यदि दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y+c_1=0\) तथा \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) हो, तो उनकी रेखाएँ कैसी होंगी और हलों की संख्या क्या होगी?

Correct Answer: B. संपाती रेखाएँ; अनंत हल / Coincident lines; infinitely many solutions. Explanation: जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब एक समीकरण दूसरे समीकरण का गुणज होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल होते हैं। समांतर भिन्न रेखाओं के लिए केवल \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होता है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: तीनों अनुपात बराबर हों, तो तुरंत ‘संपाती रेखाएँ—अनंत हल’ याद करें। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), one equation is a multiple of the other. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. For distinct parallel lines, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so option C is not correct. Exam tip: If all three ratios are equal, identify coincident lines with infinitely many solutions.