Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है इसलिए (a_n=(-1)^n n)। चिन्ह पैटर्न को अलग से देखें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=(-1)^n n). Check the sign pattern separately.
दिया है \(a_n=3^n-2\)। n=4 रखने पर \(a_4=3^4-2=81-2=79\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 79 है। 81 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह केवल \(3^4\) का मान है; उसमें से 2 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय पहले n का मान सूत्र में रखकर घात की गणना करें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / Given \(a_n=3^n-2\), substitute n=4: \(a_4=3^4-2=81-2=79\). Therefore, 79 is correct. The closest distractor, 81, is only the value of \(3^4\); 2 must still be subtracted. Exam tip: for an nth-term formula, substitute the given value of n first, evaluate powers, and then perform the remaining operations.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=n(n+1))। लगातार संख्याओं के गुणन को पहचानें। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\), so (a_n=n(n+1)). Recognize products of consecutive numbers.
दिया है \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(n=12\) रखने पर \(a_{12}=\frac{12(12+1)}{2}=\frac{12\times13}{2}=78\)। विकल्प 72 तब मिल सकता है जब \(n+1\) के स्थान पर गलती से 12 लिया जाए। परीक्षा टिप: पद का मान ज्ञात करते समय पहले सूत्र में सही \(n\) रखकर कोष्ठक हल करें। / Given \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=12\), \(a_{12}=\frac{12(12+1)}{2}=\frac{12\times13}{2}=78\). The value 72 may result from incorrectly using 12 in place of \(n+1\). Exam tip: substitute the given value of \(n\) carefully before simplifying the formula.
यह वर्गों की श्रेणी है और \(196=14^2\)। वर्ग श्रेणी में पद संख्या वर्गमूल से मिलती है। / This is a square sequence and \(196=14^2\). In a square sequence, the term number matches the square root.
\(a_9=108\) और \(a_4=28\), इसलिए अंतर (80) नहीं बल्कि (88) है। गुणन वाले नियम में ब्रैकेट ध्यान से खोलें। / \(a_9=108\) and \(a_4=28\), so the difference is (88), not (80). Open brackets carefully in product rules.
पद \(4+1,8+1,16+1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+1}+1\)। घात की शुरुआत पहचानना जरूरी है। / The terms are \(4+1,8+1,16+1,\ldots\), so \(a_n=2^{n+1}+1\). Identifying the starting power is important.
दिए गए पदों के क्रमिक अंतर 5, 7, 9, 11 हैं, जो प्रत्येक बार 2 से बढ़ते हैं; इसलिए पदों का नियम द्विघात रूप का होगा। \(n=1,2,3\) रखने पर \(n^2+2n\) से क्रमशः 3, 8, 15 प्राप्त होते हैं, अतः सही पद \(n^2+2n\) है। निकटतम विकल्प \(n^2+n+1\) के लिए \(n=2\) पर 7 मिलता है, 8 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दो या तीन पदों पर विकल्प रखकर जाँच करने से nवां पद जल्दी सत्यापित होता है। / The consecutive differences are 5, 7, 9, and 11, increasing by 2 each time, so the rule is quadratic. Substituting \(n=1,2,3\) in \(n^2+2n\) gives 3, 8, and 15 respectively; hence the nth term is \(n^2+2n\). The closest distractor, \(n^2+n+1\), gives 7 when \(n=2\), not 8. Exam tip: substitute the first two or three values of \(n\) to verify an nth-term formula quickly.
(n=6) सम है इसलिए ((-1)6=1), अतः \(a_6=15\)। वैकल्पिक चिन्ह में सम और विषम (n) अलग जांचें। / Since (n=6) is even, ((-1)6=1), so \(a_6=15\). For alternating signs, check whether (n) is even or odd.
\(a_{n+1}=7n+2\), इसलिए \(a_{n+1}-a_n=7\)। रैखिक नियम में अंतर गुणांक के बराबर होता है। / \(a_{n+1}=7n+2\), so \(a_{n+1}-a_n=7\). For a linear rule, the difference equals the coefficient of (n).
दिया है \(a_n=4n+1\)। \(a_{2m}\) ज्ञात करने के लिए \(n\) के स्थान पर पूरा \(2m\) रखेंगे: \(a_{2m}=4(2m)+1=8m+1\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(4m+1\) तब मिलता जब सूचकांक \(m\) होता, \(2m\) नहीं। परीक्षा टिप: सूचकांक में जो भी व्यंजक हो, उसे सूत्र में कोष्ठक सहित प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=4n+1\), substitute the complete index \(2m\) for \(n\): \(a_{2m}=4(2m)+1=8m+1\). Hence, option A is correct. \(4m+1\) would be obtained for the index \(m\), not \(2m\). Exam tip: Always substitute a compound index in brackets.
पहला पद (10) और अंतर (-3) है इसलिए (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (10) and the difference is (-3), so (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n). A decreasing sequence has a negative difference.
\(a_5=32\) और \(a_6=44\), अतः योग (76) नहीं बल्कि (78) है। गणना के बाद विकल्पों से मिलान करें। / \(a_5=32\) and \(a_6=44\), so the sum is (78), not (76). Check your calculation with the options.
दिए गए पद क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\) हैं। पहला पद \(n=1\) पर \(2^2\) है, इसलिए \(n\)वां पद \((n+1)^2\) होगा। \(n^2+1\) दूसरा पद देने पर \(5\) देता है, जबकि वास्तविक दूसरा पद \(9\) है। परीक्षा टिप: सूत्र जाँचने के लिए उसमें \(n=1\) और \(n=2\) रखकर प्रारम्भिक पदों से मिलान करें। / The terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\). Since the first term corresponds to \(n=1\) and is \(2^2\), the \(n\)th term is \((n+1)^2\). The expression \(n^2+1\) gives \(5\) for the second term, whereas the actual second term is \(9\). Exam tip: test a proposed formula by substituting \(n=1\) and \(n=2\).
दिया है
\(a_n=2n^2+3n-4\)। अतः
\(a_{10}=2(10)^2+3(10)-4=226\) और
\(a_7=2(7)^2+3(7)-4=115\)। इसलिए
\(a_{10}-a_7=226-115=111\)। विकल्प 118 तब मिल सकता है जब घात वाले पद की गणना में त्रुटि हो। परीक्षा में पहले दोनों पद अलग-अलग निकालकर फिर घटाएँ। / Given
\(a_n=2n^2+3n-4\). Thus,
\(a_{10}=2(10)^2+3(10)-4=226\) and
\(a_7=2(7)^2+3(7)-4=115\). Therefore,
\(a_{10}-a_7=226-115=111\). A value such as 118 can result from an error while evaluating the squared term. In an exam, calculate the two terms separately before subtracting.
हर बार गुणन (2) हो रहा है इसलिए \(a_n=6\cdot2^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) याद रखें। / Each term is multiplied by (2), so \(a_n=6\cdot2^{n-1}\). In a geometric sequence, remember the exponent (n-1).
दिया है कि kवाँ पद 47 है। इसलिए सूत्र में n के स्थान पर k रखने पर \(5k-3=47\) मिलेगा। अतः \(5k=50\), इसलिए \(k=10\)। विकल्प 9 लेने पर पद \(5\times9-3=42\) होता है, जो 47 नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के सूत्र के बराबर रखकर n के लिए हल करें। / The kth term is given as 47. Substitute k for n in the formula: \(5k-3=47\). Thus, \(5k=50\), so \(k=10\). If 9 is used, the term is \(5\times9-3=42\), not 47. Exam tip: To find a term number, equate the nth-term formula to the given term value and solve for n.
क्रमागत पदों के अंतर \(5,7,9,11\) हैं, जो 2 से बढ़ते हैं; इसलिए पदों का नियम द्विघात होगा। \(a_n=n^2+2n-1\) रखने पर \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\) और \(a_4=23\) मिलते हैं। विकल्प \(n^2+1\) में पहला पद 2 तो मिलता है, लेकिन दूसरा पद 5 आता है, 7 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों पर जाँचें। / The consecutive differences are \(5,7,9,11\), increasing by 2, so the rule is quadratic. Using \(a_n=n^2+2n-1\) gives \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\), and \(a_4=23\). Although \(n^2+1\) gives the first term as 2, it gives the second term as 5, not 7. Exam tip: test an nth-term formula with at least the first two or three terms.
दिया है कि \(a_n=3n^2-2n+5\)। अतः \(n=8\) रखने पर \(a_8=3(8)^2-2(8)+5=3\times64-16+5=181\) होता है। इसलिए सही उत्तर 181 है। 189 प्राप्त करना प्रायः \(8^2\) या घटाव के चरण में त्रुटि करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: घात वाले पद का मान पहले निकालें, फिर गुणा, घटाव और जोड़ करें। / Given \(a_n=3n^2-2n+5\), substitute \(n=8\): \(a_8=3(8)^2-2(8)+5=3\times64-16+5=181\). Therefore, 181 is correct. A value such as 189 can result from an error while evaluating \(8^2\) or performing the subtraction. Exam tip: evaluate the power first, then multiply, subtract, and add.
अंतर (4) है इसलिए (a_n=7+(n-1)4=4n+3)। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग लिखें। / The difference is (4), so (a_n=7+(n-1)4=4n+3). In exams, write the first term and common difference first.
अंतर (3,4,5) बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर (6) और पाँचवाँ पद (20) है। परीक्षा में बदलते अंतर को क्रम से देखें। / The differences (3,4,5) are increasing, so the next difference is (6) and the fifth term is (20). In exams, observe changing differences in order.
चौथे पद के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=\frac{4(4+3)}{2}=\frac{4\times7}{2}=14\)। अतः सही उत्तर 14 है। 16 तब मिलता यदि \(4+3\) के स्थान पर गलती से 8 लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले \(n\) का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें, फिर क्रम से गणना करें। / For the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{4(4+3)}{2}=\frac{4\times7}{2}=14\). Therefore, the correct answer is 14. A value such as 16 can result from incorrectly evaluating \(4+3\). Exam tip: in an nth-term formula, substitute the given value of \(n\) first and then simplify step by step.
\(a_n=3n^2+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,14,29,50\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह दिया गया अनुक्रम बनाता है। \(a_n=n^2+4\) का पहला पद 5 तो है, पर दूसरा पद 8 होगा, 14 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों पर जाँचें। / For \(a_n=3n^2+2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(5,14,29,50\), respectively. Hence, it generates the given sequence. Although \(a_n=n^2+4\) gives the first term as 5, its second term is 8, not 14. Exam tip: test an nth-term formula using at least the first two or three terms.
क्रमागत पदों के अंतर \(6,10,14\) हैं, जिनके अंतर \(4\) हैं। इसलिए पद द्विघात रूप में होने चाहिए। \(a_n=2n^2-1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(1,7,17,31\) प्राप्त होते हैं, अतः विकल्प A सही है। निकटतम विकल्प \(2n^2+1\) के लिए पहला पद \(3\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: किसी सूत्र को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The successive differences are \(6,10,14\), whose differences are constant at \(4\). Hence, the terms should follow a quadratic expression. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2-1\) gives \(1,7,17,31\), so option A is correct. The closest distractor, \(2n^2+1\), gives \(3\) as its first term and is therefore incorrect. Exam tip: test a proposed formula using at least the first three terms.
पदों को क्रमशः \(5\times1^2,\;5\times2^2,\;5\times3^2,\;5\times4^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=5n^2\) होगा। विकल्प \(5n\) से केवल \(5,10,15,20\) मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गों के गुणज वाला अनुक्रम दिखे तो पहले \(n^2\) के रूप में पद जाँचें। / The terms can be written as \(5\times1^2,\;5\times2^2,\;5\times3^2,\;5\times4^2\). Hence, the \(n\)th term is \(a_n=5n^2\). The option \(5n\) gives \(5,10,15,20\), so it does not match the sequence. Exam tip: when terms are multiples of square numbers, first test a form involving \(n^2\).
\(a_n=n^2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः 1, 4, 9, 16 मिलते हैं, जो वर्ग संख्याएँ हैं। \(n^3\) से 1, 8, 27 मिलेंगे। परीक्षा में शुरुआती पद जाँचें। / For \(a_n=n^2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives 1, 4, 9, 16, which are square numbers. \(n^3\) gives 1, 8, 27 instead. In exams, verify a rule using the first few terms.
यहाँ \(a_n=16n\) है और (16n=112) से (n=7) है। परीक्षा में गुणज पहचानकर पद संख्या निकालें। / Here \(a_n=16n\), and (16n=112) gives (n=7). In exams, identify the multiple and find the term number.
इसका नियम (a_n=\frac{n(n+1)}{2}) है और \(a_6=21\) है। परीक्षा में त्रिभुज संख्या का पैटर्न पहचानें। / Its rule is (a_n=\frac{n(n+1)}{2}), and \(a_6=21\). In exams, recognize the triangular-number pattern.
\(a_6=\frac{6\times7}{2}=21\) है। परीक्षा में पहले (n) का मान रखकर भिन्न सरल करें। / \(a_6=\frac{6\times7}{2}=21\). In exams, substitute the value of (n) first and simplify the fraction.
दिया गया अनुक्रम 3, 7, 13, 21 है। \(a_n=n^2+n+1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,7,13,21\) प्राप्त होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प \(a_n=3n+1\) से पहले दो पद 4 और 7 मिलते हैं, अतः वह अनुक्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा में नियम जाँचने के लिए \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर कम-से-कम दो पद अवश्य मिलाएँ। / For the given sequence, substitute \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+n+1\). This gives \(3,7,13,21\), so option A is correct. The close distractor \(a_n=3n+1\) gives 4 as its first term, not 3. Exam tip: test a proposed nth-term formula with at least the first two values of \(n\).
