Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर पद पिछले का आधा है इसलिए \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is half of the previous one, so \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
\(a_n=5n+12\) में (n) का गुणांक (5) है, इसलिए सामान्य अंतर (5) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=5n+12\), the coefficient of (n) is (5), so the common difference is (5). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
(n(n-2)=48) में (n=8) रखने पर \(8\cdot6=48\)। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका हो सकता है। / In (n(n-2)=48), putting (n=8) gives \(8\cdot6=48\). Directly testing options can be a quick method.
पद \(2+2,4+2,8+2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n+2\)। घातीय पैटर्न में स्थिर जोड़ को पहचानें। / The terms are \(2+2,4+2,8+2,\ldots\), so \(a_n=2^n+2\). In exponential patterns, identify the constant addition.
दूसरे अंतर (4) हैं और \(2n^2+4n+3\) सभी शुरुआती पद देता है। दूसरे अंतर आधे से \(n^2\) का गुणांक मिलता है। / The second differences are (4), and \(2n^2+4n+3\) gives all starting terms. Half of the second difference gives the coefficient of \(n^2\).
पद \(5\cdot1^2,5\cdot2^2,5\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=5n^2\)। गुणांक वाले वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(5\cdot1^2,5\cdot2^2,5\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=5n^2\). Recognize the square pattern with a coefficient.
पहला पद (12) और अंतर (13) है, इसलिए \(a_{30}=12+29\cdot13=389\)। (30)वें पद में (29) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (12) and the difference is (13), so \(a_{30}=12+29\cdot13=389\). The (30)th term includes (29) differences.
दिया है: \(a_n=3n^2-7n+6\)। अतः \(a_2=3(2)^2-7(2)+6=12-14+6=4\) और \(a_9=3(9)^2-7(9)+6=243-63+6=186\)। इसलिए दोनों पदों का अंतर \(186-4=182\) है। 180 जैसे विकल्प में गणना या घटाव की छोटी त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान सावधानी से रखकर पहले अलग-अलग पद ज्ञात करें। / Given \(a_n=3n^2-7n+6\), \(a_2=3(2)^2-7(2)+6=12-14+6=4\), while \(a_9=3(9)^2-7(9)+6=243-63+6=186\). Therefore, the difference is \(186-4=182\). A value such as 180 can result from a small calculation or subtraction error. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before finding the difference.
हर पद आधा हो रहा है इसलिए \(a_n=18\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so \(a_n=18\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
87 के लिए
\(a_n=87\) रखें: \(n^2+6=87\)। अतः \(n^2=81\), इसलिए \(n=9\), क्योंकि पद संख्या धन पूर्णांक होती है। इसलिए 87, अनुक्रम का 9वाँ पद है। 8वाँ पद \(8^2+6=70\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n\) को उस दिए गए मान के बराबर रखें और फिर \(n\) हल करें। / To find the position of 87, set \(a_n=87\): \(n^2+6=87\). Thus, \(n^2=81\), giving \(n=9\), since a term number must be a positive integer. Hence, 87 is the 9th term of the sequence. The 8th term is \(8^2+6=70\), so it is not correct. Exam tip: To find which term has a given value, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है, इसलिए (a_n=2(-1)^n n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=2(-1)^n n). In alternating signs, test first at (n=1).
\(n=6\) रखने पर \(a_6=5\cdot2^{6-1}+1=5\cdot2^5+1=5\cdot32+1=161\)। अतः सही उत्तर 161 है। विकल्प 160 तब मिलता है, जब अंतिम \(+1\) को गलती से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: पहले घात \(n-1\) में \(n\) का मान रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Putting \(n=6\), \(a_6=5\cdot2^{6-1}+1=5\cdot2^5+1=5\cdot32+1=161\). Therefore, 161 is correct. Option 160 would result from incorrectly omitting the final \(+1\). Exam tip: Substitute the value of \(n\) into the exponent \(n-1\) first, then calculate step by step.
क्रमागत अंतर \(7,11,15,19\) हैं, जिनके अंतर \(4\) हैं। इसलिए पदों का नियम द्विघात रूप का होगा। \(a_n=2n^2+n\) रखने पर \(a_1=3\), \(a_2=10\), \(a_3=21\) और \(a_4=36\) मिलता है। विकल्प \(2n^2+n-1\) निकट है, लेकिन उससे पहला पद \(2\) आएगा, \(3\) नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर होने पर \(n^2\) वाला नियम जाँचें। / The successive differences are \(7,11,15,19\), and their second differences are constant at \(4\). Hence the sequence has a quadratic nth-term rule. With \(a_n=2n^2+n\), we get \(a_1=3\), \(a_2=10\), \(a_3=21\), and \(a_4=36\). The close distractor \(2n^2+n-1\) gives the first term as \(2\), not \(3\). Exam tip: a constant second difference usually indicates an \(n^2\)-based rule.
सूत्र \(a_n=\frac{n(n+3)}{2}\) में \(n=9\) रखने पर \(a_9=\frac{9(9+3)}{2}=\frac{9\times12}{2}=54\) मिलता है। अतः सही उत्तर 54 है। 48 जैसा मान \(9+3\) या गुणा में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद कोष्ठक के भीतर की गणना पहले करें। / Substitute \(n=9\) in \(a_n=\frac{n(n+3)}{2}\): \(a_9=\frac{9(9+3)}{2}=\frac{9\times12}{2}=54\). Therefore, 54 is correct. A value such as 48 may result from an error in evaluating \(9+3\) or in multiplication. Exam tip: after substituting \(n\), simplify the expression inside brackets first.
पद \(n^2+3n-4\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (0) और (n=2) पर (6) नहीं बल्कि सावधानी से जांचना होगा। सही नियम के लिए सभी शुरुआती पद मिलाएं। / The terms should be matched carefully with the option. Test all starting terms before finalizing the rule.
(9d=45) से (d=5), इसलिए \(a_{20}=59+8\cdot5=99\)। दूर के पद को निकट दिए पद से निकालना आसान होता है। / From (9d=45), (d=5), so \(a_{20}=59+8\cdot5=99\). It is easier to find a far term from a nearby given term.
हर बार गुणन (4) हो रहा है इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
सूचकांक (4) बढ़ा है और सामान्य अंतर (6) है इसलिए अंतर (24) होगा। रैखिक नियम में गुणांक सामान्य अंतर होता है। / The index increases by (4) and the common difference is (6), so the difference is (24). In a linear rule, the coefficient is the common difference.
यह घनों की श्रेणी है और \(512=8^3\), इसलिए यह (8)वां पद है। घन श्रेणी में पद संख्या घनमूल से मिलती है। / This is a cube sequence and \(512=8^3\), so it is the (8)th term. In a cube sequence, the term number matches the cube root.
\(a_4=-1\) और \(a_9=-16\), इसलिए योग (-17) है। ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय चिन्ह ध्यान से रखें। / \(a_4=-1\) and \(a_9=-16\), so the sum is (-17). Keep signs in mind when adding negative numbers.
पद \(2\cdot1^2,2\cdot2^2,2\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2n^2\)। वर्ग पैटर्न को गुणांक के साथ पहचानें। / The terms are \(2\cdot1^2,2\cdot2^2,2\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=2n^2\). Recognize the square pattern with its coefficient.
हर पद में \(\frac{5}{3}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{5n}{3}\)। भिन्नों को समान हर में देखकर पैटर्न पहचानें। / Each term increases by \(\frac{5}{3}\), so \(a_n=\frac{5n}{3}\). Identify the pattern by using a common denominator.
पद \(n^2+5n+4\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (10) और (n=2) पर (18) आता है। विकल्प को पहले दो पदों पर जरूर जांचें। / The terms match \(n^2+5n+4\), giving (10) for (n=1) and (18) for (n=2). Always test the option on the first two terms.
पहला पद (20) और अंतर (-3) है इसलिए (a_n=20+(n-1)(-3)=23-3n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (20) and the difference is (-3), so (a_n=20+(n-1)(-3)=23-3n). Take the difference as negative in a decreasing sequence.
दिया है \(a_n=5n^2-2n+1\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=5(n+1)^2-2(n+1)+1=5n^2+8n+4\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(5n^2+8n+4)-(5n^2-2n+1)=10n+3\)। विकल्प \(10n-2\) में \((n+1)^2\) का प्रसार करते समय आने वाला \(10n\) पद छूट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(a_{n+1}\) अलग से लिखकर फिर घटाएँ। / Given \(a_n=5n^2-2n+1\), substitute \(n+1\) for \(n\): \(a_{n+1}=5(n+1)^2-2(n+1)+1=5n^2+8n+4\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(5n^2+8n+4)-(5n^2-2n+1)=10n+3\). The distractor \(10n-2\) results from missing the \(10n\) term produced while expanding \((n+1)^2\). Exam tip: write \(a_{n+1}\) separately before subtracting \(a_n\).
क्रमागत पदों के अंतर \(5,9,13,17\) हैं, जिनके अंतर \(4\) हैं। अतः पदों का सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=n(2n-1)=2n^2-n\) रखने पर \(a_1=1\), \(a_2=6\), \(a_3=15\), \(a_4=28\) और \(a_5=45\) मिलते हैं। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर \(3\) मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर हो तो सामान्य पद प्रायः \(n\) का द्विघात व्यंजक होता है। / The successive differences are \(5,9,13,17\), and their differences are constantly \(4\). Hence the nth term should be a quadratic expression in \(n\). With \(a_n=n(2n-1)=2n^2-n\), we get \(a_1=1\), \(a_2=6\), \(a_3=15\), \(a_4=28\), and \(a_5=45\). Therefore, option D is correct. Option C gives \(3\) when \(n=1\), so it cannot represent the sequence. Exam tip: a constant second difference usually indicates a quadratic nth-term formula.
पद \(8-1,16-1,32-1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+2}-1\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(8-1,16-1,32-1,\ldots\), so \(a_n=2^{n+2}-1\). In exponential patterns, identify the starting power.
\(a_8=a_1+7d\) से \(a_1=6\), इसलिए (a_n=6+(n-1)5=5n+1)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_8=a_1+7d\), \(a_1=6\), so (a_n=6+(n-1)5=5n+1). Finding the first term from a middle term is useful.
(n=5) पर ((-1)6=1) और (3(5)-2=13)। वैकल्पिक चिन्ह में घात की सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=5), ((-1)6=1) and (3(5)-2=13). In alternating signs, check whether the exponent is even or odd.
पद \(4n^2-2n\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (2) और (n=2) पर (12) नहीं आता। सही विकल्प जांचकर चुनें। / The terms are generated by \(4n^2-2n\) only if checked carefully against the sequence. Always test more than one term.
