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solvability conditions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
यहाँ \(a_1/a_2=12/36=1/3\) और \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), लेकिन \(c_1/c_2=29/91\), जो \(1/3\) के बराबर नहीं है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जिससे दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग होती हैं। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति की पहचान के लिए पहले a और b के गुणांकों का अनुपात मिलाएँ, फिर उसे c के अनुपात से तुलना करें। / Here, \(a_1/a_2=12/36=1/3\) and \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), but \(c_1/c_2=29/91\), which is not equal to \(1/3\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are parallel and distinct. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: First compare the ratios of the coefficients of x and y, and then compare them with the ratio of the constant terms.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तभी होता है जब उनके गुणांकों का अनुपात समान न हो। यहाँ शर्त \(\frac{11}{5}\ne\frac{k}{4}\) है। इसे हल करने पर \(44\ne5k\), अर्थात् \(k\ne\frac{44}{5}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा में याद रखें: अद्वितीय हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) होना चाहिए। विकल्प A में अनुपात समान हो जाते हैं, इसलिए वह अद्वितीय हल की शर्त नहीं है। / Two linear equations have a unique solution when the ratios of the coefficients of the variables are unequal. Here, the required condition is \(\frac{11}{5}\ne\frac{k}{4}\). On simplifying, this gives \(44\ne5k\), or \(k\ne\frac{44}{5}\). Therefore, option B is correct. Exam tip: for a unique solution, use \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). In option A, the two ratios become equal, so it does not represent a unique solution.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: गुणांकों का अनुपात समान हो, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग हो। अतः p/14 = 10/35 = 2/7, जिससे p = 4 प्राप्त होता है। जाँचने पर 50/122 = 25/61, जो 2/7 के बराबर नहीं है; इसलिए वास्तव में कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ याद रखें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, p/14 = 10/35 = 2/7, giving p = 4. Also, 50/122 = 25/61, which is not equal to 2/7, so the equations are inconsistent. Exam tip: Remember the condition a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ for no solution.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{6}{18}=\frac{42}{126}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{a}{33}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=11\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान होने चाहिए; केवल एक अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{6}{18}=\frac{42}{126}=\frac{1}{3}\). Therefore, \(\frac{a}{33}=\frac{1}{3}\), giving \(a=11\). Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constant terms must all be equal; checking only one ratio is not sufficient.
यहाँ \\(\frac{29}{14} \ne \frac{12}{6}\\) है। अतः दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। वास्तव में, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करके पहले समीकरण से घटाने पर \(x=3\) मिलता है और फिर \(y=\frac{7}{6}\) प्राप्त होता है। इसलिए हल अद्वितीय है, लेकिन पूर्णांक नहीं; अतः विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो रैखिक समीकरण-युग्म का सदैव एक अद्वितीय हल होता है। / Here, \\(\frac{29}{14} \ne \frac{12}{6}\\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the pair of equations has a unique solution. In fact, multiplying the second equation by 2 and subtracting it from the first gives \(x=3\), followed by \(y=\frac{7}{6}\). Thus, the solution is unique but not an integer, so option D is incorrect. Exam tip: If \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations always has a unique solution.
दोनों समीकरणों के लिए
1/
2 = 24/4 = 6 और
1/
2 = (-18)/(-3) = 6, लेकिन स्थिरांकों का अनुपात 102/18 = 17/3 है, जो 6 के बराबर नहीं है। अतः
1/
2 =
2/
2
3/
2 की स्थिति है, इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं तथा कोई हल नहीं है। विकल्प B या संपाती रेखाओं का निष्कर्ष तब होता जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-टिप: पहले गुणांकों के अनुपात की तुलना करें और फिर स्थिरांकों के अनुपात से मिलान करें। / For the two equations, a₁/a₂ = 24/4 = 6 and b₁/b₂ = (-18)/(-3) = 6, but c₁/c₂ = 102/18 = 17/3, which is not 6. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, so the lines are parallel and distinct and the pair has no solution. Infinitely many solutions would occur only when all three corresponding ratios are equal. Exam tip: compare the ratios of the coefficients first, then compare them with the ratio of the constants.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: \(2(18x+13y=89)\) से \(36x+26y=178\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत अनेक हल हैं। विकल्प A गलत है, क्योंकि समानांतर और अलग रेखाओं के लिए गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होता है। परीक्षा में \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\) और \(c_1/c_2\) की तुलना करें; तीनों समान हों तो रेखाएं संपाती होती हैं। / The second equation is exactly twice the first: multiplying \(18x+13y=89\) by 2 gives \(36x+26y=178\). Hence, both equations represent the same line and the pair has infinitely many solutions. Option A is incorrect because distinct parallel lines have equal ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\), but a different ratio for the constant terms. Exam tip: compare \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and \(c_1/c_2\); if all three ratios are equal, the lines are coincident.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल न होने के लिए शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{l}{20}=\frac{17}{34}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(l=10\)। साथ ही, \(\frac{68}{139}\ne\frac{1}{2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों का अनुपात बराबर करके अज्ञात पैरामीटर ज्ञात करें, फिर नियतांकों का अनुपात जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{l}{20}=\frac{17}{34}=\frac{1}{2}\), so \(l=10\). Also, \(\frac{68}{139}\ne\frac{1}{2}\), confirming that the lines are parallel and inconsistent. Exam tip: First equate the ratios of the coefficients to find the parameter, and then verify that the ratio of constants is different.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। यहाँ 12/3 = 132/33 = 4 है। इसलिए k/10 = 4, जिससे k = 40 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में पहले स्थिरांकों का अनुपात जाँचें और फिर अज्ञात गुणांक का मान निकालें। / Two linear equations have infinitely many solutions when a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Here, 12/3 = 132/33 = 4. Therefore, k/10 = 4, giving k = 40. Hence, option C is correct. Exam tip: In such questions, first compare the ratios of the known coefficients and constants, then determine the unknown coefficient.
B. 12/24 ≠ 13 / 25, अतः एक अद्वितीय हल है / 25, so there is a unique solution
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों में यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो उनका एक अद्वितीय हल होता है। यहाँ 12/24 = 1/2 और 13/25 = 0.52 हैं, इसलिए दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। वास्तव में, समीकरणों को हल करने पर y = 3 और x = 4/3 प्राप्त होता है। इसलिए B सही है; विकल्प A और C में समान अनुपात की गलत शर्त लगाई गई है, जबकि D में x और y के मान उलट दिए गए हैं। परीक्षा-टिप: पहले a₁/a₂ और b₁/b₂ की तुलना करके हलों की संख्या निर्धारित करें। / For two linear equations, the condition a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ indicates a unique solution. Here, 12/24 = 1/2 and 13/25 = 0.52, so the two ratios are unequal. Solving the equations gives y = 3 and x = 4/3. Therefore, B is correct; A and C incorrectly assume equal ratios, while D reverses the values of x and y. Exam tip: Compare a₁/a₂ and b₁/b₂ first to determine the number of solutions.
यहाँ \(a_1=18, b_1=27, c_1=126\) और \(a_2=2, b_2=3, c_2=16\) हैं। अतः \(a_1/a_2=18/2=9\) तथा \(b_1/b_2=27/3=9\), लेकिन \(c_1/c_2=126/16=63/8\), जो 9 के बराबर नहीं है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), और रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है; इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दोनों गुणांकों के अनुपात बराबर और स्थिर पद का अनुपात अलग हो, तो ‘कोई हल नहीं’ निष्कर्ष निकालें। / Here, \(a_1=18, b_1=27, c_1=126\) and \(a_2=2, b_2=3, c_2=16\). Thus, \(a_1/a_2=18/2=9\) and \(b_1/b_2=27/3=9\), whereas \(c_1/c_2=126/16=63/8\), which is not 9. Therefore, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the pair of linear equations is inconsistent and has no solution. Exam tip: equal ratios of the coefficients but an unequal ratio of the constant terms indicate no solution.
समीकरणों के गुणांकों के लिए \\(\frac{7}{4} \ne \frac{5}{-3}\\) है। समतुल्य रूप से, गुणांक-आव्यूह का निर्धारक \\(7(-3)-5(4)=-41\\) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। वास्तव में \\(x=\frac{229}{41}, y=\frac{155}{41}\\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\) होने पर दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / For the coefficients, \\(\frac{7}{4} \ne \frac{5}{-3}\\). Equivalently, the determinant of the coefficient matrix is \\(7(-3)-5(4)=-41\\), which is non-zero. Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the pair has one unique solution. In fact, \\(x=\frac{229}{41}, y=\frac{155}{41}\\). Exam tip: If \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\), a pair of linear equations has a unique solution.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 3 गुना है: 3(8x+15y=73) से 24x+45y=219 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और प्रणाली के अनंत हल हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत हल मिलते हैं। / The second equation is exactly 3 times the first: multiplying 8x+15y=73 by 3 gives 24x+45y=219. Hence, both equations represent the same line, so the system has infinitely many solutions. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the lines are coincident and infinitely many solutions exist.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होने चाहिए। यहाँ दूसरे समीकरण के x और y के गुणांक पहले समीकरण के गुणांकों के 3 गुना हैं: 33=3×11 और 21=3×7। इसलिए स्थिर पद भी 3 गुना होना चाहिए, अर्थात् n=3×59=177। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल की स्थिति में
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होती है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, all corresponding coefficients and constants must be proportional. Here, the coefficients of x and y in the second equation are three times those in the first: 33=3×11 and 21=3×7. Therefore, the constant term must also be three times 59, so n=3×59=177. Hence, option C is correct. Exam tip: infinitely many solutions require
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{7}{28}=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}\) है। अतः \(\frac{d}{36}=\frac{1}{4}\), इसलिए \(d=9\)। विकल्प 8 निकट है, लेकिन इससे \(\frac{d}{36}=\frac{2}{9}\) होगा, जो \(\frac{1}{4}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान और निश्चित रूप से संगत होने चाहिए। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{7}{28}=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}\). Therefore, \(\frac{d}{36}=\frac{1}{4}\), giving \(d=9\). Option 8 is a close distractor, but it gives \(\frac{d}{36}=\frac{2}{9}\), which is not equal to \(\frac{1}{4}\). Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding coefficient-to-constant ratios must be equal.
दो रैखिक समीकरणों की युग्म का कोई हल न होने के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{c}{24}=\frac{18}{48}=\frac{3}{8}\), इसलिए \(c=9\)। साथ ही \(\frac{72}{145}\ne\frac{3}{8}\), अतः दोनों रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं तथा कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर करके अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर नियतांकों का अनुपात जाँचें। / For a pair of linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, but this ratio must differ from the ratio of the constants: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{c}{24}=\frac{18}{48}=\frac{3}{8}\), so \(c=9\). Also, \(\frac{72}{145}\ne\frac{3}{8}\), confirming that the lines are distinct and parallel. Exam tip: First equate the ratios of the x- and y-coefficients to find the parameter, then verify the constants’ ratio.
A. \(\frac{16}{32}=\frac{-9}{-18}\ne\frac{55}{113}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1=16, b_1=-9, c_1=55\) तथा \(a_2=32, b_2=-18, c_2=113\) हैं। \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-9}{-18}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{55}{113}\ne\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), अतः रेखाएँ समानांतर हैं और युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात में पहले दो बराबर और तीसरा अलग हो, तो युग्म असंगत होता है। / Here, \(a_1=16, b_1=-9, c_1=55\) and \(a_2=32, b_2=-18, c_2=113\). We get \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-9}{-18}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{55}{113}\ne\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and the pair has no solution. Exam tip: when the first two coefficient ratios are equal but the constant-term ratio is different, the pair is inconsistent.
C. \(\frac{10}{30}=\frac{13}{39}=\frac{-71}{-213}\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात समान हैं: \(\frac{10}{30}=\frac{13}{39}=\frac{-71}{-213}=\frac{1}{3}\)। अतः दूसरे समीकरण के सभी गुणांक पहले समीकरण के गुणांकों के 3 गुने हैं, इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इस युग्म के अनंत हल होंगे। विकल्प A और D इसलिए गलत हैं क्योंकि वे किसी एक अनुपात को असमान बताते हैं, जबकि परीक्षा में स्थिर पद के चिह्न सहित उसका अनुपात भी जाँचना चाहिए। / All three ratios are equal: \(\frac{10}{30}=\frac{13}{39}=\frac{-71}{-213}=\frac{1}{3}\). Thus, every coefficient in the second equation is 3 times the corresponding coefficient in the first equation, so both equations represent the same line. The pair therefore has infinitely many solutions. Options A and D are incorrect because they wrongly treat one ratio as unequal. Exam tip: always compare the ratios of the coefficients of \(x\), \(y\), and the constant term, including their signs.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के गुणांकों के लिए \(\frac{5}{12} \ne \frac{17}{41}\) है। इसलिए रेखाएं समानांतर या संपाती नहीं हैं, बल्कि एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। इसे निर्धारक से भी जाँचा जा सकता है: \(5\times41-12\times17=1\ne0\)। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। / For the coefficients of the two equations, \(\frac{5}{12} \ne \frac{17}{41}\). Therefore, the lines are neither parallel nor coincident; they intersect at exactly one point, giving a unique solution. This can also be verified using the determinant: \(5\times41-12\times17=1\ne0\). Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), the pair of lines intersects at one point.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{b}{14}=\frac{16}{28}=\frac{4}{7}\), इसलिए \(b=8\)। साथ ही \(\frac{64}{131}\ne\frac{4}{7}\), अतः दोनों रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: “कोई हल नहीं” के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात बराबर करें और अचर पद का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{b}{14}=\frac{16}{28}=\frac{4}{7}\), so \(b=8\). Also, \(\frac{64}{131}\ne\frac{4}{7}\), confirming that the two lines are parallel and inconsistent. Exam tip: For “no solution,” first equate the ratios of the variable coefficients and then verify that the constant-term ratio is different.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल होने की शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{12}{3}=4\) और \(\frac{p}{5}\) हैं, इसलिए \(4\ne\frac{p}{5}\), अर्थात् \(p\ne20\)। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A में \(p=20\) होने पर \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=4\), जबकि \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{60}{16}\), इसलिए रेखाएँ समानांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए केवल पहले दो गुणांकों के अनुपात की समानता से बचना पर्याप्त है। / For two linear equations to have a unique solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{12}{3}=4\) and \(\frac{p}{5}\), so \(4\ne\frac{p}{5}\), which gives \(p\ne20\). Hence, option B is correct. If \(p=20\), then \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=4\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{60}{16}\), so the lines are parallel and there is no solution. Exam tip: For a unique solution, ensure that the ratios of the corresponding coefficients of the variables are unequal.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान हो। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना होना चाहिए: 26=2×13 और 104=2×52। इसलिए 18=2q, जिससे q=9 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂ जाँचें। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when the ratios of corresponding coefficients and constants are equal. Here, the second equation must be twice the first because 26=2×13 and 104=2×52. Therefore, 18=2q, giving q=9. Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, verify a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{14}{21}=\frac{42}{63}=\frac{2}{3}\), इसलिए \(\frac{k}{18}=\frac{2}{3}\), जिससे \(k=12\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा में अनंत हल के लिए दोनों अनुपातों की समानता के साथ तीसरे अनुपात की भी जाँच अवश्य करें; केवल गुणांकों का अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{14}{21}=\frac{42}{63}=\frac{2}{3}\), so \(\frac{k}{18}=\frac{2}{3}\), giving \(k=12\). Therefore, option C is correct. In an exam, check the constant-term ratio as well as the coefficient ratios; matching only the variable coefficients is not sufficient for infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{p}{20}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\), इसलिए \(p=6\)। साथ ही \(\frac{45}{103}\ne\frac{3}{10}\), अतः दोनों रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं तथा कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर करें, फिर स्थिर पदों का अनुपात जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{p}{20}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\), so \(p=6\). Also, \(\frac{45}{103}\ne\frac{3}{10}\), confirming that the lines are distinct and parallel. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients of x and y, then verify that the ratio of constants is different.
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\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) हैं, लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{360}{1090}\neq\frac{1}{3}\)। अतः रेखाएँ समानांतर और भिन्न होंगी, इसलिए कोई हल नहीं है तथा प्रणाली असंगत है। विकल्प B तभी सही होता जब तीनों अनुपात बराबर होते और अनंत हल मिलते। परीक्षा-टिप: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) होने पर प्रणाली असंगत होती है। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{360}{1090}\neq\frac{1}{3}\). Thus, the two lines are distinct and parallel, so they have no solution and the system is inconsistent. Option B would be correct only if all three ratios were equal, giving infinitely many solutions. Exam tip: When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), the system is inconsistent.
यहाँ
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}\) है। चूँकि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं, इसलिए इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा में इस अनुपात-शर्त को सीधे लागू करें। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}\). Since \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines are parallel and distinct, so the pair has no solution. In an exam, apply this ratio condition directly.
दोनों समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर गुणांकों का निर्धारक \(a_1b_2-a_2b_1=23\times5-11\times10=5\) प्राप्त होता है। यह शून्य नहीं है, इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और निकाय का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B तभी सही होता जब दोनों रेखाएँ संपाती होतीं, जबकि विकल्प A समानांतर रेखाओं के लिए होता। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / For the two equations, the determinant of the coefficients is \(a_1b_2-a_2b_1=23\times5-11\times10=5\). Since it is non-zero, the two lines intersect at exactly one point, so the pair has one unique solution. Option B would apply when the two lines coincide, while option A would apply to distinct parallel lines. Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations has a unique solution.
दोनों समीकरणों में
1/
2 = 20/4 = 5 और
2/
2 = (-15)/(-3) = 5 हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात 85/18 है, जो 5 के बराबर नहीं है। अतः रेखाओं के ढाल समान हैं, पर वे अलग-अलग रेखाएं हैं; इसलिए वे कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं और निकाय का कोई हल नहीं है। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए, जबकि अद्वितीय हल के लिए पहले दो अनुपात समान नहीं होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो कोई हल नहीं होता। / For the two equations, a₁/a₂ = 20/4 = 5 and b₁/b₂ = (-15)/(-3) = 5, but c₁/c₂ = 85/18, which is not 5. Thus, the two lines have equal slopes but different intercepts, so they are distinct parallel lines and never intersect. Therefore, the pair has no solution. Infinitely many solutions require all three ratios to be equal, while a unique solution requires the first two ratios to be unequal. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair is inconsistent and has no solution.
B. दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं/Both equations represent the same line
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: 2(16x+11y=73) से 32x+22y=146 प्राप्त होता है। अतः दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत समान हल होते हैं। अनुपात जाँचने पर भी \(16/32=11/22=73/146=1/2\) मिलता है। इसलिए रेखाओं के समान होने वाला विकल्प B सही है; समान अनुपात होने पर रेखाएं अलग-अलग समानांतर नहीं होतीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो रेखाएं संपाती होती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is exactly twice the first: multiplying 16x+11y=73 by 2 gives 32x+22y=146. Hence, both equations represent the same line and the pair has infinitely many common solutions. Equivalently, \(16/32=11/22=73/146=1/2\). Therefore, option B is correct; equal ratios indicate coincident lines, not distinct parallel lines. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the two lines coincide and the pair has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल न होने के लिए उनके गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(\frac{l}{18}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\), जिससे \(l=6\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(\frac{60}{181}\neq\frac{1}{3}\), क्योंकि \(180\neq181\); इसलिए दोनों रेखाएँ समांतर और भिन्न हैं। विकल्प 5 या 7 लेने पर गुणांकों के अनुपात समान नहीं होंगे और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा। परीक्षा-युक्ति: 'कोई हल नहीं' के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) याद रखें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of the variables must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, \(\frac{l}{18}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\), which gives \(l=6\). Also, \(\frac{60}{181}\neq\frac{1}{3}\), since \(180\neq181\); therefore, the two lines are distinct and parallel. If 5 or 7 were used, the coefficient ratios would not be equal, resulting in a unique solution. Exam tip: For no solution, remember \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\).
