Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दूसरे अंतर समान (4) हैं और पद \(2n^2+n+1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर से द्विघात नियम का संकेत मिलता है। / The second differences are (4), and the terms match \(2n^2+n+1\). Equal second differences suggest a quadratic rule.
\(a_3=4\) और \(a_8=34\), इसलिए योग (38) नहीं बल्कि सही गणना (38) है। विकल्पों को देखकर गणना दोबारा जांचें। / \(a_3=4\) and \(a_8=34\), so the correct sum is (38). Recheck calculation if options seem close.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_8=3\cdot3^7=3^8=6561\)। घात की गणना में पद संख्या ध्यान से रखें। / This is a geometric sequence and \(a_8=3\cdot3^7=3^8=6561\). Be careful with the term number while using powers.
दिया है \(a_n=7n-4\)। \(a_{3m}\) ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n\) के स्थान पर \(3m\) रखें: \(a_{3m}=7(3m)-4=21m-4\)। इसलिए सही उत्तर \(21m-4\) है। \(21m-12\) तब मिलता यदि \(-4\) को भी 3 से गुणा कर दिया जाता, जो गलत है। परीक्षा टिप: सूचकांक बदलने पर केवल \(n\) के स्थान पर नया मान रखें; स्थिर पद को बिना कारण न बदलें। / Given \(a_n=7n-4\), substitute \(3m\) for \(n\): \(a_{3m}=7(3m)-4=21m-4\). Hence, the correct answer is \(21m-4\). The expression \(21m-12\) incorrectly multiplies the constant \(-4\) by 3. Exam tip: when the index changes, replace only \(n\) throughout the formula and do not alter a constant term unnecessarily.
दिए गए पद \(n^2+2n+2\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में पहले कुछ पदों पर विकल्प जांचें। / The given terms match \(n^2+2n+2\). In a quadratic pattern, test the options using the first few terms.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=4\), इसलिए \(a_n=6n-2\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=4\), so \(a_n=6n-2\). When two terms are given, find the common difference first.
सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए n=7 रखें: a_7=4(7)2-3(7)+2=4×49-21+2=196-21+2=177। अतः सही उत्तर 177 है। 181 प्राप्त करने में प्रायः घटाव या जोड़ में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजक में पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा तथा जोड़-घटाव करें। / To find the seventh term, substitute n=7: a_7=4(7)2-3(7)+2=4×49-21+2=196-21+2=177. Therefore, 177 is the correct answer. A value such as 181 usually results from an error in subtraction or addition. Exam tip: evaluate the power first, then perform multiplication and addition/subtraction.
पहला पद (9) और अंतर (7) है इसलिए (a_n=9+(n-1)7=7n+2)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (9) and the difference is (7), so (a_n=9+(n-1)7=7n+2). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
पद (12+4(1)+1,22+4(2)+1,\ldots) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचना अच्छा तरीका है। / The terms match (12+4(1)+1,22+4(2)+1,\ldots). Testing options on the first three terms is a good method.
आठवाँ पद ज्ञात करने के लिए n=8 रखें: a_8=3(8)2+8-2=3×64+8-2=192+8-2=198। इसलिए सही उत्तर 198 है। 202 तब मिल सकता है जब अंतिम −2 को गलती से जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: घात वाले पद में पहले 8 का वर्ग निकालें, फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / To find the eighth term, substitute n=8: a_8=3(8)2+8-2=3×64+8-2=192+8-2=198. Hence, 198 is correct. A value of 202 may result from incorrectly adding the final −2. Exam tip: evaluate the power first, then multiply, add, and subtract in order.
पदों को क्रमशः देखें: \(0=1^2-1\), \(3=2^2-1\), \(8=3^2-1\), \(15=4^2-1\) और \(24=5^2-1\)। अतः श्रेणी का \(n\)वां पद \(a_n=n^2-1\) है। \(n^2+n\) के लिए पहला पद 2 होगा, इसलिए वह इस श्रेणी के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n=1\) और \(n=2\) रखकर पहले दो पद अवश्य जाँचें। / Observe the terms in order: \(0=1^2-1\), \(3=2^2-1\), \(8=3^2-1\), \(15=4^2-1\), and \(24=5^2-1\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=n^2-1\). For \(n^2+n\), the first term would be 2, so it does not match this sequence. Exam tip: substitute \(n=1\) and \(n=2\) to verify a proposed nth-term formula quickly.
दिया है \(a_n=2n^2-3n+4\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=2(n+1)^2-3(n+1)+4=2n^2+n+3\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(2n^2+n+3)-(2n^2-3n+4)=4n-1\)। विकल्प \(4n+1\) में स्थिर पदों का घटाव गलत होने की संभावना रहती है। परीक्षा टिप: पहले \(a_{n+1}\) अलग से लिखकर फिर \(a_n\) घटाएँ। / Given \(a_n=2n^2-3n+4\), replace \(n\) by \(n+1\): \(a_{n+1}=2(n+1)^2-3(n+1)+4=2n^2+n+3\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(2n^2+n+3)-(2n^2-3n+4)=4n-1\). The option \(4n+1\) can result from an error while subtracting the constant terms. Exam tip: write \(a_{n+1}\) separately before subtracting \(a_n\).
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है इसलिए \(a_n=12\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रखें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), so \(a_n=12\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Keep the first term separate in a geometric sequence.
127वाँ मान पाने के लिए
\(5n^2+2=127\) रखें। इससे \(5n^2=125\), अतः \(n^2=25\) और \(n=5\) मिलता है। पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए 5वाँ पद सही है। 4वाँ पद \(5\times4^2+2=82\) होगा, 127 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / To obtain the value 127, set \(5n^2+2=127\). This gives \(5n^2=125\), so \(n^2=25\) and \(n=5\). Since a term number is a positive integer, the correct answer is the 5th term. The 4th term is \(5\times4^2+2=82\), not 127. Exam tip: equate the given value to \(a_n\) first, then solve for \(n\).
दो पदों की संख्या में अंतर (2) है और सामान्य अंतर (8), इसलिए अंतर (16) है। रैखिक पद में (d) का उपयोग करके समय बचाएं। / The term numbers differ by (2) and the common difference is (8), so the difference is (16). Use (d) in linear terms to save time.
पद \(2^1-1,2^2-1,2^3-1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n-1\)। दोगुना होकर एक कम पैटर्न पहचानें। / The terms are \(2^1-1,2^2-1,2^3-1,\ldots\), so \(a_n=2^n-1\). Recognize the double-minus-one pattern.
\(a_6=a_1+5d\) से \(a_1=11\), अतः (a_n=11+(n-1)4=4n+7)। किसी मध्य पद से पहला पद निकालें। / From \(a_6=a_1+5d\), \(a_1=11\), hence (a_n=11+(n-1)4=4n+7). Use a middle term to find the first term.
\(a_{n+3}=3n+11\), इसलिए अंतर (9) है। सूचकांक में (3) की वृद्धि हो तो अंतर (3d) होता है। / \(a_{n+3}=3n+11\), so the difference is (9). If the index increases by (3), the difference is (3d).
श्रृंखला के पदों को देखें: \(2=1^2+1\), \(5=2^2+1\), \(10=3^2+1\), \(17=4^2+1\) और \(26=5^2+1\)। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=n^2+1\) है। \(n^2+2\) में पहला पद 3 आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पदों को क्रमशः \(1,2,3,\ldots\) के वर्गों से मिलाकर जाँचें। / Observe that \(2=1^2+1\), \(5=2^2+1\), \(10=3^2+1\), \(17=4^2+1\), and \(26=5^2+1\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=n^2+1\). The close distractor \(n^2+2\) gives 3 as its first term, so it does not fit. Exam tip: match the terms with squares of \(1,2,3,\ldots\) to identify a quadratic pattern quickly.
n=4 रखने पर, a_4=6(4)2-6(4)+1=6×16-24+1=96-24+1=73। इसलिए सही उत्तर 73 है। 72 तब मिल सकता है जब अंतिम +1 को छोड़ दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान पूरे व्यंजक में रखें और फिर क्रम से गणना करें। / Putting n=4, a_4=6(4)2-6(4)+1=6×16-24+1=96-24+1=73. Therefore, the correct answer is 73. The value 72 may result from omitting the final +1, which is incorrect. Exam tip: Substitute the value of n in every term first, then simplify in order.
दिया है: \(a_n=n^3-n\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए n=5 रखें: \(a_5=5^3-5=125-5=120\)। इसलिए सही उत्तर 120 है। 125 केवल \(5^3\) का मान है; उसमें से 5 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय सूत्र में n का मान हर स्थान पर सावधानी से रखें। / Given \(a_n=n^3-n\), substitute n=5 to find the fifth term: \(a_5=5^3-5=125-5=120\). Hence, the correct answer is 120. The value 125 is only \(5^3\); the subtraction of 5 must also be included. Exam tip: while finding an nth term, substitute the value of n in every part of the formula.
(15-2n=0) से \(n=\frac{15}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है। पद संख्या हमेशा धन पूर्णांक होनी चाहिए। / From (15-2n=0), \(n=\frac{15}{2}\), which is not an integer. A term number must be a positive integer.
दूसरे अंतर समान (2) हैं और पद \(n^2+3n\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर से द्विघात नियम का संकेत मिलता है। / The second differences are (2), and the terms match \(n^2+3n\). Equal second differences suggest a quadratic rule.
दिया है कि \(a_n=2n^2+n\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=2(6)^2+6=2\times36+6=78\) प्राप्त होता है। विकल्प 72 में रैखिक पद \(+6\) को जोड़ने की गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=2n^2+n\). Substituting \(n=6\), \(a_6=2(6)^2+6=2\times36+6=78\). The option 72 can result from forgetting to add the linear term \(+6\). Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate the exponent carefully.
\(a_2=2\) और \(a_5=11\) नहीं, सही गणना \(a_5=11\) देती है इसलिए योग (13) होगा। विकल्पों में सही मान नहीं है। / \(a_2=2\) and \(a_5=11\), so the sum is (13). The listed options do not contain the correct value.
पद \(2^3,3^3,4^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+1)3)। घन श्रेणी में आरंभिक संख्या पहचानें। / The terms are \(2^3,3^3,4^3,\ldots\), so (a_n=(n+1)3). In cube sequences, identify the starting number.
दिया है कि \(a_n=10n+4\)। \(a_{r+2}\) ज्ञात करने के लिए \(n\) के स्थान पर \(r+2\) रखें: \(a_{r+2}=10(r+2)+4=10r+20+4=10r+24\)। इसलिए सही विकल्प \(10r+24\) है। विकल्प \(10r+14\) में \(10\times 2=20\) को गलत जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: सूचकांक में दिया गया पूरा व्यंजक \(n\) के स्थान पर कोष्ठक में रखें। / Given \(a_n=10n+4\), substitute \(n=r+2\): \(a_{r+2}=10(r+2)+4=10r+20+4=10r+24\). Hence, \(10r+24\) is correct. In \(10r+14\), the product \(10\times2=20\) has been handled incorrectly. Exam tip: always substitute the complete index expression in brackets.
पहले पांच पद (1,3,5,7,9) हैं और उनका योग (25) है। पहले पद लिखना छोटे योग में अच्छा तरीका है। / The first five terms are (1,3,5,7,9), and their sum is (25). Listing terms is a good method for small sums.
पहला पद (11) और अंतर (7) है, इसलिए \(a_{25}=11+24\cdot7=179\)। (25)वें पद में (24) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (11) and the difference is (7), so \(a_{25}=11+24\cdot7=179\). The (25)th term includes (24) differences.
दिया है कि
\(a_n=4n^2-1\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4(5)^2-1=4\times25-1=99\)। अतः सही उत्तर 99 है। 101 तब मिलता यदि अंतिम \(-1\) को गलती से \(+1\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=4n^2-1\), substitute \(n=5\) to find the fifth term: \(a_5=4(5)^2-1=4\times25-1=99\). Therefore, 99 is correct. The value 101 would result from incorrectly using \(+1\) instead of the final \(-1\). Exam tip: substitute the term number first and evaluate the exponent before other operations.
