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solvability conditions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: 2(x-5y=1) से 2x-10y=2 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उस रेखा के प्रत्येक बिंदु पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। अतः इनके अनंत हल हैं। विकल्प A तब सही होता जब दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग होतीं। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो युग्म के अनंत हल होते हैं। / The second equation is exactly twice the first: multiplying x-5y=1 by 2 gives 2x-10y=2. Hence both equations represent the same line, and every point on that line satisfies both equations. Therefore, the pair has infinitely many solutions. Option A would apply if the two lines were distinct and parallel. Exam tip: when a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, the pair has infinitely many solutions.
पहले समीकरण के गुणांकों की तुलना करने पर \(10/2=5\) और \(5/1=5\), लेकिन नियतांकों का अनुपात \(30/7\) है, जो 5 के बराबर नहीं है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जिससे दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग होती हैं तथा कोई हल नहीं मिलता। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-परीक्षण को सीधे लगाकर हल-स्थिति शीघ्र निर्धारित करें। / Comparing the coefficients, \(10/2=5\) and \(5/1=5\), but the ratio of the constants is \(30/7\), which is not 5. Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are distinct and parallel and the pair has no solution. Infinitely many solutions would require all three ratios to be equal. Exam tip: Apply this ratio test directly to determine the solution status quickly.
A. पहला समीकरण दूसरे का 4 गुना है/The first equation is 4 times the second
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण के प्रत्येक पद को 4 से गुणा करने पर 4(2x-y)=4(3), अर्थात् 8x-4y=12 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि गुणक 2 नहीं बल्कि 4 है। परीक्षा-युक्ति: यदि एक समीकरण के सभी गुणांक और अचर पद दूसरे के समान अनुपात में हों, तो रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत हल मिलते हैं। / Multiplying every term of the second equation by 4 gives 4(2x-y)=4(3), or 8x-4y=12. Thus, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. Option B is incorrect because the multiplying factor is 4, not 2. Exam tip: when the coefficients and constant terms of one linear equation are in the same ratio as those of the other, the lines are coincident and the system has infinitely many solutions.
दोनों समीकरणों के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{3}\) हैं, लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\) है। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), जो असंगत युग्म और अलग समानांतर रेखाओं की शर्त है। अतः सही उत्तर C है। परीक्षा में याद रखें: यही अनुपात समान हों तो रेखाएं संपाती, और केवल पहले दो अनुपात समान हों तो रेखाएं समानांतर होती हैं। / For the two equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{3}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), which is the condition for an inconsistent pair represented by distinct parallel lines. Therefore, option C is correct. Exam tip: if all three ratios are equal, the lines are coincident; if only the first two are equal, they are distinct parallel lines.
दूसरे समीकरण के प्रत्येक पद को 3 से भाग देने पर पहला समीकरण प्राप्त होता है: 3x+6y=24 से x+2y=8। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और उनके अनंत अनेक समान हल होंगे। परीक्षा-युक्ति: यदि दोनों समीकरणों में x, y और नियतांक के गुणांकों का अनुपात समान हो, तो रेखाएं संपाती अर्थात् एक ही रेखा होती हैं; इसे अलग समानांतर रेखाओं से भ्रमित न करें। / Dividing every term of the second equation by 3 gives the first equation: 3x+6y=24 becomes x+2y=8. Hence both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Exam tip: when the ratios of the coefficients of x, y, and the constants are all equal, the lines are coincident, not distinct parallel lines.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{a}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए, जबकि \(\frac{5}{13}\ne\frac{1}{2}\)। इसलिए \(a=3\)। अन्य विकल्पों में गुणांकों का अनुपात समान नहीं होगा और समीकरणों का एकमात्र हल प्राप्त होगा। परीक्षा टिप: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात समान करें, फिर नियतांकों के अनुपात से उसकी तुलना करें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{a}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), while \(\frac{5}{13}\ne\frac{1}{2}\). Hence, \(a=3\). With the other options, the coefficient ratios are unequal, so the equations have a unique solution. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients of x and y, then compare that ratio with the constants.
C. एक बिंदु पर प्रतिच्छेदित रेखाएँ/Lines intersecting at exactly one point
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों का एक ही सामान्य हल होने का अर्थ है कि उनके संगत रेखाचित्रों में केवल एक साझा बिंदु है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदित होंगी। संपाती रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं, जबकि भिन्न समानांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: एक हल = प्रतिच्छेदी रेखाएँ, कोई हल नहीं = भिन्न समानांतर रेखाएँ, और अनंत हल = संपाती रेखाएँ। / Exactly one common solution means that the graphs of the two linear equations share only one point. Therefore, the lines intersect at exactly one point. Coincident lines have infinitely many common points, whereas distinct parallel lines have no common point. Exam tip: one solution means intersecting lines, no solution means distinct parallel lines, and infinitely many solutions mean coincident lines.
दो रेखाओं का केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना दर्शाता है कि युग्म का केवल एक अद्वितीय हल है। इसलिए यह संगत और स्वतंत्र युग्म होता है। असंगत युग्म की रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं, जबकि संगत और आश्रित युग्म में दोनों रेखाएं संपाती होती हैं तथा अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: एक प्रतिच्छेद बिंदु = एक अद्वितीय हल = संगत और स्वतंत्र। / When two lines intersect at exactly one point, the pair has one unique solution. Therefore, it is a consistent and independent pair. An inconsistent pair is represented by distinct parallel lines, whereas a consistent and dependent pair has coincident lines and infinitely many solutions. Exam tip: One intersection point = one unique solution = consistent and independent.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{6}=\frac{k}{8}\) होना चाहिए, इसलिए \(k=4\)। साथ ही \(\frac{9}{20}\neq\frac{1}{2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात बराबर करें और फिर नियतांकों का अनुपात जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{6}=\frac{k}{8}\), which gives \(k=4\). Also, \(\frac{9}{20}\neq\frac{1}{2}\), so the two lines are parallel and inconsistent. Exam tip: first equate the ratios of the variable coefficients, then check that the ratio of the constants is different.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{k}{4}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए, जिससे \(k=2\) प्राप्त होता है। तब पहला समीकरण \(2x+y=3\) है; इसे 2 से गुणा करने पर \(4x+2y=6\) मिलता है, जबकि दूसरा समीकरण \(4x+2y=8\) है। अतः दोनों रेखाएँ समान ढाल वाली लेकिन अलग हैं और कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात बराबर करें और फिर अचरों का अनुपात अलग जाँचें। / Two linear equations have no solution when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{k}{4}=\frac{1}{2}\), giving \(k=2\). The first equation then becomes \(2x+y=3\); multiplying it by 2 gives \(4x+2y=6\), whereas the second equation is \(4x+2y=8\). Thus, the two lines have the same slope but different intercepts, so they do not intersect and have no solution. Exam tip: equate the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\), then verify that the constants have a different ratio.
समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर पहले समीकरण के गुणांक \\(a_1=1,b_1=-1,c_1=-2\\) और दूसरे के \\(a_2=2,b_2=-2,c_2=-5\\) हैं। यहाँ \\(a_1/a_2=1/2\\) तथा \\(b_1/b_2=(-1)/(-2)=1/2\\), लेकिन \\(c_1/c_2=(-2)/(-5)=2/5\\) है। चूँकि \\(a_1/a_2=b_1/b_2\\) लेकिन \\(c_1/c_2\\) अलग है, इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग हैं; अतः कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति में गुणांकों के अनुपात में पहले दो बराबर और तीसरा अलग होता है। / Writing the equations in standard form gives \\(a_1=1,b_1=-1,c_1=-2\\) and \\(a_2=2,b_2=-2,c_2=-5\\). Thus, \\(a_1/a_2=1/2\\) and \\(b_1/b_2=(-1)/(-2)=1/2\\), but \\(c_1/c_2=(-2)/(-5)=2/5\\). Since \\(a_1/a_2=b_1/b_2\\) but \\(c_1/c_2\\) is different, the two lines are parallel and distinct, so they have no solution. Exam tip: for an inconsistent pair, the first two coefficient ratios are equal while the constant-term ratio is different.
A. वे एक बिंदु पर कटेंगी/They will intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों में गुणांकों का अनुपात जाँचते हैं। यहाँ 5/10 = 1/2, जबकि 2/3 अलग है। इसलिए a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, जिससे रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। समानांतर रेखाओं के लिए दोनों अनुपात बराबर होने चाहिए, जबकि संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होने पर रेखाएँ हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। / Compare the ratios of the corresponding coefficients. Here, 5/10 = 1/2, whereas 2/3 is different. Thus, a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, so the two lines intersect at exactly one point and the pair has a unique solution. Parallel lines require the first two coefficient ratios to be equal, while coincident lines require all three ratios to be equal. Exam tip: If a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, the lines intersect at one point.
पहले समीकरण में a₁=1 और b₁=3, जबकि दूसरे में a₂=2 और b₂=5 हैं। यहाँ \(a₁/a₂=1/2\) और \(b₁/b₂=3/5\) हैं, जो असमान हैं। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। वास्तव में हल \(x=-8, y=5\) है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a₁/a₂ \ne b₁/b₂\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होता है। / For the first equation, a₁=1 and b₁=3, while for the second equation, a₂=2 and b₂=5. Here, \(a₁/a₂=1/2\) and \(b₁/b₂=3/5\), so the ratios are unequal. Therefore, the two lines intersect at one point and the pair has a unique solution. In fact, the solution is \(x=-8, y=5\). Exam tip: If \(a₁/a₂ \ne b₁/b₂\), a pair of linear equations has a unique solution.
