Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह समीकरण ((x-p)(x-q)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (p) और (q) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी शून्य गुणनफल नियम लगाएं। / The equation is equivalent to ((x-p)(x-q)=0), so the roots are (p) and (q). In exams, apply zero product rule to symbolic factors too.
(\(x-\sqrt{17}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{17}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{17}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{17}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
क्योंकि (17=\(\sqrt{17}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{17}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{17}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (17=\(\sqrt{17}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{17}x\), it is (\(x-\sqrt{17}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(12x-2+x-6=(3x-2)(4x+3)), इसलिए \(x=\frac{2}{3},-\frac{3}{4}\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (12x-2+x-6=(3x-2)(4x+3)), so \(x=\frac{2}{3},-\frac{3}{4}\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
दूसरा मूल (15) है, इसलिए \(q=10\times15=150\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (15), so \(q=10\times15=150\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
मूलों का योग (25) है, इसलिए दूसरा मूल (25-10=15) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का प्रयोग करें। / The sum of roots is (25), so the other root is (25-10=15). In exams, use the sum when one root is given.
पहले समीकरण के मूल \(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\) और दूसरे के मूल \(\frac{5}{2},\frac{4}{5}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें। / The first equation has roots \(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\), and the second has roots \(\frac{5}{2},\frac{4}{5}\). In exams, solve both equations separately for the common root.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (576-4m=0) से (m=144) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (576-4m=0) gives (m=144). In exams, equal roots indicate (D=0).
((x-2)2=\frac{43}{13}), इसलिए \(x=2\pm\sqrt{\frac{43}{13}}=2\pm\frac{\sqrt{559}}{13}\) है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाएं। / Since ((x-2)2=\frac{43}{13}), \(x=2\pm\sqrt{\frac{43}{13}}=2\pm\frac{\sqrt{559}}{13}\). In exams, rationalize the denominator.
पहले \(x^2-4x+\frac{9}{13}=0\) बनता है, फिर ((x-2)2=\frac{43}{13}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-4x+\frac{9}{13}=0\) is obtained, then ((x-2)2=\frac{43}{13}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+6}{7}=4\), इसलिए (p=22) है। परीक्षा में \(-\frac{b}{a}\) से योग निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+6}{7}=4\), so (p=22). In exams, use \(-\frac{b}{a}\) for the sum.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((k-5)2=k-2-36) और \(k=\frac{61}{10}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय स्थिर पद ध्यान से लें। / For equal roots, (D=0), so ((k-5)2=k-2-36) and \(k=\frac{61}{10}\). In exams, handle constant terms carefully while expanding squares.
(30x-2-61x+30=(5x-6)(6x-5)), इसलिए मूल \(\frac{6}{5}\) और \(\frac{5}{6}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों के हर को सही रखें। / (30x-2-61x+30=(5x-6)(6x-5)), so the roots are \(\frac{6}{5}\) and \(\frac{5}{6}\). In exams, keep the denominators of fractional roots correct.
यहां (ac=900) और (-36+(-25)=-61), इसलिए सही विभाजन (-36x-25x) है। परीक्षा में बड़ा (ac) हो तो भी योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Here (ac=900) and (-36+(-25)=-61), so the correct split is (-36x-25x). In exams, even for large (ac), match both sum and product.
(18x-2-45x+14=(3x-1)(6x-14)), इसलिए मूल \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{7}{3}\) हैं। परीक्षा में सामान्य गुणक हो तो अंतिम जाँच जरूर करें। / (18x-2-45x+14=(3x-1)(6x-14)), so the roots are \(\frac{1}{3}\) and \(\frac{7}{3}\). In exams, always check the final factors when a common factor appears.
पहले \(x^2+6x+\frac{5}{3}=0\) मिलता है, फिर (9) जोड़ने पर ((x+3)2=\frac{22}{3}) बनता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2+6x+\frac{5}{3}=0\) is obtained, then adding (9) gives ((x+3)2=\frac{22}{3}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
यहां (D=(-19)2-4(1)(56)=137), इसलिए \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-19)2-4(1)(56)=137), so \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
((x-6)(x-13)=x-2-19x+78), इसलिए \(x^2-19x+78=22\) से \(x^2-19x+56=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-6)(x-13)=x-2-19x+78), so \(x^2-19x+78=22\) gives \(x^2-19x+56=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
((x-6)=0) या ((x-13)=0), इसलिए (x=6) या (x=13) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-6)=0) or ((x-13)=0), so (x=6) or (x=13). In exams, set each factor equal to zero separately.
(D=4(k+6)2-4k-2=0) से ((k+6)2=k-2), इसलिए (12k+36=0) और (k=-3) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+6)2-4k-2=0) gives ((k+6)2=k-2), so (12k+36=0) and (k=-3). In exams, expand squares carefully.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=22\) और \(\alpha\beta=117\), इसलिए मान \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=22\) and \(\alpha\beta=117\), so the value is \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\). In exams, convert expressions into sum and product.
मूल (3,11) हैं, इसलिए नए मूल (8,16) होंगे और समीकरण ((x-8)(x-16)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (3,11), so new roots are (8,16), and the equation is ((x-8)(x-16)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
(6x-2-12x+17=6(x-1)2+11), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी मूलों की प्रकृति दिखती है। / (6x-2-12x+17=6(x-1)2+11), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of roots.
यहां (D=(-12)2-4(6)(17)=-264<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-12)2-4(6)(17)=-264<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
यहां (D=(-11)2-4(1)(6)=97), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-11)2-4(1)(6)=97), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=49\) और \(p=3r=\frac{21\sqrt{2}}{2}\) है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=49\) and \(p=3r=\frac{21\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=-24\), इसलिए मान (-240) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=-24\), so the value is (-240). In exams, factor the expression first.
\(x^2+12x=-8\) में (36) जोड़ने पर ((x+6)2=28) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (36) to \(x^2+12x=-8\) gives ((x+6)2=28). In exams, add the same number to both sides.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (196-4n>0) और (n<49) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (196-4n>0) and (n<49). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (196-4n<0) और (n>49) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (196-4n<0) and (n>49). In exams, connect (D<0) with no real roots.
