Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
real-valued-functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-10x+24>0\) चाहिए। ((x-4)(x-6)>0) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-10x+24>0\) is required. From ((x-4)(x-6)>0), the outer intervals are obtained.
\(t=|x-1|\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+3}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=|x-1|\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+3}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left\(x-\frac{3}{2}\right\)2) का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) और न्यूनतम (0) मिलता है। / ((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left\(x-\frac{3}{2}\right\)2) has maximum \(\frac{49}{4}\). The square root gives maximum \(\frac{7}{2}\) and minimum (0).
वर्गमूल के लिए ((x+2)(5-x)\ge 0) चाहिए। यह गुणनफल \(-2\le x\le 5\) पर अनऋणात्मक है। / For the square root, ((x+2)(5-x)\ge 0) is required. This product is non-negative for \(-2\le x\le 5\).
हर ((x+3)2+4\ge 4) है, इसलिए अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator ((x+3)2+4\ge 4), so the maximum is \(\frac{1}{2}\). As the denominator grows, the value approaches (0) but never becomes (0).
लघुगणक के अंदर \(\frac{x+4}{x-1}>0\) होना चाहिए। संकेत जांच से (x<-4) या (x>1) मिलता है। / The logarithm input must satisfy \(\frac{x+4}{x-1}>0\). A sign check gives (x<-4) or (x>1).
(\sqrt{(x-2)2+9}\ge 3), इसलिए (f(x)\le 4)। (x) बड़ा होने पर मान नीचे असीम तक जाता है। / Since (\sqrt{(x-2)2+9}\ge 3), (f(x)\le 4). As (x) grows, the value goes down without bound.
\(y=\frac{5x-1}{x+2}\) से \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), इसलिए \(y\ne 5\)। रैखिक भिन्न फलन में हर शून्य करने वाला (y) परिसर से हटता है। / From \(y=\frac{5x-1}{x+2}\), \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), so \(y\ne 5\). In a linear fractional function, the (y) making the denominator zero is excluded.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) और \(x\ne -1\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<-1) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) and \(x\ne -1\). A sign chart gives (x<-1) or \(x\ge 3\).
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) must hold. In exams, take the intersection of all conditions.
A. प्रांत ( [-3,3] ), परिसर ( [0,3] )/Domain ( [-3,3] ), range ( [0,3] )
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{9-x^2}\) वास्तविक होने के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\) और \(f(x)\in[0,3]\)। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन में अंदर की राशि को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For \(\sqrt{9-x^2}\) to be real, \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\) and \(f(x)\in[0,3]\). In exams, always keep the expression inside a square root \(\ge 0\).
(x=20) शामिल है इसलिए output (0) शामिल है, और (x=4) खुला है इसलिए output (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में decreasing square-root expression में endpoints उलट जाते हैं। / Since (x=20) is included, output (0) is included, and since (x=4) is open, output (4) is not included. In exams endpoints reverse for a decreasing square-root expression.
(x=2) शामिल है इसलिए output (0) शामिल है, लेकिन (x=18) खुला है इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में endpoint की openness रेंज में भी देखें। / Since (x=2) is included, output (0) is included, but (x=18) is open, so (4) is not included. In exams track endpoint openness in the range.
ऊपर के वर्गमूल से \(x\le11\) और नीचे के वर्गमूल से (x+1>0) चाहिए। इसलिए \(-1<x\le11\) है। / The numerator square root gives \(x\le11\) and the denominator square root gives (x+1>0). Therefore \(-1<x\le11\).
ऊपर के वर्गमूल से \(x\ge2\) और नीचे के वर्गमूल से (8-x>0) चाहिए। इसलिए डोमेन ([2,8)) है। / The numerator square root gives \(x\ge2\) and the denominator square root gives (8-x>0). Hence the domain is ([2,8)).
शर्त \(\frac{x+5}{9-x}\ge0\) और \(x\ne9\) है। संकेत तालिका से ([-5,9)) सही डोमेन मिलता है। / The condition is \(\frac{x+5}{9-x}\ge0\) and \(x\ne9\). A sign table gives the correct domain ([-5,9)).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{6-x}{x+2}\ge0\) और \(x\ne-2\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-2,6]) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{6-x}{x+2}\ge0\) and \(x\ne-2\). A sign table gives ((-2,6]).
outputs (5,2,0,3) हैं और set में इन्हें ({0,2,3,5}) लिखा जाता है। परीक्षा में repeated या unordered values को set form में लिखें। / The outputs are (5,2,0,3), written as ({0,2,3,5}) in set form. In exams write repeated or unordered values in set form.
दिए inputs पर outputs (0,1,2,3) मिलते हैं। परीक्षा में set domain में केवल दिए गए elements का उपयोग करें। / For the given inputs, the outputs are (0,1,2,3). In exams use only the given elements in a set domain.
(f(-4)=8), (f(-2)=0), और (f(1)=3) हैं। परीक्षा में finite domain में हर input की image निकालें। / (f(-4)=8), (f(-2)=0), and (f(1)=3). In exams find the image of every input in a finite domain.
A. रेंज \([11,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([11,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([11,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain को अलग रखें। / In the notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([11,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-15\ge-15\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-15\ge-15\). In exams remember that the minimum value of the square function is (0).
(f(-10)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8) है। परीक्षा में वर्गमूल की principal value non-negative होती है। / (f(-10)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8). In exams the principal value of the square root is non-negative.
(f(0)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}) है। परीक्षा में denominator की sign पर ध्यान दें। / (f(0)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}). In exams pay attention to the sign of the denominator.
(f(-1)=(-1)2-5(-1)+2=8) है। परीक्षा में ऋणात्मक input के लिए brackets का प्रयोग करें। / (f(-1)=(-1)2-5(-1)+2=8). In exams use brackets for a negative input.
(|x-7|=11) से (x-7=11) या (x-7=-11) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण की दोनों शाखाएं लें। / (|x-7|=11) gives (x-7=11) or (x-7=-11). In exams take both branches of a modulus equation.
\(\sqrt{x+6}=4\) से (x+6=16), इसलिए (x=10)। परीक्षा में वर्ग करने के बाद उत्तर को मूल शर्त में जांचें। / \(\sqrt{x+6}=4\) gives (x+6=16), so (x=10). In exams check the answer in the original condition after squaring.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-16\) तब (0) होता है जब (x=-4) या (x=4)। परीक्षा में denominator को (0) बनाने वाली values हटाएं। / The denominator \(x^2-16\) becomes (0) when (x=-4) or (x=4). In exams remove values that make the denominator (0).
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([5,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([5,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2+25\ge25\), इसलिए (f(x)\ge5) और हर वास्तविक (x) स्वीकार्य है। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(x^2+25\ge25\), (f(x)\ge5) and every real (x) is allowed. In exams first check the minimum value inside.
