध में पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग होने पर ‘कोई हल नहीं’ चुनें। / Here, \(a_1=12, b_1=-5, c_1=37\) and \(a_2=24, b_2=-10, c_2=79\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{37}{79}\ne\frac{1}{2}\). Therefore, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and distinct, giving no solution. Exam tip: When the first two coefficient ratios are equal but the constant-term ratio is different, the pair has no solution.
दोनों समीकरणों में अनुपातों की जाँच करें: \(a_1/a_2=8/24=1/3\), \(b_1/b_2=13/39=1/3\) और \(c_1/c_2=(-59)/(-177)=1/3\)। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और युग्म के अनंत हल हैं। विकल्प A और D में एक अनुपात को गलत रूप से असमान बताया गया है। परीक्षा-युक्ति: तीनों अनुपात बराबर हों तो अनंत हल, जबकि केवल पहले दो बराबर हों और तीसरा अलग हो तो कोई हल नहीं होता। / Check the three ratios: \(a_1/a_2=8/24=1/3\), \(b_1/b_2=13/39=1/3\), and \(c_1/c_2=(-59)/(-177)=1/3\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\); the two lines are coincident and the pair has infinitely many solutions. Options A and D incorrectly state that one ratio is unequal. Exam tip: if all three ratios are equal, there are infinitely many solutions; if only the first two are equal and the third differs, there is no solution.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के लिए गुणांकों का अनुपात समान नहीं है: \\(\frac{4}{9} \ne \frac{15}{31}\\) या सीधे कहें तो निर्धारक \\(4\times31-9\times15=-11\ne0\\) है। इसलिए दोनों रेखाएं एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी और युग्म का एक अद्वितीय हल होगा। संपाती या अलग समानांतर रेखाओं के लिए संबंधित गुणांकों के अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\\), तो रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। / The coefficient ratios are unequal: \\(\frac{4}{9} \ne \frac{15}{31}\\). Equivalently, the determinant is \\(4\times31-9\times15=-11\ne0\\), so the two lines intersect at exactly one point and the pair has a unique solution. Coincident or distinct parallel lines require the relevant coefficient ratios to be equal. Exam tip: if \\(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\\), the lines intersect at one point.
पहला समीकरण दूसरे समीकरण का 5 गुना है: \(25x+10y=5(5x+2y)=5\times19=95\)। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही समीकरण को दर्शाते हैं और उनके ग्राफ में एक ही रेखा दिखाई देगी। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो युग्म के अनंत हल होते हैं और दोनों रेखाएं संपाती होती हैं। / The first equation is five times the second: \(25x+10y=5(5x+2y)=5\times19=95\). Thus, both equations represent the same equation, so their graphs coincide as one line. Exam tip: when \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the pair has infinitely many solutions and the two lines are coincident, not merely distinct parallel lines.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{9}{27}=\frac{63}{189}=\frac{1}{3}\), इसलिए \(\frac{a}{24}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=8\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की समानता जाँचें; केवल दो अनुपातों की समानता पर्याप्त नहीं होती। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{9}{27}=\frac{63}{189}=\frac{1}{3}\), so \(\frac{a}{24}=\frac{1}{3}\), giving \(a=8\). Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, verify equality of all three ratios, not just two of them.
दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए, अर्थात् \(\frac{10}{2}\ne\frac{p}{7}\)। इससे \(5\ne\frac{p}{7}\), इसलिए \(p\ne35\) प्राप्त होता है। जब \(p=35\), तो दोनों समीकरणों के \(x\) और \(y\) के गुणांकों के अनुपात समान हो जाते हैं; वास्तव में \(\frac{50}{19}\ne\frac{10}{2}\) होने के कारण उस स्थिति में कोई हल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए हमेशा \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) जाँचें। / For two linear equations to have a unique solution, the ratios of the corresponding coefficients must be unequal: \(\frac{10}{2}\ne\frac{p}{7}\). Thus, \(5\ne\frac{p}{7}\), which gives \(p\ne35\). If \(p=35\), the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) become equal; since \(\frac{50}{19}\ne\frac{10}{2}\), the equations then have no solution rather than a unique solution. Exam tip: for a unique solution, check \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है, इसलिए 18 = 2q होना आवश्यक है। अतः q = 9। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of their corresponding coefficients and constant terms must be equal. Here, the second equation must be twice the first, so 18 = 2q. Therefore, q = 9. Exam tip: For infinitely many solutions, check \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान हो: k/15 = 12/20 = 36/60। यहाँ 12/20 और 36/60 दोनों 3/5 के बराबर हैं। इसलिए k/15 = 3/5, जिससे k = 9 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल की स्थिति में a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ जाँचें। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when the ratios of corresponding coefficients and constants are equal: k/15 = 12/20 = 36/60. Since both 12/20 and 36/60 equal 3/5, we get k/15 = 3/5, so k = 9. Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, verify a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\), इसलिए \(\frac{p}{10}=\frac{2}{5}\) से \(p=4\) प्राप्त होता है। साथ ही \(\frac{24}{61}\neq\frac{2}{5}\), इसलिए रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात बराबर करें और नियतांकों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\), so \(\frac{p}{10}=\frac{2}{5}\) gives \(p=4\). Also, \(\frac{24}{61}\neq\frac{2}{5}\), so the two lines are parallel and distinct. Exam tip: For ‘no solution’, first equate the ratios of the variable coefficients and then verify that the constants’ ratio is different.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{10}{20}=\frac{44}{88}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{3}{a}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए। अतः \(a=6\)। 5 निकट विकल्प है, लेकिन उसके लिए \(\frac{3}{5}\neq\frac{1}{2}\), इसलिए वह अनंत हल नहीं देता। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{10}{20}=\frac{44}{88}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{3}{a}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=6\). The nearby distractor 5 is incorrect because \(\frac{3}{5}\neq\frac{1}{2}\). Exam tip: for infinitely many solutions, verify that all three coefficient-to-constant ratios are equal.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{9}{3}=\frac{81}{27}=3\), इसलिए \(\frac{k}{8}=3\), जिससे \(k=24\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की समानता अवश्य जाँचें; केवल दो अनुपातों की समानता पर्याप्त नहीं होती। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{9}{3}=\frac{81}{27}=3\), so \(\frac{k}{8}=3\), giving \(k=24\). Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, verify equality of all three ratios, not just two of them.
यहाँ
12/2 = 6 और 18/3 = 6 हैं, जबकि 72/15 = 4.8 है। अतः a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, जो दो रैखिक समीकरणों के असंगत होने की शर्त है। इसलिए इन समीकरणों का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि केवल गुणांकों के अनुपात बराबर हों, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग हो, तो रेखाएँ समांतर होती हैं और युग्म का कोई हल नहीं होता। / Here, 12/2 = 6 and 18/3 = 6, whereas 72/15 = 4.8. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, which is the condition for an inconsistent pair of linear equations. Therefore, the equations have no solution. Exam tip: when the ratios of the coefficients are equal but the ratio of the constants is different, the two lines are parallel and the pair has no solution.
A. तीनों अनुपात बराबर हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ तीनों अनुपात हैं: 7/21=1/3, 10/30=1/3 और 46/138=1/3। अतः a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂ है। इसलिए दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और युग्म के अनंत हल होते हैं। परीक्षा में यदि तीनों अनुपात बराबर हों, तो समीकरणों को संपाती (coincident) मानें। / The three ratios are 7/21=1/3, 10/30=1/3, and 46/138=1/3. Thus, a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂. Therefore, the two linear equations represent the same line and the pair has infinitely many solutions. Exam tip: when all three ratios are equal, the equations are coincident.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग है/The first two ratios are equal, but the ratio of the constant terms is different
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों का अनुपात है: 15/3 = 5 और 20/4 = 5, जबकि स्थिर पदों का अनुपात 55/12 है, जो 5 के बराबर नहीं है। इसलिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, अतः रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं तथा निकाय का कोई हल नहीं है। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि तीनों अनुपात बराबर नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो समीकरणों का कोई हल नहीं होता। / The ratios of the corresponding coefficients are 15/3 = 5 and 20/4 = 5, whereas the ratio of the constant terms is 55/12, which is not 5. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, so the lines are distinct and parallel and the pair has no solution. Option A is incorrect because all three ratios are not equal. Exam tip: When a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, a pair of linear equations has no solution.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण के सभी पद पहले समीकरण के 3 गुने हैं: 21x=3(7x), 36y=3(12y) और 159=3(53)। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, अर्थात रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत साझा बिंदु होते हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि कोई हल न होना अलग समानांतर रेखाओं की स्थिति में होता है। परीक्षा-टिप: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो युग्म के अनंत हल होते हैं। / Every term of the second equation is three times the corresponding term of the first: 21x=3(7x), 36y=3(12y), and 159=3(53). Hence, both equations represent the same line, so they have infinitely many common points. Option B is incorrect because no solution occurs when the lines are distinct and parallel. Also, the non-zero constants show that the common line does not pass through the origin. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, the pair has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के पूर्ण गुणज होने चाहिए। यहाँ दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में 24=3×8 और 15=3×5 है, इसलिए उसका दायाँ पक्ष भी 43 का 3 गुना होना चाहिए। अतः n=3×43=129, इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हलों के लिए दोनों समीकरणों के सभी संगत गुणांकों का अनुपात समान जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, one equation must be an exact multiple of the other. Here, 24=3×8 and 15=3×5, so the right-hand side must also be three times 43. Hence, n=3×43=129, making option C correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check that the ratios of all corresponding coefficients and constants are equal.
दोनों रैखिक समीकरणों का कोई हल न होने के लिए उनके गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात असमान होना चाहिए। इसलिए \(\frac{c}{15}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), जिससे \(c=6\) प्राप्त होता है। साथ ही \(\frac{56}{121}\neq\frac{2}{5}\), इसलिए रेखाएँ अलग-अलग समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। अतः सही विकल्प (6) है। परीक्षा-टिप: ‘कोई हल नहीं’ के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) का प्रयोग करें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of the variables must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, \(\frac{c}{15}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), giving \(c=6\). Also, \(\frac{56}{121}\neq\frac{2}{5}\), so the two lines are distinct and parallel. Hence, option (6) is correct. Exam tip: For no solution, use \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\).
A. \(\frac{10}{20}=\frac{-7}{-14}\ne\frac{31}{65}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1=10, b_1=-7, c_1=31\) तथा \(a_2=20, b_2=-14, c_2=65\) हैं। \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{31}{65}\ne\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), और रेखाएँ समानांतर होने के कारण युग्म असंगत है; इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात संबंध को पहचानते समय पहले दोनों चर-गुणांकों के अनुपात और फिर नियतांकों के अनुपात की तुलना करें। / Here, \(a_1=10, b_1=-7, c_1=31\) and \(a_2=20, b_2=-14, c_2=65\). We get \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{31}{65}\ne\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the pair is inconsistent and has no solution because the corresponding lines are parallel. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of both variables first, and then compare them with the ratio of the constants.
C. \(\frac{6}{18}=\frac{11}{33}=\frac{-47}{-141}\)
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यहां \(\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\), \(\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\) और \(\frac{-47}{-141}=\frac{1}{3}\) हैं। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और इस युग्म के अनंत हल होते हैं। परीक्षा में अनुपात निकालते समय नियतांकों के चिह्नों को भी अवश्य बनाए रखें। / Here, \(\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\), \(\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\), and \(\frac{-47}{-141}=\frac{1}{3}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are coincident and the pair has infinitely many solutions. In an exam, retain the signs of the constant terms while forming the ratios.
पहले समीकरण के सभी पद दूसरे समीकरण के 5 गुना हैं:
20=5×4, 15=5×3 और 85=5×17। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत समान हल होते हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि समानांतर रेखाओं के लिए स्थिरांक का अनुपात अलग होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि दो रैखिक समीकरणों में a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो रेखाएं संपाती होती हैं। / Every term of the first equation is 5 times the corresponding term of the second: 20=5×4, 15=5×3, and 85=5×17. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Option B is incorrect because distinct parallel lines require the coefficient ratios to be equal but different from the constant-term ratio. Exam tip: if a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, the two lines are coincident.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{7}{21}=\frac{49}{147}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{a}{18}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=6\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपात समान होने पर निश्चित रूप से अनंत हल नहीं माने जाते। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{7}{21}=\frac{49}{147}=\frac{1}{3}\). Therefore, \(\frac{a}{18}=\frac{1}{3}\), giving \(a=6\). Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding coefficient and constant ratios must be equal; equality of only two ratios is not sufficient.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तब होता है जब \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{8}{2} \ne \frac{p}{3}\), अर्थात् \(4 \ne \frac{p}{3}\), इसलिए \(p \ne 12\) होना चाहिए। यदि \(p=12\) हो, तो गुणांकों के अनुपात समान होंगे, जबकि अचर पदों के अनुपात समान नहीं होंगे; ऐसी स्थिति में कोई हल होगा, अद्वितीय हल नहीं। परीक्षा में पहले गुणांक-अनुपात की तुलना करके अद्वितीय हल की शर्त जाँचें। / Two linear equations have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{8}{2} \ne \frac{p}{3}\), which gives \(4 \ne \frac{p}{3}\), so \(p \ne 12\). If \(p=12\), the ratios of the coefficients become equal, but the ratio of the constant terms does not; hence the equations have no solution rather than a unique solution. In an exam, compare the coefficient ratios first to identify the condition for a unique solution.
